שיטת השוואת מקדמים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

הגענו לשיטה הזאת מסיבה אחת: באף אחת מהמשוואות אין נעלם עם מקדם 1 או −1-1, ולכן בידוד היה מכניס שברים. אם יש נעלם כזה — חוזרים לשיטת ההצבה, שהיא הקצרה מבין השתיים.

כאן לא מבודדים כלום. במקום זה דואגים שהמקדמים של אחד הנעלמים יהיו שווים בשתי המשוואות — ואז מחברים או מחסרים ביניהן, והנעלם הזה נעלם מעצמו.

במערכת 2x+y=72x + y = 7 ו-2x−y=32x - y = 3 — מה מזמין חיבור המשוואות?

להציג את התשובה והפתרון

ה-yy מתבטל: 4x=104x = 10. חיבור אגפים מחסל משתנה כשהמקדמים נגדיים.

מקדמים שווים — מחסרים. מקדמים הפוכים בסימן — מחברים. זו כל ההחלטה, ושווה לרשום אותה בצד לפני שמתחילים.

וכשהמקדמים לא מתאימים

ברוב המקרים המקדמים לא יהיו שווים מלכתחילה, ולכן כופלים משוואה שלמה במספר כדי להשוות אותם. מותר לכפול משוואה במספר — כל עוד כופלים את כל האיברים, כולל התוצאה מימין.

הטעות שהופכת את כל המערכת ללא נכונה.

3⋅(2x+3y=11)→6x+9y=113 \cdot (2x + 3y = 11) \rightarrow 6x + 9y = 11
3⋅(2x+3y=11)→6x+9y=333 \cdot (2x + 3y = 11) \rightarrow 6x + 9y = 33

כשכופלים משוואה — כופלים גם את המספר שמימין לסימן השוויון. לשכוח אותו פירושו לשנות את המשוואה.

ולכן: השוואת מקדמים נוחה כששני הנעלמים מופיעים עם מקדמים «כבדים» ואין אף אחד עם מקדם 1 — בדיוק המקרה שבו ההצבה הייתה גוררת שברים.

במערכת 3x+2y=83x + 2y = 8 ו-x+5y=7x + 5y = 7, איך הכי נוח להשוות את המקדמים של xx?

להציג את התשובה והפתרון

כופלים את השנייה ב-33: 3x+15y=213x + 15y = 21. עכשיו ל-xx אותו מקדם בשתיהן, ומחסרים.

תרגילים

תרגיל 1

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של yy:

{3x+2y=125x−2y=4\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

+2y,−2y+2y \quad ,\quad -2y

המקדמים של y כבר הפוכים — אין מה לכפול

8x=168x = 16

מחברים את שתי המשוואות, ו-y נעלם

x=2x = 2

פותרים

y=3y = 3

ומציבים חזרה כדי למצוא את y

בדיקה: שתי המשוואות מתקיימות עם x=2x = 2 ו-y=3y = 3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של yy:

{2x+3y=113x−3y=9\begin{cases} 2x + 3y = 11 \\ 3x - 3y = 9 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

+3y,−3y+3y \quad ,\quad -3y

המקדמים של y כבר הפוכים — אין מה לכפול

5x=205x = 20

מחברים את שתי המשוואות, ו-y נעלם

x=4x = 4

פותרים

y=1y = 1

ומציבים חזרה כדי למצוא את y

בדיקה: שתי המשוואות מתקיימות עם x=4x = 4 ו-y=1y = 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של yy:

{4x+3y=185x−3y=9\begin{cases} 4x + 3y = 18 \\ 5x - 3y = 9 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

+3y,−3y+3y \quad ,\quad -3y

המקדמים של y כבר הפוכים — אין מה לכפול

9x=279x = 27

מחברים את שתי המשוואות, ו-y נעלם

x=3x = 3

פותרים

y=2y = 2

ומציבים חזרה כדי למצוא את y

בדיקה: שתי המשוואות מתקיימות עם x=3x = 3 ו-y=2y = 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של yy:

{3x+4y=236x−4y=22\begin{cases} 3x + 4y = 23 \\ 6x - 4y = 22 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

+4y,−4y+4y \quad ,\quad -4y

המקדמים של y כבר הפוכים — אין מה לכפול

9x=459x = 45

מחברים את שתי המשוואות, ו-y נעלם

x=5x = 5

פותרים

y=2y = 2

ומציבים חזרה כדי למצוא את y

בדיקה: שתי המשוואות מתקיימות עם x=5x = 5 ו-y=2y = 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של yy:

{2x+3y=113x+2y=14\begin{cases} 2x + 3y = 11 \\ 3x + 2y = 14 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

2⋅(2x+3y=11),3⋅(3x+2y=14)2 \cdot (2x + 3y = 11) \quad ,\quad 3 \cdot (3x + 2y = 14)

כופלים כל משוואה כדי להשוות את מקדמי y

−5x=−20-5x = -20

מחסרים — y נעלם

x=4x = 4

פותרים

y=1y = 1

ומציבים חזרה

בדיקה: שתי המשוואות מתקיימות עם x=4x = 4 ו-y=1y = 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של yy:

{3x+2y=164x+3y=23\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ 4x + 3y = 23 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

3⋅(3x+2y=16),2⋅(4x+3y=23)3 \cdot (3x + 2y = 16) \quad ,\quad 2 \cdot (4x + 3y = 23)

כופלים כל משוואה כדי להשוות את מקדמי y

1x=21x = 2

מחסרים — y נעלם

x=2x = 2

פותרים

y=5y = 5

ומציבים חזרה

בדיקה: שתי המשוואות מתקיימות עם x=2x = 2 ו-y=5y = 5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של yy:

{5x+2y=363x+4y=30\begin{cases} 5x + 2y = 36 \\ 3x + 4y = 30 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

4⋅(5x+2y=36),2⋅(3x+4y=30)4 \cdot (5x + 2y = 36) \quad ,\quad 2 \cdot (3x + 4y = 30)

כופלים כל משוואה כדי להשוות את מקדמי y

14x=8414x = 84

מחסרים — y נעלם

x=6x = 6

פותרים

y=3y = 3

ומציבים חזרה

בדיקה: שתי המשוואות מתקיימות עם x=6x = 6 ו-y=3y = 3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של yy:

{4x+3y=252x+5y=37\begin{cases} 4x + 3y = 25 \\ 2x + 5y = 37 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

5⋅(4x+3y=25),3⋅(2x+5y=37)5 \cdot (4x + 3y = 25) \quad ,\quad 3 \cdot (2x + 5y = 37)

כופלים כל משוואה כדי להשוות את מקדמי y

14x=1414x = 14

מחסרים — y נעלם

x=1x = 1

פותרים

y=7y = 7

ומציבים חזרה

בדיקה: שתי המשוואות מתקיימות עם x=1x = 1 ו-y=7y = 7.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שלושה כרטיסי מבוגר ושני כרטיסי ילד עולים 190 ₪. שני כרטיסי מבוגר ושלושה כרטיסי ילד עולים 160 ₪. כמה עולה כרטיס מבוגר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

3x+2y=1902x+3y=160\begin{aligned}3x + 2y &= 190 \quad \\ \quad 2x + 3y &= 160\end{aligned}

x = מבוגר, y = ילד. אין מקדם 1 — לכן השוואת מקדמים

3⋅(3x+2y)=5702⋅(2x+3y)=320\begin{aligned}3 \cdot (3x + 2y) &= 570 \quad \\ \quad 2 \cdot (2x + 3y) &= 320\end{aligned}

משווים את מקדמי y ל-6

9x+6y=5704x+6y=320\begin{aligned}9x + 6y &= 570 \quad \\ \quad 4x + 6y &= 320\end{aligned}

ועכשיו מחסרים

5x=250⟶x=50y=20\begin{aligned}5x &= 250 \quad \longrightarrow\quad x \\ &= 50 \quad \\ \quad y &= 20\end{aligned}

מבוגר 50 ₪, ילד 20 ₪

כאן ההצבה הייתה גוררת שברים כבר בשלב הראשון. זה בדיוק המקרה שבו השוואת מקדמים חוסכת עבודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

3x+2y=163x + 2y = 16 ו-x−2y=0x - 2y = 0 — מהו xx? (חברו)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

4x=164x = 16

ה-y התבטל

x=4x = 4
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

ובאותה מערכת — מהו yy?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

4−2y=0  y=2\begin{aligned}4 - 2y &= 0 \ \\ \ y &= 2\end{aligned}

החיסור העלים את xx, ומה שנשאר היא משוואה אחת פשוטה ב-yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

5x+3y=215x + 3y = 21 ו-5x−y=55x - y = 5 — מהו yy? (חסרו)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

4y=164y = 16

ה-5x התבטל בחיסור

y=4y = 4
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

2x+y=102x + y = 10 ו-3x−2y=13x - 2y = 1 — מהו xx? (הכפילו את הראשונה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

4x+2y=204x + 2y = 20

כפול 2

7x=217x = 21

ואז חיבור

x=3x = 3
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

4x+6y=264x + 6y = 26 ו-4x+2y=184x + 2y = 18 — מהו yy?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

4y=84y = 8

חיסור

y=2y = 2
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

שיטת ההכפלה: 3x+4y=253x + 4y = 25 ו-2x+3y=182x + 3y = 18. מהו xx? (רמז: כפלו ב-3 וב-4)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

9x+12y=75  8x+12y=72\begin{aligned}9x + 12y &= 75 \ \\ \ 8x + 12y &= 72\end{aligned}
x=3x = 3

בחיסור

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

במערכת 4x+3y=104x + 3y = 10 ו-2x−3y=82x - 3y = 8, מה הצעד הנוח?

  1. לחבר את המשוואות
  2. לבודד את xx
  3. לחסר את המשוואות
  4. לכפול את השנייה ב-2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לחבר את המשוואות

הפתרון:

+3y  ,  −3y+3y \;,\; -3y

המקדמים של yy נגדיים

6x=18  ⇒  x=3\begin{aligned}6x &= 18 \;\Rightarrow\; x \\ &= 3\end{aligned}

בחיבור yy נעלם

מקדמים נגדיים: מחברים. חיסור היה דווקא מכפיל את yy ולא מעלים אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

לחבר או לחסר? מיינו כל מערכת לפי הצעד שמעלים נעלם.

  • לחבר
  • לחסר
  • −3x+2y=4  ,  3x+y=5-3x + 2y = 4 \;,\; 3x + y = 5
  • 2x+5y=9  ,  3x−5y=12x + 5y = 9 \;,\; 3x - 5y = 1
  • 4x+y=9  ,  4x−3y=14x + y = 9 \;,\; 4x - 3y = 1
  • 5x+2y=12  ,  x+2y=45x + 2y = 12 \;,\; x + 2y = 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2x+5y=9  ,  3x−5y=12x + 5y = 9 \;,\; 3x - 5y = 1 — לחבר · 4x+y=9  ,  4x−3y=14x + y = 9 \;,\; 4x - 3y = 1 — לחסר · −3x+2y=4  ,  3x+y=5-3x + 2y = 4 \;,\; 3x + y = 5 — לחבר · 5x+2y=12  ,  x+2y=45x + 2y = 12 \;,\; x + 2y = 4 — לחסר

הפתרון:

+5y  ,  −5y  ⇒  ++5y \;,\; -5y \;\Rightarrow\; +

נגדיים: מחברים

4x  ,  4x  ⇒  −4x \;,\; 4x \;\Rightarrow\; -

שווים: מחסרים

מקדמים נגדיים מתבטלים בחיבור, מקדמים שווים מתבטלים בחיסור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

משווים מקדמים — שורה אחת שגויה:

2x+3y=112x + 3y = 11
3⋅(2x+3y)=3⋅113 \cdot (2x + 3y) = 3 \cdot 11
6x+9y=116x + 9y = 11
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6x+9y=116x + 9y = 11 → 6x+9y=336x + 9y = 33

הפתרון:

3⋅11=333 \cdot 11 = 33

כופלים גם את אגף ימין

כשכופלים משוואה, כופלים את כל האיברים, גם את המספר שמימין. אחרת זו כבר משוואה אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

במערכת x+2y=8x + 2y = 8 ו-3x−2y=03x - 2y = 0, מחברים את המשוואות.

4x=4x = ____ , x=x = ____ , y=y = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4x=4x = 8 , x=x = 2 , y=y = 3

הפתרון:

4x=8  ⇒  x=2\begin{aligned}4x &= 8 \;\Rightarrow\; x \\ &= 2\end{aligned}

+2y+2y ו-−2y-2y מתבטלים

2+2y=8  ⇒  y=3\begin{aligned}2 + 2y &= 8 \;\Rightarrow\; y \\ &= 3\end{aligned}

מציבים חזרה בראשונה

בדיקה: 3⋅2−2⋅3=03 \cdot 2 - 2 \cdot 3 = 0. ואחרי xx תמיד חוזרים ל-yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

כדי להשוות מקדמים מותר לכפול רק את אגף שמאל של המשוואה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

3⋅(2x+3y)=3⋅113 \cdot (2x + 3y) = 3 \cdot 11

שני האגפים

כופלים את שני האגפים באותו מספר. כפל של צד אחד בלבד משנה את המשוואה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

במערכת 2x+3y=112x + 3y = 11 ו-3x+2y=143x + 2y = 14, איך משווים את המקדמים של yy?

  1. שתיהן פי 6
  2. רק הראשונה, פי 2
  3. הראשונה פי 2, השנייה פי 3
  4. הראשונה פי 3, השנייה פי 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הראשונה פי 2, השנייה פי 3

הפתרון:

2⋅3y=6y    3⋅2y=6y\begin{aligned}2 \cdot 3y &= 6y \; \\ \; 3 \cdot 2y &= 6y\end{aligned}

שני המקדמים מגיעים ל-6

כל מקדם מוכפל במקדם של השנייה. פי 3 ופי 2 היו משווים את xx, לא את yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת