שיטת ההצבה · מערכת משוואות · כיתה ח׳

בשיטת ההצבה הופכים שתי משוואות למשוואה אחת עם נעלם אחד. משוואה כזאת אנחנו כבר יודעים לפתור.

הרעיון: כותבים נעלם אחד בעזרת השני, ומציבים אותו במשוואה השנייה.

מה קורה לסימן של איבר שעובר אגף?

להציג את התשובה והפתרון

הוא מתהפך: $+y$ נהיה $-y$ . לכן $x + y = 5$ נותן $x = 5 - y$ .

פעילות אינטראקטיבית

אותה מערכת מהיחידה הקודמת — הפעם בשיטה

\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x + y = 5 \end{cases}

בציד הזוגות מצאנו את $(3, 2)$ בבדיקה אחד-אחד. עכשיו נגיע אליו בחמישה צעדים, בלי לנחש.

בוחרים

x + y = 5

מתחילים מהמשוואה שבה יש נעלם עם מקדם 1 — כאן שניהם כאלה, ניקח את ה- $x$ .

מבודדים

x = 5 - y

מעבירים את $y$ אגף. עכשיו $x$ כתוב באמצעות $y$ .

מציבים

2(5 - y) + 3y = 12

במשוואה הראשונה, במקום $x$ — הביטוי כולו, בתוך סוגריים. בלעדיהם הכפל היה חל רק על ה-5.

פותחים

10 - 2y + 3y = 12

ה-2 כופל את שני האיברים שבסוגריים.

פותרים

y = 2

מכנסים: $-2y + 3y = y$ , ומעבירים את ה-10. נשארה משוואה עם נעלם אחד.

חוזרים

\begin{aligned}x &= 5 - 2 \\ &= 3\end{aligned}

חוזרים לביטוי המבודד ומציבים. הפתרון: $(3,\, 2)$ — בדיוק הזוג מהציד.

שתי הטעויות שחוזרות בשיטה הזאת.

2 \times 5 - y + 3y = 12

2(5 - y) + 3y = 12

כשמציבים ביטוי שלם — חובה סוגריים. בלעדיהם הכפל חל רק על האיבר הראשון.

y = 2 \quad \longrightarrow\quad \text{סוף}

\begin{aligned}y &= 2 \quad \longrightarrow\quad x \\ &= 3\end{aligned}

מצאנו רק חצי תשובה. מערכת של שני נעלמים דורשת שני ערכים — תמיד לחזור ולמצוא את השני.

מתי ההצבה נוחה — ומתי לא

ההצבה מתחילה תמיד בבידוד של נעלם. הבידוד קל כשלנעלם יש מקדם $1$ או $-1$ : מעבירים אגפים, בלי לחלק בכלום.

כשאין נעלם עם מקדם $1$ או $-1$ , הבידוד מכניס שברים לכל החישוב. והשברים הם המקור העיקרי לטעויות.

במקרה כזה עוברים לשיטת השוואת מקדמים, בשיעור הבא. ואם יש נעלם כזה, מעדיפים הצבה: היא קצרה, ויש בה פחות טעויות סימנים.

הכלל המעשי, בשורה אחת: מחפשים נעלם עם מקדם 1 או $-1$ . יש כזה — הצבה. אין — השוואת מקדמים.

מתי שיטת ההצבה נוחה במיוחד?

להציג את התשובה והפתרון

כשאחד המשתנים כבר מבודד — או כמעט: $y = 2x - 1$ מציב את עצמו לתוך המשוואה השנייה.

תרגיל 1

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של $x$ :

\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x + y = 5 \end{cases}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}x + y &= 5 \quad \longrightarrow\quad x \\ &= 5 - y\end{aligned}

מבודדים את x — המקדם שלו הוא 1

2(5 - y) + 3y = 12

מציבים במשוואה הראשונה, בסוגריים

y = 2

פותרים את המשוואה שנשארה

x = 3

וחוזרים כדי למצוא את x

בדיקה: 2·3 + 3·2 = 12, וגם 3 + 2 = 5. שתי המשוואות מתקיימות.