הוצאת גורם משותף · טכניקה אלגברית · כיתה ח׳

פילוג פותח סוגריים. הוצאת גורם משותף עושה את ההפך: סוגרת אותן.

ab + ac = a(b + c)

למצוא את הגורם המשותף

חושבים על מלבן: האיברים הם השטחים של החלקים שלו. מחפשים גובה שמתאים לכל החלקים.

\text{מספר}

המחלק המשותף הגדול ביותר של המקדמים. ב- $6x + 9$ זהו 3.

x^n

החזקה הנמוכה ביותר של המשתנה שמופיעה בכל האיברים. ב- $x^3 + x^2$ זהו $x^2$ .

למה הנמוכה ביותר? כי הגורם צריך להתחלק בכל האיברים. אי אפשר להוציא $x^3$ מ- $x^2$ — אין שם מספיק. תמיד הולכים לפי החלש שבחבורה.

בדיקה חינמית: פותחים את הסוגריים וחוזרים לביטוי המקורי. אם לא חוזרים, הגורם לא נכון.

הוציאו גורם משותף: $6x + 9$

להציג את התשובה והפתרון

$3(2x + 3)$ . הגורם הגדול ביותר המשותף — 3. בדיקה: פתיחת הסוגריים מחזירה את המקור.

משוואות מהצורה $ax^2 + bx = 0$ נפתרות בהוצאת גורם משותף.

אם מכפלה שווה אפס, לפחות אחד הגורמים הוא אפס. אין דרך אחרת לקבל אפס בכפל.

\begin{aligned}a \cdot b &= 0 \iff a \\ &= 0 \ \text{ או } \ b \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ריבועית ראשונה

פתרו: $x^2 - 5x = 0$ .

x(x - 5) = 0

מוציאים $x$ כגורם משותף

x = 0

האפשרות הראשונה — הגורם הראשון מתאפס

\begin{aligned}x - 5 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

והשנייה — הגורם השני מתאפס

\begin{aligned}x &= 0 \ \\ \ x &= 5\end{aligned}

שני פתרונות

הטעות שמוחקת פתרון.

\begin{aligned}x^2 &= 5x \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}x^2 - 5x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \ \\ \ x &= 5\end{aligned}

חילוק ב- $x$ מוחק את הפתרון $x = 0$ — כי אסור לחלק במשהו שיכול להיות אפס. מעבירים הכול לאגף אחד ומוציאים גורם משותף, אף פעם לא מחלקים במשתנה.

6x + 9 = 3(2x + 9)

6x + 9 = 3(2x + 3)

הגורם יוצא מכל האיבר. גם ה-9 מתחלק ב-3.

פתרו: $x^2 + 3x = 0$

להציג את התשובה והפתרון

$x(x + 3) = 0$ , ולכן $x = 0$ או $x = -3$ . שני פתרונות, ואחד מהם אפס.

תרגיל 1

הוציאו גורם משותף: $6x + 9$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $3(2x + 3)$

הפתרון:

\begin{aligned}\text{המחלק המשותף של }6\, \\ \,9 &= 3\end{aligned}

המחלק המשותף

3(2x + 3)

ומה שנשאר

\begin{aligned}3 \cdot 2x &= 6x \ \\ \ 3 \cdot 3 &= 9\end{aligned}

בדיקה בפתיחה

הגורם יוצא מכל האיברים, גם מהמספר החופשי.