נקודת קודקוד

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

לכל פרבולה יש נקודה אחת שבה היא מפסיקה לרדת ומתחילה לעלות — או להפך.

הנקודה הזו נקראת קודקוד הפרבולה. היא הנקודה החשובה ביותר בגרף.

מינימום או מקסימום — לפי a

a>0a > 0

הפרבולה פתוחה כלפי מעלה — צורת חיוך. הקודקוד הוא הנקודה הנמוכה ביותר, כלומר מינימום.

a<0a < 0

הפרבולה פתוחה כלפי מטה — צורת עצב. הקודקוד הוא הנקודה הגבוהה ביותר, כלומר מקסימום.

ציר הסימטריה

לכל פרבולה יש ציר סימטריה: קו אנכי שעובר דרך הקודקוד. מקפלים לאורכו — ושני החצאים נופלים זה על זה.

לכן, אם הפרבולה חותכת את ציר ה-xx בשתי נקודות, הקודקוד נמצא בדיוק באמצע ביניהן.

האמצע שבין השורשים

הפרבולה y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5 חותכת את ציר ה-xx ב-x=1x = 1 וב-x=5x = 5.

1+52=3\frac{1 + 5}{2} = 3

האמצע בין שני השורשים

xקודקוד=3x_{\text{קודקוד}} = 3

וזה ה-xx של הקודקוד

קיצור דרך: הממוצע של שני השורשים הוא ה-xx של הקודקוד. ואם יש שורש אחד בלבד — הוא עצמו הקודקוד.

פרבולה חותכת את ציר ה-xx ב-x=2x = 2 וב-x=8x = 8. מהו ה-xx של הקודקוד?

להציג את התשובה והפתרון

x=5x = 5. האמצע בין 2 ל-8: 2+82=5\frac{2 + 8}{2} = 5. אין צורך לדעת את המקדמים בכלל.

ובלי שורשים — הנוסחה

אבל לא לכל פרבולה יש שורשים. איפה הקודקוד אז?

הסימטריה עובדת בכל גובה, לא רק על ציר ה-xx. הזיזו את הקו וראו.

xקודקוד=−b2ax_{\text{קודקוד}} = \frac{-b}{2a}

ויש עוד דרך לראות את זה: ממוצע שני השורשים מנוסחת השורשים. החלק עם השורש מתבטל, ונשאר בדיוק −b2a\dfrac{-b}{2a}.

שימו לב למינוס שבמונה: הוא חלק מהנוסחה. אם b=−6b = -6 אז −b=6-b = 6 — והתוצאה חיובית.

ואת ה-yy של הקודקוד לא מחשבים בנוסחה. מציבים את ה-xx שמצאנו בחזרה בפונקציה.

קודקוד ראשון

מצאו את קודקוד הפרבולה y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5.

a=1  b=−6\begin{aligned}a &= 1 \ \\ \ b &= -6\end{aligned}

קודם מזהים את המקדמים

x=−(−6)2⋅1=62=3\begin{aligned}x &= \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} \\ &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

מינוס bb — כלומר מינוס של מינוס שש

y=32−6⋅3+5=9−18+5=−4\begin{aligned}y &= 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 \\ &= 9 - 18 + 5 \\ &= -4\end{aligned}

מציבים בחזרה בפונקציה

(3 , −4)(3 \, , \, -4)

הקודקוד. וכיוון ש-a>0a > 0 — זו נקודת מינימום

כשהמקדם אינו 1

מצאו את קודקוד הפרבולה y=2x2+8x+3y = 2x^2 + 8x + 3.

a=2  b=8\begin{aligned}a &= 2 \ \\ \ b &= 8\end{aligned}

המקדמים

x=−82⋅2=−84=−2\begin{aligned}x &= \frac{-8}{2 \cdot 2} \\ &= \frac{-8}{4} \\ &= -2\end{aligned}

המכנה הוא 2a2a, ולא 2

y=2⋅4+8⋅(−2)+3=8−16+3=−5\begin{aligned}y &= 2 \cdot 4 + 8 \cdot (-2) + 3 \\ &= 8 - 16 + 3 \\ &= -5\end{aligned}

הצבה

(−2 , −5)(-2 \, , \, -5)

מינימום, כי a=2>0a = 2 > 0

פרבולה הפוכה

מצאו את קודקוד הפרבולה y=−x2+4x−1y = -x^2 + 4x - 1.

a=−1  b=4\begin{aligned}a &= -1 \ \\ \ b &= 4\end{aligned}

המקדמים

x=−42⋅(−1)=−4−2=2\begin{aligned}x &= \frac{-4}{2 \cdot (-1)} \\ &= \frac{-4}{-2} \\ &= 2\end{aligned}

מינוס לחלק למינוס — חיובי

y=−4+8−1=3\begin{aligned}y &= -4 + 8 - 1 \\ &= 3\end{aligned}

הצבה

(2 , 3)(2 \, , \, 3)

הפעם מקסימום, כי a<0a < 0

מהו ה-xx של קודקוד הפרבולה y=3x2−12x+7y = 3x^2 - 12x + 7?

להציג את התשובה והפתרון

x=2x = 2. כאן a=3a = 3 ו-b=−12b = -12, ולכן x=126=2x = \frac{12}{6} = 2.

שלוש הטעויות של הקודקוד.

x=−b2x = \frac{-b}{2}
x=−b2ax = \frac{-b}{2a}

המכנה הוא 2a2a. כשהמקדם אינו 1, שכחת ה-aa מזיזה את הקודקוד למקום אחר לגמרי.

b=−6⇒x=−62a\begin{aligned}b &= -6 \Rightarrow x \\ &= \frac{-6}{2a}\end{aligned}
b=−6⇒x=62a\begin{aligned}b &= -6 \Rightarrow x \\ &= \frac{6}{2a}\end{aligned}

בנוסחה כתוב מינוס bb. מינוס של מינוס שש הוא שש.

הקודקוד הוא (3 , 3)\text{הקודקוד הוא } (3 \, , \, 3)
הקודקוד הוא (3 , −4)\text{הקודקוד הוא } (3 \, , \, -4)

ה-xx אינו ה-yy. אחרי שמצאתם את ה-xx — מציבים אותו בפונקציה כדי לקבל את ה-yy.

הצורה הקודקודית

בהזזת ישר ראינו: ימינה — מחסרים בתוך ה-xx; למעלה — מוסיפים בחוץ.

אותו כלל בדיוק עובד גם על הפרבולה:

y=(x−h)2+ky = (x - h)^2 + k
(x−h)2(x - h)^2

הזזה ימינה ב-hh — מחסרים בתוך הסוגריים. שימו לב לסימן ההפוך.

+ k+\, k

הזזה למעלה ב-kk — מוסיפים בחוץ.

(h, k)(h,\, k)

הקודקוד — רואים אותו בנוסחה בלי לחשב כלום.

לפרבולה y=(x−3)2+2y = (x-3)^2 + 2 — מהו הקודקוד?

להציג את התשובה והפתרון

(3,2)(3, 2) — הצורה הקודקודית מסגירה אותו מיד: הזזה 3 ימינה ו-2 למעלה.

הטעות של הצורה הקודקודית.

y=(x+4)2 ⇒ h=4\begin{aligned}y &= (x + 4)^2 \ \Rightarrow \ h \\ &= 4\end{aligned}
y=(x+4)2=(x−(−4))2 ⇒ h=−4\begin{aligned}y &= (x + 4)^2 \\ &= (x - (-4))^2 \ \Rightarrow \ h \\ &= -4\end{aligned}

פלוס בתוך הסוגריים מזיז שמאלה, לא ימינה. הקודקוד של (x+4)2(x + 4)^2 הוא ב-x=−4x = -4.

מהו הקודקוד של y=(x+1)2−5y = (x + 1)^2 - 5?

להציג את התשובה והפתרון

(−1,−5)(-1, -5) — הזזה 1 שמאלה ו-5 למטה.

תרגילים

תרגיל 1

מהו ה-xx של קודקוד הפרבולה y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

a=1  b=−6\begin{aligned}a &= 1 \ \\ \ b &= -6\end{aligned}

המקדמים

x=62=3\begin{aligned}x &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

מינוס bb לחלק ל-2a2a

ומכיוון ש-a>0a > 0, זו נקודת מינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו ה-yy של קודקוד הפרבולה y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

x=3x = 3

מהסעיף הקודם

y=9−18+5=−4\begin{aligned}y &= 9 - 18 + 5 \\ &= -4\end{aligned}

מציבים בפונקציה

את ה-yy תמיד מקבלים בהצבה, אף פעם לא בנוסחה נפרדת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו ה-xx של קודקוד הפרבולה y=2x2+8x+3y = 2x^2 + 8x + 3?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

x=−84x = \frac{-8}{4}

המכנה הוא 2a=42a = 4

=−2= -2

כשהמקדם אינו 1, ה-aa שבמכנה קובע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו ה-xx של קודקוד הפרבולה y=3x2−12x+7y = 3x^2 - 12x + 7?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x=126=2\begin{aligned}x &= \frac{12}{6} \\ &= 2\end{aligned}

מינוס של מינוס 12, לחלק ל-6

המקדם c=7c = 7 אינו משפיע על ה-xx של הקודקוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פרבולה חותכת את ציר ה-xx ב-x=2x = 2 וב-x=8x = 8. מהו ה-xx של הקודקוד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

2+82=5\frac{2 + 8}{2} = 5

האמצע בין שני השורשים

הפרבולה סימטרית, ולכן הקודקוד תמיד באמצע שבין השורשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו ה-yy של קודקוד הפרבולה y=−x2+4x−1y = -x^2 + 4x - 1?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x=−4−2=2\begin{aligned}x &= \frac{-4}{-2} \\ &= 2\end{aligned}

קודם ה-xx

y=−4+8−1=3\begin{aligned}y &= -4 + 8 - 1 \\ &= 3\end{aligned}

ואז הצבה

כאן a<0a < 0, ולכן 3 הוא הערך המקסימלי של הפונקציה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בפרבולה y=−2x2+5x+1y = -2x^2 + 5x + 1 — הקודקוד הוא מינימום או מקסימום?

  1. מקסימום, כי a<0a < 0 והפרבולה פתוחה כלפי מטה
  2. תלוי בערך של bb
  3. מינימום, כי a<0a < 0
  4. מקסימום, כי c>0c > 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מקסימום, כי a<0a < 0 והפרבולה פתוחה כלפי מטה

הפתרון:

a=−2<0a = -2 < 0

הפרבולה פתוחה כלפי מטה

רק הסימן של aa קובע את כיוון הפתיחה. bb ו-cc מזיזים, ולא הופכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מה קורה לקודקוד כשמגדילים את cc בלבד?

  1. הוא זז ימינה
  2. הוא זז שמאלה
  3. הוא אינו משתנה כלל
  4. הוא עולה למעלה, וה-xx שלו אינו משתנה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הוא עולה למעלה, וה-xx שלו אינו משתנה

הפתרון:

x=−b2ax = \frac{-b}{2a}

cc אינו מופיע בנוסחה

הגדלת cc מרימה את כל הפרבולה, ולכן ה-yy של הקודקוד גדל וה-xx נשמר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

y=(x+4)2−3y = (x+4)^2 - 3: מהו שיעור ה-x של הקודקוד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

x=−4x = -4

ההזזה הפוכה מהסימן שבסוגריים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5: מהו שיעור ה-x של הקודקוד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x=62=3\begin{aligned}x &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

מינוס b חלקי 2a

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

b=−6⇒x=62a\begin{aligned}b &= -6 \Rightarrow x \\ &= \frac{6}{2a}\end{aligned}
x=−b2x = \frac{-b}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=−b2x = \frac{-b}{2} → x=−b2ax = \frac{-b}{2a}

הפתרון:

המכנה הוא 2a2a. כשהמקדם אינו 1, שכחת ה-aa מזיזה את הקודקוד למקום אחר לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

הפרבולה y=x2−8x+3y = x^2 - 8x + 3 עוברת בנקודות (0, 3)(0,\, 3) ו-(8, 3)(8,\, 3). מהו ה-xx של הקודקוד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

0+82=4\dfrac{0 + 8}{2} = 4

שתי הנקודות באותו גובה — הקודקוד באמצע

−(−8)2⋅1=4\dfrac{-(-8)}{2 \cdot 1} = 4

והנוסחה נותנת אותו דבר

לא צריך שורשים: כל שתי נקודות באותו גובה יושבות סימטרית סביב הקודקוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת