בעיות מילוליות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

זה הסוג הכי שכיח במבחנים, והוא בעצם תרגום: הסיפור נותן שני מספרים שאיננו יודעים, ושתי עובדות עליהם. כל עובדה הופכת למשוואה אחת.

שלושה שלבים, תמיד באותו סדר

11

מגדירים את הנעלמים במילים. «xx — מחיר ק״ג בצל, yy — מחיר ק״ג עגבניות». זה השלב שהכי הרבה תלמידים מדלגים עליו, ובלעדיו אי אפשר לבדוק כלום.

22

מתרגמים כל משפט למשוואה. משפט אחד — משוואה אחת.

33

פותרים, וחוזרים לשאלה. התשובה היא לא «x=9x = 9» אלא «ק״ג בצל עולה 9 ₪».

בעיה עם שני נעלמים — כמה משוואות צריך?

להציג את התשובה והפתרון

שתיים. כל נעלם דורש משוואה משלו — שני משפטים עצמאיים מתוך הסיפור.

בצל ועגבניות: דוגמה מלאה

הטריק שהופיע כאן שווה זהב: כששתי המשוואות סימטריות (אותם מקדמים בסדר הפוך), חיבורן נותן x+yx + y וחיסורן נותן x−yx - y — ומשם הפתרון בשתי שורות.

שתי הטעויות של הבעיות המילוליות.

x=9x = 9
9 ₪ לק״ג9\ \text{₪ לק״ג}

לא לעצור במספר. השאלה נשאלה על מחיר, ולכן התשובה כוללת יחידות ומילים.

11
22

שני נעלמים דורשים שתי עובדות. אם מצאתם רק משוואה אחת — חזרו לסיפור, יש שם משפט שלא תורגם.

שני מחירונים: הבעיה כשני ישרים

שתי חברות שליחויות: אחת גובה 30 שקלים ועוד 2 לקילומטר, השנייה 5 לקילומטר בלי דמי פתיחה. עד 10 ק״מ הזולה היא השנייה; מעבר — הראשונה. נקודת המפגש היא בדיוק המערכת.

תרגילים

תרגיל 1

מחיר 2 ק״ג בצל ו-3 ק״ג עגבניות הוא 42 ₪, ומחיר 3 ק״ג בצל ו-2 ק״ג עגבניות הוא 43 ₪. מהו מחיר ק״ג בצל?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

2x+3y=422x + 3y = 42

xx בצל, yy עגבניות

3x+2y=433x + 2y = 43
x=9x = 9

ק״ג בצל — 9 ₪.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ובאותה שאלה — מהו מחיר ק״ג עגבניות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

y=8y = 8

בדיקה: 2⋅9+3⋅8=422 \cdot 9 + 3 \cdot 8 = 42 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מחיר 3 כרטיסי מבוגר ו-2 כרטיסי ילד הוא 200 ₪. מחיר 2 כרטיסי מבוגר ו-3 כרטיסי ילד הוא 175 ₪. מהו מחיר כרטיס מבוגר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

3x+2y=2003x + 2y = 200
2x+3y=1752x + 3y = 175
x+y=75    x−y=25\begin{aligned}x + y &= 75 \; \\ \; x - y &= 25\end{aligned}

חיבור וחיסור — המערכת סימטרית

x=50    y=25\begin{aligned}x &= 50 \; \\ \; y &= 25\end{aligned}

מבוגר 50 ₪, ילד 25 ₪.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ובאותה שאלה — מהו מחיר כרטיס ילד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

y=25y = 25

בדיקה: 3⋅50+2⋅25=2003 \cdot 50 + 2 \cdot 25 = 200 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

סכום שני מספרים הוא 45, וההפרש ביניהם הוא 11. מהו המספר הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 28

הפתרון:

x+y=45x + y = 45
x−y=11x - y = 11
2x=56  ⟶  x=28\begin{aligned}2x &= 56 \;\longrightarrow\; x \\ &= 28\end{aligned}

מחברים

y=17y = 17

המספרים הם 28 ו-17.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

היקף מלבן הוא 46 ס״מ, והאורך גדול מהרוחב ב-7 ס״מ. מהו האורך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

2(x+y)=46  ⟶  x+y=23\begin{aligned}2(x + y) &= 46 \;\longrightarrow\; x + y \\ &= 23\end{aligned}

ההיקף מחולק ב-2

x−y=7x - y = 7
x=15    y=8\begin{aligned}x &= 15 \; \\ \; y &= 8\end{aligned}

אורך 15, רוחב 8. בדיקה: 2(15+8)=462(15+8) = 46 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בארנק 12 מטבעות של 1 ₪ ושל 5 ₪, ובסך הכול 40 ₪. כמה מטבעות של 5 ₪ יש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

x+y=12x + y = 12

xx מטבעות של 1, yy של 5

x+5y=40x + 5y = 40

זה הערך, לא הכמות

4y=28  ⟶  y=7\begin{aligned}4y &= 28 \;\longrightarrow\; y \\ &= 7\end{aligned}

7 מטבעות של 5 ₪ ו-5 מטבעות של 1 ₪. בדיקה: 7⋅5+5=407 \cdot 5 + 5 = 40 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בבעיה מילולית עם שני נעלמים, אפשר להסתפק במשוואה אחת אם היא ארוכה מספיק.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

לא. שני נעלמים דורשים שתי משוואות בלתי תלויות; משוואה אחת, ארוכה ככל שתהיה, משאירה אינסוף פתרונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

השלב הראשון בפתרון בעיה מילולית הוא להגדיר במילים מה מייצג כל נעלם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

להגדיר במילים מה מייצג כל נעלם הוא מה שמונע בלבול בהמשך — ובמבחן זה גם שווה נקודות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מחירם של 4 ק״ג עגבניות ו-3 ק״ג מלפפונים הוא 26 שקלים. מחיר 7 ק״ג עגבניות ושני ק״ג מלפפונים הוא 32.5 שקלים. כמה עולה ק״ג אחד של עגבניות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.5

הפתרון:

4x+3y=267x+2y=32.5\begin{aligned}4x + 3y &= 26 \quad \\ \quad 7x + 2y &= 32.5\end{aligned}

xx — עגבניות, yy — מלפפונים

8x+6y=5221x+6y=97.5\begin{aligned}8x + 6y &= 52 \quad \\ \quad 21x + 6y &= 97.5\end{aligned}

משווים את מקדמי ה-yy: פי 2 ופי 3

13x=45.5  ⟹  x=3.5\begin{aligned}13x &= 45.5 \;\Longrightarrow\; x \\ &= 3.5\end{aligned}

מחסרים

y=26−143=4\begin{aligned}y &= \frac{26 - 14}{3} \\ &= 4\end{aligned}

ומציבים חזרה

בדיקה במשוואה השנייה: 7⋅3.5+2⋅4=24.5+8=32.57 \cdot 3.5 + 2 \cdot 4 = 24.5 + 8 = 32.5 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

ק״ג אפרסקים עולה 9 שקלים יותר מאשר 3 ק״ג שזיפים. 2 ק״ג אפרסקים עולים פי 2 יותר מאשר 6 ק״ג שזיפים. כמה עולים 2 ק״ג שזיפים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

p=3s+9p = 3s + 9

pp — ק״ג אפרסקים, ss — ק״ג שזיפים

2p=2⋅6s2p = 2 \cdot 6s

«פי 2 יותר מאשר 6 ק״ג שזיפים»

p=6s  ⟹  6s=3s+9\begin{aligned}p &= 6s \;\Longrightarrow\; 6s \\ &= 3s + 9\end{aligned}

מציבים את הראשונה בשנייה

s=3p=18\begin{aligned}s &= 3 \quad \\ \quad p &= 18\end{aligned}
2s=62s = 6

מה ששאלו — 2 ק״ג שזיפים

בדיקה: 18=3⋅3+918 = 3 \cdot 3 + 9 ✓ ו-2⋅18=36=2×182 \cdot 18 = 36 = 2 \times 18 ✓. ותמיד לענות על מה ששאלו — לא על ss.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

התאימו כל משפט למשוואה שלו.

  • סכום שני המספרים הוא 20
  • xx גדול מ-yy ב-4
  • xx גדול פי 3 מ-yy
  • 2 עטים ומחברת עולים 13 ₪
  • 2x+y=132x + y = 13
  • x−y=4x - y = 4
  • x+y=20x + y = 20
  • x=3yx = 3y
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: סכום שני המספרים הוא 20 — x+y=20x + y = 20 · xx גדול מ-yy ב-4 — x−y=4x - y = 4 · xx גדול פי 3 מ-yy — x=3yx = 3y · 2 עטים ומחברת עולים 13 ₪ — 2x+y=132x + y = 13

הפתרון:

x−y=4    x=3y\begin{aligned}x - y &= 4 \; \\ \; x &= 3y\end{aligned}

«גדול ב-» הוא הפרש, «פי» הוא כפל

הבלבול הנפוץ: «גדול ב-4» הוא x−y=4x - y = 4, ו«גדול פי 3» הוא x=3yx = 3y.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

אורך מלבן גדול מרוחבו ב-5 ס״מ, והיקפו 38 ס״מ. xx — האורך, yy — הרוחב. איזו מערכת מתאימה?

  1. x−y=5  ,  2x+2y=38x - y = 5 \;,\; 2x + 2y = 38
  2. x−y=5  ,  x+y=38x - y = 5 \;,\; x + y = 38
  3. y−x=5  ,  x+y=38y - x = 5 \;,\; x + y = 38
  4. x+y=5  ,  2x+2y=38x + y = 5 \;,\; 2x + 2y = 38
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א x−y=5  ,  2x+2y=38x - y = 5 \;,\; 2x + 2y = 38

הפתרון:

x−y=5x - y = 5

האורך גדול מהרוחב

2x+2y=382x + 2y = 38

היקף: פעמיים אורך ועוד פעמיים רוחב

x+y=38x + y = 38 שוכח שבמלבן ארבע צלעות. ומכאן x=12x = 12, y=7y = 7.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

חברה א׳ גובה 30 ₪ ועוד 2 ₪ לכל ק״מ. חברה ב׳ גובה 5 ₪ לכל ק״מ, בלי דמי פתיחה. באיזה מרחק, בק״מ, המחיר שווה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

y=30+2x    y=5x\begin{aligned}y &= 30 + 2x \; \\ \; y &= 5x\end{aligned}

xx — ק״מ, yy — מחיר ב-₪

30+2x=5x  ⇒  3x=30\begin{aligned}30 + 2x &= 5x \;\Rightarrow\; 3x \\ &= 30\end{aligned}

מציבים: המחירים שווים

x=10x = 10

ואז y=50y = 50

נקודת החיתוך של שני הישרים היא המרחק שבו המחירים שווים: 10 ק״מ, 50 ₪.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

בכיתה 30 תלמידים, ויש בה 6 בנות יותר מבנים.

בנים: ____ , בנות: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בנים: 12 , בנות: 18

הפתרון:

b+g=30    g−b=6\begin{aligned}b + g &= 30 \; \\ \; g - b &= 6\end{aligned}

bb — בנים, gg — בנות

2g=36  ⇒  g=18\begin{aligned}2g &= 36 \;\Rightarrow\; g \\ &= 18\end{aligned}

מחברים

b=30−18=12\begin{aligned}b &= 30 - 18 \\ &= 12\end{aligned}

מציבים בסכום

בדיקה: 12+18=3012 + 18 = 30 ו-18−12=618 - 12 = 6. ועונים במילים: 12 בנים ו-18 בנות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת