רמה מתקדמת — שברים ומספרים עשרוניים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

כשבמערכת מופיעים שברים או מספרים עשרוניים, לא מתחילים לפתור. עושים קודם צעד אחד שמנקה הכול.

כופלים כל משוואה במכנה המשותף שלה — ואז אין יותר שברים

הטעות שאי אפשר לתקן אחר כך.

x5+y3=5  →  3x+5y=5\begin{aligned}\dfrac{x}{5} + \dfrac{y}{3} &= 5 \;\to\; 3x + 5y \\ &= 5\end{aligned}
3x+5y=753x + 5y = 75

כשכופלים משוואה — כופלים את כל האברים, כולל את המספר שמימין. מי ששוכח את הצד השני משנה את המשוואה.

במערכת עם שברים — מה הצעד הראשון?

להציג את התשובה והפתרון

להכפיל כל משוואה במכנה המשותף ולנקות את השברים. רק אז בוחרים שיטה.

ועם מספרים עשרוניים

עם עשרוניים עושים בדיוק אותו דבר: כופלים ב-10, ב-100 או ב-1000 — כמה שצריך כדי שכל המספרים יהיו שלמים. 0.2x+0.8y=−8.20.2x + 0.8y = -8.2 כפול 10 נותן 2x+8y=−822x + 8y = -82.

בכמה כופלים את 0.35x+1.2y=3.10.35x + 1.2y = 3.1?

להציג את התשובה והפתרון

ב-100100: ל-0.350.35 יש שתי ספרות אחרי הנקודה. מקבלים 35x+120y=31035x + 120y = 310.

תרגילים

תרגיל 1

פתרו. מהו xx?

{−0.8x+5.6y=0.8−4.8x+4y=4.8\begin{cases} -0.8x + 5.6y = 0.8 \\ -4.8x + 4y = 4.8 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

×10\times 10

כופלים ב-10

−8x+56y=8    −48x+40y=48\begin{aligned}-8x + 56y &= 8 \; \\ \; -48x + 40y &= 48\end{aligned}
x=−1    y=0\begin{aligned}x &= -1 \; \\ \; y &= 0\end{aligned}

y=0y = 0 הוא פתרון לגיטימי לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו. מהו yy?

{0.2x+0.8y=−8.20.6x−0.6y=5.4\begin{cases} 0.2x + 0.8y = -8.2 \\ 0.6x - 0.6y = 5.4 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -10

הפתרון:

×10\times 10
2x+8y=−82    6x−6y=54\begin{aligned}2x + 8y &= -82 \; \\ \; 6x - 6y &= 54\end{aligned}
x=−1    y=−10\begin{aligned}x &= -1 \; \\ \; y &= -10\end{aligned}

כופלים קודם כדי להיפטר מהעשרוניים, ורק אז מפעילים את שיטת החיבור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פתרו. מהו yy?

{−1.6x+0.6y=0.68−1.4x+1.2y=−0.08\begin{cases} -1.6x + 0.6y = 0.68 \\ -1.4x + 1.2y = -0.08 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

×100\times 100

כאן צריך 100 — יש שתי ספרות אחרי הנקודה

−160x+60y=68    −140x+120y=−8\begin{aligned}-160x + 60y &= 68 \; \\ \; -140x + 120y &= -8\end{aligned}
x=−0.8    y=−1\begin{aligned}x &= -0.8 \; \\ \; y &= -1\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פתרו. מהו xx?

{x5+y3=54x−7y=−23\begin{cases} \dfrac{x}{5} + \dfrac{y}{3} = 5 \\ 4x - 7y = -23 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

×15\times 15
3x+5y=753x + 5y = 75
x=10    y=9\begin{aligned}x &= 10 \; \\ \; y &= 9\end{aligned}

הכפל במכנה המשותף מנקה את השברים בבת אחת, ומשאיר מערכת רגילה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פתרו. מהו yy?

{x3=6−y5x−2y=−8\begin{cases} \dfrac{x}{3} = 6 - \dfrac{y}{5} \\ x - 2y = -8 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

×15\times 15
5x+3y=905x + 3y = 90
x=12    y=10\begin{aligned}x &= 12 \; \\ \; y &= 10\end{aligned}

אותו מהלך: מנקים מכנים, ואז פותרים כרגיל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

פתרו. מהו xx?

{x−43=y−3x52x−3y=8\begin{cases} \dfrac{x - 4}{3} = \dfrac{y - 3x}{5} \\ 2x - 3y = 8 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

5(x−4)=3(y−3x)5(x-4) = 3(y-3x)

כפל בהצלבה

14x−3y=2014x - 3y = 20
x=1    y=−2\begin{aligned}x &= 1 \; \\ \; y &= -2\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פתרו. מהו xx?

{y3−x8=y−367x−3y=123\begin{cases} \dfrac{y}{3} - \dfrac{x}{8} = \dfrac{y - 3}{6} \\ 7x - 3y = 123 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

×24\times 24

המכנה המשותף של 3, 8 ו-6

−3x+4y=−12-3x + 4y = -12
x=24    y=15\begin{aligned}x &= 24 \; \\ \; y &= 15\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פתרו. מהו yy?

{x−22−x+y7=0x−13−2y−x2=0\begin{cases} \dfrac{x - 2}{2} - \dfrac{x + y}{7} = 0 \\ \dfrac{x - 1}{3} - \dfrac{2y - x}{2} = 0 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

5x−2y=145x - 2y = 14

אחרי כפל ב-14

5x−6y=25x - 6y = 2

אחרי כפל ב-6

x=4    y=3\begin{aligned}x &= 4 \; \\ \; y &= 3\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

פתרו. מהו xx?

{x+3y12−2y−410=710x+92+y−13=7−y\begin{cases} \dfrac{x + 3y}{12} - \dfrac{2y - 4}{10} = \dfrac{7}{10} \\ \dfrac{x + 9}{2} + \dfrac{y - 1}{3} = 7 - y \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

5x+3y=185x + 3y = 18

אחרי כפל ב-60

3x+8y=173x + 8y = 17

אחרי כפל ב-6

x=3    y=1\begin{aligned}x &= 3 \; \\ \; y &= 1\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

כשכופלים משוואה כדי להיפטר ממכנים, כופלים גם את המספר שבצד השני של השוויון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

נכון — כפל של משוואה חל על כל איבר, בשני האגפים. לשכוח את אגף ימין הוא הפח הקלאסי כאן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

פתרו את המערכת ומצאו את yy:

2x+3y=19y=x+3\begin{aligned}2x + 3y &= 19\\y &= x + 3\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

2x+3(x+3)=19  ⇒  5x=10\begin{aligned}2x + 3(x+3) &= 19 \;\Rightarrow\; 5x \\ &= 10\end{aligned}

הצבה — ואז x = 2, y = 5

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

שיטת החיסור — מצאו את xx:

3x+2y=243x−y=15\begin{aligned}3x + 2y &= 24\\3x - y &= 15\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

3y=9  ⇒  y=3  x=6\begin{aligned}3y &= 9 \;\Rightarrow\; y \\ &= 3 \\ \; x &= 6\end{aligned}

מחסרים — ה-3x מתבטל

אותו מקדם ל-x בשתי המשוואות — חיסור מעלים אותו מיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

למערכת y=2x+1y = 2x + 1 וגם y=2x−3y = 2x - 3 אין פתרון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

2x+1=2x−3  ⇒  1=−3\begin{aligned}2x + 1 &= 2x - 3 \;\Rightarrow\; 1 \\ &= -3\end{aligned}

סתירה

ההצבה מוחקת את ה-x ומשאירה שוויון שקרי — הסימן האלגברי לכך שהישרים מקבילים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

לפניכם המערכת y=3x−1y = 3x - 1 וגם 4x+y=134x + y = 13. באיזו שיטה הכי נוח לפתוח?

  1. אי אפשר לפתור מערכת כזאת
  2. הצבה
  3. ניחוש וניסוי
  4. חיבור המשוואות כמו שהן
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב הצבה

הפתרון:

4x+3x−1=13  ⇒  x=2\begin{aligned}4x + 3x - 1 &= 13 \;\Rightarrow\; x \\ &= 2\end{aligned}

ההצבה מתבקשת

כש-y (או x) כבר עומד לבד — מציבים. שיטת החיבור טובה כשהמקדמים מזדווגים יפה. y כבר מבודד במשוואה הראשונה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

בכמה הכי נוח לכפול את x4+y6=2\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{6} = 2?

  1. 1212
  2. 44
  3. 66
  4. 1010
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 1212

הפתרון:

12=4⋅3=6⋅2\begin{aligned}12 &= 4 \cdot 3 \\ &= 6 \cdot 2\end{aligned}

המכנה המשותף הקטן של 4 ו-6

3x+2y=243x + 2y = 24

והמשוואה נקייה

1010 הוא הסכום של המכנים, לא כפולה שלהם. 44 או 66 מנקים רק שבר אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

מנקים מכנים — שורה אחת שגויה:

x4+y6=2\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{6} = 2
12⋅x4+12⋅y6=212 \cdot \dfrac{x}{4} + 12 \cdot \dfrac{y}{6} = 2
3x+2y=23x + 2y = 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12⋅x4+12⋅y6=212 \cdot \dfrac{x}{4} + 12 \cdot \dfrac{y}{6} = 2 → 12⋅x4+12⋅y6=12⋅212 \cdot \dfrac{x}{4} + 12 \cdot \dfrac{y}{6} = 12 \cdot 2

הפתרון:

12⋅2=2412 \cdot 2 = 24

כופלים גם את אגף ימין

3x+2y=243x + 2y = 24

המשוואה הנכונה

השורה השנייה שכחה לכפול את אגף ימין, ומשם הכול נגרר. כופלים את כל האיברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

כופלים את 0.3x+0.5y=2.10.3x + 0.5y = 2.1 ב-1010:

המקדם של xx: ____ , המקדם של yy: ____ , אגף ימין: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המקדם של xx: 3 , המקדם של yy: 5 , אגף ימין: 21

הפתרון:

0.3⋅10=3    0.5⋅10=5    2.1⋅10=21\begin{aligned}0.3 \cdot 10 &= 3 \; \\ \; 0.5 \cdot 10 &= 5 \; \\ \; 2.1 \cdot 10 &= 21\end{aligned}

כל איבר, גם מימין

כפל ב-10 מזיז את הנקודה ספרה אחת ימינה, בכל איבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת