נוסחת השורשים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

את x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0 פותרים בטרינום: מכפלה 66, סכום −5-5 — המספרים −2-2 ו-−3-3.

אבל לא תמיד מוצאים מספרים כאלה. לכן יש דרך שנייה, שעובדת תמיד: נוסחת השורשים.

מתי עוברים לנוסחה

לפני כל משוואה ריבועית שואלים שלוש שאלות, ותמיד באותו סדר:

11

המקדם של x2x^2 הוא 1? מחפשים שני מספרים — טרינום.

22

יש גורם משותף לכל האיברים? מוציאים אותו, ועושים טרינום על מה שנשאר.

33

לא מוצאים מספרים, ואין גורם משותף? עוברים לנוסחת השורשים.

אפשר לפתור בטרינום את x2−4x+1=0x^2 - 4x + 1 = 0?

להציג את התשובה והפתרון

לא. אין שני מספרים שלמים שמכפלתם 11 וסכומם −4-4. זה בדיוק המקרה של הנוסחה.

הנוסחה

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

בישראל כותבים את הנוסחה במכה אחת, ומציבים בה ישר את שלושת המקדמים. לכל חלק בה תפקיד:

−b-b

המספר הנגדי ל-bb. אם b=3b = 3 כותבים −3-3. אם b=−4b = -4 כותבים 44.

±\pm

פעם פלוס, פעם מינוס. מכאן שני הפתרונות, x1x_1 ו-x2x_2.

b2−4ac\sqrt{b^2 - 4ac}

השורש. מחשבים את מה שמתחת לשורש, ואז מוציאים ממנו שורש.

2a2a

המכנה. קו השבר עובר מתחת לכל המונה — גם מתחת ל-−b-b, לא רק מתחת לשורש.

בספרים מחו״ל מחשבים קודם Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. בישראל כותבים את הנוסחה במכה אחת, עם b2−4acb^2 - 4ac בתוך השורש. אותו חישוב בדיוק — אבל «דלתא» במבחן תחפש שלב שלא לימדו כאן.

פותרים, צעד אחר צעד

הנוסחה מגיעה ריקה. ממלאים אותה בארבעה צעדים, תמיד באותו סדר.

לפני שמשתמשים בנוסחה, כדאי תמיד לבדוק אם אפשר פירוק לגורמים — בדוגמה שלמעלה, x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2-5x+6=(x-2)(x-3), וזה מהיר בהרבה.

כמה פתרונות יש

את התשובה נותנת הנוסחה עצמה, ברגע שמחשבים את מה שמתחת לשורש.

לפני שפותרים: מה יקרה אם מתחת לשורש ייצא מספר שלילי?

להציג את התשובה והפתרון

אין פתרון. למספר שלילי אין שורש, ולכן אי אפשר להמשיך.

מבחינה גרפית, y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c היא פרבולה. הפתרונות הם הנקודות שבהן היא חותכת את ציר ה-x.

ולכן כשאין פתרון, הפרבולה לא נוגעת בציר בכלל.

שלוש הטעויות של נוסחת השורשים.

−42=−16-4^2 = -16
(−4)2=16(-4)^2 = 16

כש-bb שלילי, מעלים אותו בריבוע עם הסוגריים. ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי.

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = -b \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

קו השבר עובר מתחת לכל המונה, גם מתחת ל-−b-b.

2x2+3x−2=0 ⇒ c=2\begin{aligned}2x^2 + 3x - 2 &= 0 \ \Rightarrow \ c \\ &= 2\end{aligned}
c=−2c = -2

כל מקדם לוקח איתו את הסימן שלפניו.

מתי עדיף טרינום, ומתי הנוסחה?

להציג את התשובה והפתרון

אם מוצאים מהר שני מספרים — טרינום, הוא קצר יותר. אם לא — הנוסחה. היא עובדת תמיד, גם כשהטרינום עובד.

תרגילים

תרגיל 1

באיזו דרך פותרים את 3x2+5x−1=03x^2 + 5x - 1 = 0?

  1. אין לה פתרון
  2. נוסחת השורשים
  3. מוציאים גורם משותף, ואז טרינום
  4. טרינום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב נוסחת השורשים

הפתרון:

a=3  b=5  c=−1\begin{aligned}a &= 3 \ \\ \ b &= 5 \ \\ \ c &= -1\end{aligned}

המקדם של x2x^2 אינו 1

3, 5, −13,\ 5,\ -1

אין גורם משותף לשלושת המקדמים

הטרינום לא זמין, ולכן נוסחת השורשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מציבים בנוסחת השורשים את x2−7x+10=0x^2 - 7x + 10 = 0. מה כותבים במקום −b-b?

  1. −7-7
  2. −10-10
  3. 77
  4. 1010
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 77

הפתרון:

b=−7b = -7

המקדם של xx, עם הסימן

−b=−(−7)=7\begin{aligned}-b &= -(-7) \\ &= 7\end{aligned}

המספר הנגדי

מינוס של מינוס שבע הוא שבע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פתרו בנוסחת השורשים: 2x2−5x+2=02x^2 - 5x + 2 = 0. מהו הפתרון הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

a=2  b=−5  c=2\begin{aligned}a &= 2 \ \\ \ b &= -5 \ \\ \ c &= 2\end{aligned}

המקדמים, עם הסימנים

x1,2=5±(−5)2−4⋅2⋅22⋅2x_{1,2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}

מציבים בנוסחה

x1,2=5±25−164=5±34\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} \\ &= \dfrac{5 \pm 3}{4}\end{aligned}

מחשבים את מה שמתחת לשורש

x1=84=2x2=24=12\begin{aligned}x_1 &= \dfrac{8}{4} \\ &= 2 \quad \\ \quad x_2 &= \dfrac{2}{4} \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned}

פעם פלוס, פעם מינוס

הפתרון הגדול הוא 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פתרו בנוסחת השורשים: 3x2+2x−1=03x^2 + 2x - 1 = 0. מהו הפתרון השלילי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

a=3  b=2  c=−1\begin{aligned}a &= 3 \ \\ \ b &= 2 \ \\ \ c &= -1\end{aligned}

המקדמים, עם הסימנים

x1,2=−2±22−4⋅3⋅(−1)2⋅3x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}

מציבים בנוסחה

x1,2=−2±4+126=−2±46\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} \\ &= \dfrac{-2 \pm 4}{6}\end{aligned}

מחשבים את מה שמתחת לשורש

x1=26=13x2=−66=−1\begin{aligned}x_1 &= \dfrac{2}{6} \\ &= \dfrac{1}{3} \quad \\ \quad x_2 &= \dfrac{-6}{6} \\ &= -1\end{aligned}

פעם פלוס, פעם מינוס

cc שלילי, ולכן −4ac-4ac מוסיף למה שמתחת לשורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

כמה פתרונות יש למשוואה x2+x+3=0x^2 + x + 3 = 0?

  1. שני פתרונות
  2. פתרון אחד
  3. אין פתרון
  4. אינסוף פתרונות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג אין פתרון

הפתרון:

x1,2=−1±12−4⋅1⋅32x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2}

מציבים בנוסחה

x1,2=−1±−112x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{-11}}{2}

מתחת לשורש מספר שלילי

למספר שלילי אין שורש, ולכן אין פתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

פתרו בנוסחת השורשים: x2−4x+1=0x^2 - 4x + 1 = 0. מהו הפתרון הגדול? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.73

הפתרון:

x1,2=4±(−4)2−4⋅1⋅12x_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2}

מציבים בנוסחה

x1,2=4±122x_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{12}}{2}

מחשבים את מה שמתחת לשורש

12≈3.46\sqrt{12} \approx 3.46

השורש, בקירוב

x1≈4+3.462=3.73x_1 \approx \dfrac{4 + 3.46}{2} = 3.73

עם הפלוס

אין כאן מספרים שלמים — בדיוק המקרה שבו הטרינום לא עוזר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פתרו בנוסחת השורשים: 2x2+x−6=02x^2 + x - 6 = 0. מהו הפתרון החיובי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

a=2  b=1  c=−6\begin{aligned}a &= 2 \ \\ \ b &= 1 \ \\ \ c &= -6\end{aligned}

המקדמים, עם הסימנים

x1,2=−1±12−4⋅2⋅(−6)2⋅2x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2}

מציבים בנוסחה

x1,2=−1±1+484=−1±74\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} \\ &= \dfrac{-1 \pm 7}{4}\end{aligned}

מתחת לשורש 49

x1=64=1.5x2=−84=−2\begin{aligned}x_1 &= \dfrac{6}{4} \\ &= 1.5 \quad \\ \quad x_2 &= \dfrac{-8}{4} \\ &= -2\end{aligned}

פעם פלוס, פעם מינוס

cc שלילי, ולכן −4ac-4ac הוא פלוס 48. מי ששוכח את הסימן מקבל −47\sqrt{-47} וחושב שאין פתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

כמה פתרונות יש למשוואה x2−6x+9=0x^2 - 6x + 9 = 0?

  1. שני פתרונות
  2. פתרון אחד
  3. אין פתרון
  4. אינסוף פתרונות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב פתרון אחד

הפתרון:

(−6)2−4⋅1⋅9=36−36=0\begin{aligned}(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 &= 36 - 36 \\ &= 0\end{aligned}

מה שמתחת לשורש

x1,2=6±02=3\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{6 \pm 0}{2} \\ &= 3\end{aligned}

פלוס אפס ומינוס אפס נותנים אותו מספר

כשמתחת לשורש יוצא 0, שני הפתרונות מתלכדים לאחד: הפרבולה רק נוגעת בציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשוואה 3x2−4x−4=03x^2 - 4x - 4 = 0 — כמה יוצא מתחת לשורש בנוסחה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 64

הפתרון:

a=3  b=−4  c=−4\begin{aligned}a &= 3 \ \\ \ b &= -4 \ \\ \ c &= -4\end{aligned}

המקדמים, עם הסימנים

(−4)2−4⋅3⋅(−4)=16+48=64\begin{aligned}(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) &= 16 + 48 \\ &= 64\end{aligned}

ריבוע של שלילי הוא חיובי, ומינוס כפול מינוס הוא פלוס

64 הוא ריבוע שלם, ולכן הפתרונות יוצאים יפים: 22 ו-−23-\frac{2}{3}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

x2−4x+3=0 : a=1  b=−4  c=3\begin{aligned}x^2 - 4x + 3 &= 0 \ : \ a \\ &= 1 \ \\ \ b &= -4 \ \\ \ c &= 3\end{aligned}
b2−4ac=−42−4⋅1⋅3=−28\begin{aligned}b^2 - 4ac &= -4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 \\ &= -28\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: b2−4ac=−42−4⋅1⋅3=−28b^2 - 4ac = -4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = -28 → b2−4ac=(−4)2−4⋅1⋅3=4b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4

הפתרון:

(−4)2=16(-4)^2 = 16

מעלים בריבוע עם הסוגריים

16−12=416 - 12 = 4

מתחת לשורש מספר חיובי — שני פתרונות: 1 ו-3

בלי סוגריים, −42-4^2 הוא −16-16, והמשוואה נראית בלי פתרון — אבל יש לה שניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

בכמה נקודות הפרבולה y=x2+2x+5y = x^2 + 2x + 5 חותכת את ציר ה-xx?

  1. בנקודה אחת
  2. בשלוש נקודות
  3. בשתי נקודות
  4. באף נקודה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד באף נקודה

הפתרון:

22−4⋅1⋅5=4−20=−16\begin{aligned}2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 &= 4 - 20 \\ &= -16\end{aligned}

מה שמתחת לשורש

−16\sqrt{-16}

למספר שלילי אין שורש

אין פתרון למשוואה, ולכן הפרבולה לא נוגעת בציר — היא כולה מעליו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

פתרו בנוסחת השורשים: −x2+2x+3=0-x^2 + 2x + 3 = 0. מהו הפתרון הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

a=−1  b=2  c=3\begin{aligned}a &= -1 \ \\ \ b &= 2 \ \\ \ c &= 3\end{aligned}

גם aa שלילי

x1,2=−2±22−4⋅(−1)⋅32⋅(−1)=−2±4−2\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 3}}{2 \cdot (-1)} \\ &= \dfrac{-2 \pm 4}{-2}\end{aligned}

מציבים בנוסחה — והמכנה שלילי

x1=2−2=−1x2=−6−2=3\begin{aligned}x_1 &= \dfrac{2}{-2} \\ &= -1 \quad \\ \quad x_2 &= \dfrac{-6}{-2} \\ &= 3\end{aligned}

פעם פלוס, פעם מינוס

כשהמכנה שלילי, הפלוס נותן דווקא את הפתרון הקטן. לא מנחשים — מחשבים את שניהם ומשווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

פתרו בנוסחת השורשים: 2x2−3x−5=02x^2 - 3x - 5 = 0. מה יוצא מתחת לשורש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 49

הפתרון:

a=2  b=−3  c=−5\begin{aligned}a &= 2 \ \\ \ b &= -3 \ \\ \ c &= -5\end{aligned}

המקדמים, עם הסימנים

(−3)2−4⋅2⋅(−5)(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)

מציבים: b2−4acb^2 - 4ac

=9+40=49= 9 + 40 = 49

מינוס כפול מינוס — פלוס

הסימן של cc שלילי, ולכן −4ac-4ac מוסיף: 40, ולא מוריד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

ומהו הפתרון השלילי של 2x2−3x−5=02x^2 - 3x - 5 = 0?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

x1,2=3±494=3±74\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{3 \pm \sqrt{49}}{4} \\ &= \dfrac{3 \pm 7}{4}\end{aligned}

מינוס bb הוא 3, והמכנה 2a=42a = 4

x1=104=2.5x2=−44=−1\begin{aligned}x_1 &= \dfrac{10}{4} \\ &= 2.5 \quad \\ \quad x_2 &= \dfrac{-4}{4} \\ &= -1\end{aligned}

פעם פלוס, פעם מינוס

המכנה הוא 2a=42a = 4, ולא 2. עם 2 היו יוצאים 55 ו-−2-2 — שניהם שגויים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

פותרים x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

a=1  b=−4  c=3\begin{aligned}a &= 1 \ \\ \ b &= -4 \ \\ \ c &= 3\end{aligned}
b2=−42=−16\begin{aligned}b^2 &= -4^2 \\ &= -16\end{aligned}
x1,2=4±16−122x_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: b2=−42=−16b^2 = -4^2 = -16 → b2=(−4)2=16b^2 = (-4)^2 = 16

הפתרון:

(−4)2=16(-4)^2 = 16

ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי

מעלים את bb בריבוע עם הסוגריים. בלי סוגריים יוצא −16-16, ומתחת לשורש היה יוצא מספר שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

למשוואה x2+4x+4=0x^2 + 4x + 4 = 0 יש שני פתרונות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

42−4⋅1⋅4=16−16=0\begin{aligned}4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 &= 16 - 16 \\ &= 0\end{aligned}

מתחת לשורש: אפס

x=−4±02=−2\begin{aligned}x &= \dfrac{-4 \pm 0}{2} \\ &= -2\end{aligned}

פלוס אפס ומינוס אפס — אותו מספר

כשמתחת לשורש יוצא 00, יש פתרון אחד בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

התאימו כל משוואה למספר הפתרונות שלה

  • x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0
  • x2−2x+1=0x^2 - 2x + 1 = 0
  • x2−2x+5=0x^2 - 2x + 5 = 0
  • אין פתרון
  • פתרון אחד
  • שני פתרונות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0 — שני פתרונות · x2−2x+1=0x^2 - 2x + 1 = 0 — פתרון אחד · x2−2x+5=0x^2 - 2x + 5 = 0 — אין פתרון

הפתרון:

4+12=164 + 12 = 16

הראשונה: חיובי

4−4=04 - 4 = 0

השנייה: אפס

4−20=−164 - 20 = -16

השלישית: שלילי

רק cc משתנה בין שלוש המשוואות — והוא לבדו מחליט מה ייצא מתחת לשורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

בנוסחת השורשים, קו השבר עובר רק מתחת לשורש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

קו השבר ארוך

קו השבר עובר מתחת לכל המונה — גם מתחת ל-−b-b.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת