רמה בינונית — כשצריך לסדר קודם

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עד עכשיו כל מערכת הגיעה מסודרת: xx ו-yy בצד אחד, מספר בצד השני.

כאן המערכת מגיעה מבולגנת: יש סוגריים, יש נעלמים משני הצדדים, ולפעמים המספר יושב באמצע.

לפני שבוחרים שיטה — מסדרים כל משוואה לצורה ax+by=cax + by = c

שימו לב איזו שיטה נבחרה כאן: אחרי הסידור, המקדם של xx יצא זהה בשתי המשוואות — ולכן השוואת מקדמים חוסכת עבודה. הבחירה נעשית אחרי הסידור, לא לפניו.

הטעות של הרמה הזאת.

6(x−4)+4(y−1)=10⇒6x−4+4y−1=10\begin{aligned}6(x-4) + 4(y-1) &= 10 \Rightarrow 6x - 4 + 4y - 1 \\ &= 10\end{aligned}
6x−24+4y−4=106x - 24 + 4y - 4 = 10

כשפותחים סוגריים כופלים את כל מה שבפנים, לא רק את האבר הראשון.

מה עושים עם 3x=y+103x = y + 10 לפני שבוחרים שיטה?

להציג את התשובה והפתרון

מסדרים: מעבירים את yy שמאלה ומקבלים 3x−y=103x - y = 10. עכשיו רואים את המקדמים.

איזו שיטה? סורקים את המקדמים

לפני שפותרים מערכת — מה בודקים במקדמים?

להציג את התשובה והפתרון

אם יש זוג נגדי או שווה (לחיבור/חיסור מידי), או משתנה מבודד (להצבה). הבדיקה הזו חוסכת חצי עמוד חישובים.

שני ישרים, שלושה מקרים

המערכת x+y=12x+y=12 ו-x−y=4x-y=4 כשני ישרים: y=12−xy=12-x יורד, y=x−4y=x-4 עולה. הפתרון (8,4)(8,4) הוא נקודת המפגש — הנקודה היחידה שנמצאת על שניהם.

למה לפתרון של מערכת יש בדיוק נקודה אחת (בדרך כלל)?

להציג את התשובה והפתרון

כי כל משוואה היא ישר, ושני ישרים שאינם מקבילים נחתכים בנקודה אחת בדיוק. מקרים מיוחדים: מקבילים — אין פתרון; אותו ישר — אינסוף פתרונות.

תרגילים

תרגיל 1

פתרו את המערכת. מהו xx?

{3x−3y=−124x−7y=−28\begin{cases} 3x - 3y = -12 \\ 4x - 7y = -28 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

שיטת ההשוואה\text{שיטת ההשוואה}

כופלים את הראשונה ב-4 ואת השנייה ב-3

y=4y = 4
x=0x = 0

הפתרון הוא (0, 4)(0,\, 4). בדיקה: 3⋅0−3⋅4=−123 \cdot 0 - 3 \cdot 4 = -12.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ובאותה מערכת — מהו yy?

{3x−3y=−124x−7y=−28\begin{cases} 3x - 3y = -12 \\ 4x - 7y = -28 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

y=4y = 4

הזוג הסדור הוא (0, 4)(0,\, 4) — ותמיד עונים על שניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פתרו. מהו yy?

{6x+y=−44x+6y=24\begin{cases} 6x + y = -4 \\ 4x + 6y = 24 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

y=−4−6xy = -4 - 6x

ל-yy יש מקדם 1 — אז הצבה

4x+6(−4−6x)=244x + 6(-4 - 6x) = 24
x=−1.5    y=5\begin{aligned}x &= -1.5 \; \\ \; y &= 5\end{aligned}

הפתרון (−1.5, 5)(-1.5,\, 5) — ולא כל פתרון חייב להיות שלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פתרו. מהו xx?

{−6x+4y=58−6x−2y=16\begin{cases} -6x + 4y = 58 \\ -6x - 2y = 16 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -5

הפתרון:

6y=42  ⟶  y=7\begin{aligned}6y &= 42 \;\longrightarrow\; y \\ &= 7\end{aligned}

מחסרים — ה-−6x-6x מצטמצם מייד

x=−5x = -5

כאן המקדמים כבר היו זהים — סימן ברור להשוואת מקדמים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פתרו. מהו yy?

{5x+4y=−164x−5y=20\begin{cases} 5x + 4y = -16 \\ 4x - 5y = 20 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

×5  ,  ×4\times 5 \;,\; \times 4

מכפילים כדי להשוות את מקדמי yy

x=0    y=−4\begin{aligned}x &= 0 \; \\ \; y &= -4\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

סדרו קודם, ואז פתרו. מהו xx?

{10+2(2x+y)=x+173x=y+10\begin{cases} 10 + 2(2x + y) = x + 17 \\ 3x = y + 10 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

3x+2y=73x + 2y = 7

אחרי פתיחת סוגריים וסידור

3x−y=103x - y = 10
x=3    y=−1\begin{aligned}x &= 3 \; \\ \; y &= -1\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

סדרו ופתרו. מהו yy?

{3x+y−12=3yx+y=14\begin{cases} 3x + y - 12 = 3y \\ x + y = 14 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

3x−2y=123x - 2y = 12

מסדרים את הראשונה

x=8    y=6\begin{aligned}x &= 8 \; \\ \; y &= 6\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פתחו סוגריים, סדרו ופתרו. מהו xx?

{6(x−4)+4(y−1)=107+x=y+10\begin{cases} 6(x - 4) + 4(y - 1) = 10 \\ 7 + x = y + 10 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

6x+4y=386x + 4y = 38

אחרי פתיחת סוגריים

x−y=3x - y = 3
x=5    y=2\begin{aligned}x &= 5 \; \\ \; y &= 2\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

פתרו. מהו yy?

{−7y−88=6x−y=4x+22\begin{cases} -7y - 88 = 6x \\ -y = 4x + 22 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -10

הפתרון:

−6x−7y=88-6x - 7y = 88

מסדרים

−4x−y=22-4x - y = 22
x=−3    y=−10\begin{aligned}x &= -3 \; \\ \; y &= -10\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

פתרו. מהו xx?

{3x−8y=−78−8x+2y=34\begin{cases} 3x - 8y = -78 \\ -8x + 2y = 34 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

×1  ,  ×4\times 1 \;,\; \times 4

משווים את מקדמי yy

x=−2    y=9\begin{aligned}x &= -2 \; \\ \; y &= 9\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

לפני שבוחרים שיטת פתרון, צריך לסדר את שתי המשוואות לצורה ax+by=cax + by = c.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

סידור לצורה ax+by=cax + by = c הוא מה שמאפשר להשוות בין המשוואות ולבחור שיטה. בלי זה בוחרים באפלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

הפתרון של מערכת משוואות חייב להיות מספר שלם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

לא. הפתרון יכול להיות שבר או עשרוני — אין שום כלל שמחייב מספר שלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

פתרו את המערכת ומצאו את xx:

x+y=12x−y=4\begin{aligned}x + y &= 12\\x - y &= 4\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

2x=16  ⇒  x=8  y=4\begin{aligned}2x &= 16 \;\Rightarrow\; x \\ &= 8 \\ \; y &= 4\end{aligned}

מחברים את שתי המשוואות

החיבור מעלים את y: נשאר 2x=162x = 16. ובדיקה: 8 ועוד 4 הם 12, 8 פחות 4 הם 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

הצבה: במערכת y=x+2y = x + 2 וגם 2x+y=142x + y = 14 —

מציבים ומקבלים 2x + x + 2 = 14 , ולכן x = ____ ו-y = ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מציבים ומקבלים 2x + x + 2 = 14 , ולכן x = 4 ו-y = 6.

הפתרון:

3x=12  ⇒  x=4\begin{aligned}3x &= 12 \;\Rightarrow\; x \\ &= 4\end{aligned}

המשוואה הראשונה נכנסת לשנייה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

סדרו את שלבי ההצבה:

  • 2x+(x+3)=122x + (x + 3) = 12
  • 3x=93x = 9
  • x=3,  y=6x = 3,\; y = 6
  • y=x+3y = x + 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=x+3y = x + 3 · 2x+(x+3)=122x + (x + 3) = 12 · 3x=93x = 9 · x=3,  y=6x = 3,\; y = 6

הפתרון:

2×3+6=122 \times 3 + 6 = 12

מציבים, מכנסים, פותרים

y מבוטא — מציבים אותו במשוואה השנייה, וכל השאר משוואה רגילה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

שיטת החיבור — שורה אחת שגויה:

x+y=10x + y = 10
x−y=2x - y = 2
2x=82x = 8
x=4x = 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2x=82x = 8 → 2x=122x = 12

הפתרון:

(x+y)+(x−y)=10+2(x+y) + (x-y) = 10 + 2

מחברים גם את האגפים הימניים

חיבור שתי המשוואות נותן 2x=122x = 12, לא 8 — כנראה חיסרו במקום לחבר. ואז x=6,y=4x = 6, y = 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

מיינו: באיזו שיטה הכי נוח לפתור כל מערכת?

  • הצבה
  • השוואת מקדמים
  • 4x+5y=2  ,  4x−3y=184x + 5y = 2 \;,\; 4x - 3y = 18
  • 5x+3y=1  ,  2x−3y=65x + 3y = 1 \;,\; 2x - 3y = 6
  • x=2y  ,  x+y=9x = 2y \;,\; x + y = 9
  • y=4x−1  ,  3x+2y=9y = 4x - 1 \;,\; 3x + 2y = 9
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=4x−1  ,  3x+2y=9y = 4x - 1 \;,\; 3x + 2y = 9 — הצבה · 5x+3y=1  ,  2x−3y=65x + 3y = 1 \;,\; 2x - 3y = 6 — השוואת מקדמים · x=2y  ,  x+y=9x = 2y \;,\; x + y = 9 — הצבה · 4x+5y=2  ,  4x−3y=184x + 5y = 2 \;,\; 4x - 3y = 18 — השוואת מקדמים

הפתרון:

y=…    x=…\begin{aligned}y &= \ldots \; \\ \; x &= \ldots\end{aligned}

נעלם מבודד: הצבה

+3y,−3y  ;  4x,4x+3y, -3y \;;\; 4x, 4x

מקדמים נגדיים או שווים: השוואת מקדמים

סורקים לפני שפותרים: נעלם מבודד מזמין הצבה, ומקדמים נגדיים או שווים מזמינים חיבור או חיסור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

מה הצורה המסודרת ax+by=cax + by = c של 2(x−3)+y=42(x - 3) + y = 4?

  1. 2x+y=102x + y = 10
  2. 2x+y=−22x + y = -2
  3. 2x−3+y=42x - 3 + y = 4
  4. 2x+y=72x + y = 7
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 2x+y=102x + y = 10

הפתרון:

2x−6+y=42x - 6 + y = 4

פותחים סוגריים: 2⋅(−3)=−62 \cdot (-3) = -6

2x+y=102x + y = 10

מעבירים את −6-6 ימינה: הוא נהיה +6+6

שתי טעויות אורבות: לכפול רק את xx (ואז −3-3), ולשכוח להפוך סימן כשמעבירים אגף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

מסדרים את 5+3(x−y)=2x+15 + 3(x - y) = 2x + 1. שורה אחת שגויה:

5+3(x−y)=2x+15 + 3(x - y) = 2x + 1
5+3x−y=2x+15 + 3x - y = 2x + 1
x−y=−4x - y = -4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5+3x−y=2x+15 + 3x - y = 2x + 1 → 5+3x−3y=2x+15 + 3x - 3y = 2x + 1

הפתרון:

3(x−y)=3x−3y3(x - y) = 3x - 3y

ה-3 כופל גם את yy

x−3y=−4x - 3y = -4

הצורה המסודרת הנכונה

פותחים סוגריים: הכפל חל על כל האיברים שבפנים, לא רק על הראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

למערכת y=2x+1y = 2x + 1 ו-y=2x+5y = 2x + 5 יש פתרון אחד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

2x+1=2x+5  ⇒  1=5\begin{aligned}2x + 1 &= 2x + 5 \;\Rightarrow\; 1 \\ &= 5\end{aligned}

סתירה

אותו שיפוע וקבועים שונים: שני ישרים מקבילים. אין נקודת חיתוך, ולכן אין פתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

הישרים y=3x−2y = 3x - 2 ו-y=−x+6y = -x + 6 נחתכים בנקודה אחת. מהו ה-xx שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

3x−2=−x+63x - 2 = -x + 6

בנקודת החיתוך ה-yy שווה

4x=8  ⇒  x=2\begin{aligned}4x &= 8 \;\Rightarrow\; x \\ &= 2\end{aligned}

ואז y=4y = 4

נקודת החיתוך היא הפתרון של המערכת. בדיקה: −2+6=4-2 + 6 = 4 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת