פרבולה וישר

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

נתחיל ישר מדוגמה, ולא מאותיות. נתונות שתי הפונקציות:

y=x2+2x+3y = x^2 + 2x + 3
y=5x+1y = 5x + 1

קודם כול — מי מהן הפרבולה

לפני כל חישוב, מזהים מי היא מי. מחפשים את החזקה: איפה יש x2x^2?

y=x2+2x+3y = x^2 + 2x + 3

יש כאן x2x^2 — זו הפרבולה.

y=5x+1y = 5x + 1

אין כאן חזקה — זה הישר.

ומה לגבי y=7x−4y = 7x - 4 ו-y=−x2+6y = -x^2 + 6? מי הפרבולה?

להציג את התשובה והפתרון

y=−x2+6y = -x^2 + 6 היא הפרבולה, כי יש בה xx בחזקת 2. גם מינוס לפני ה-x2x^2 אינו משנה — היא עדיין פרבולה, רק פתוחה כלפי מטה.

עכשיו משווים ביניהן

נקודת חיתוך נמצאת על שני הגרפים יחד. לכן ה-yy שלה זהה בשניהם.

ופותרים עד הסוף

מצאו את נקודות החיתוך של y=x2+2x+3y = x^2 + 2x + 3 ושל y=5x+1y = 5x + 1.

x2+2x+3=5x+1x^2 + 2x + 3 = 5x + 1

משווים בין שתי הפונקציות

x2+2x+3−5x−1=0x^2 + 2x + 3 - 5x - 1 = 0

מעבירים הכול לאגף אחד

x2−3x+2=0x^2 - 3x + 2 = 0

ומכנסים איברים דומים

(x−1)(x−2)=0(x - 1)(x - 2) = 0

טרינום: מכפלה 2, סכום 3−

x=1  x=2\begin{aligned}x &= 1 \ \\ \ x &= 2\end{aligned}

שני ערכי xx

y=5⋅1+1=6\begin{aligned}y &= 5 \cdot 1 + 1 \\ &= 6\end{aligned}

מציבים בישר — קל יותר

y=5⋅2+1=11\begin{aligned}y &= 5 \cdot 2 + 1 \\ &= 11\end{aligned}

והשני

(1, 6) , (2, 11)(1,\, 6) \ , \ (2,\, 11)

שתי נקודות החיתוך

בדיקה: מציבים x=1x = 1 גם בפרבולה: 1+2+3=61 + 2 + 3 = 6. אותו yy בדיוק — הנקודה על שני הגרפים.

ורק עכשיו — הכתיב הכללי

עכשיו אותו דבר, עם אותיות. זו אותה שיטה בדיוק:

ax2+bx+c=mx+nax^2 + bx + c = mx + n

מעבירים הכול לאגף אחד ומקבלים משוואה ריבועית רגילה, שכבר יודעים לפתור — בנוסחת השורשים או בטרינום.

דוגמה שנייה, עם מספרים שליליים

מצאו את נקודות החיתוך של y=x2−3y = x^2 - 3 ושל y=2xy = 2x.

x2−3=2xx^2 - 3 = 2x

משווים בין שתי הפונקציות

x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0

מעבירים הכול לאגף אחד

(x−3)(x+1)=0(x - 3)(x + 1) = 0

טרינום: מכפלה 3−, סכום 2−

x=3  x=−1\begin{aligned}x &= 3 \ \\ \ x &= -1\end{aligned}

שני ערכי xx

y=2⋅3=6\begin{aligned}y &= 2 \cdot 3 \\ &= 6\end{aligned}

מציבים בישר — קל יותר

y=2⋅(−1)=−2\begin{aligned}y &= 2 \cdot (-1) \\ &= -2\end{aligned}

והשני

(3, 6) , (−1, −2)(3,\, 6) \ , \ (-1,\, -2)

שתי נקודות החיתוך

להצבה בסוף בוחרים את הישר: חשבון קצר יותר, ופחות מקום לטעות.

כמה נקודות חיתוך יש

פותרים את המשוואה בנוסחת השורשים. כל פתרון הוא נקודת חיתוך.

ולכן מספר הפתרונות הוא מספר נקודות החיתוך:

x1,2=−b±92ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{9}}{2a}

מתחת לשורש מספר חיובי — שני פתרונות: הישר חותך את הפרבולה בשתי נקודות.

x1,2=−b±02ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{0}}{2a}

מתחת לשורש אפס — פתרון אחד: לישר ולפרבולה יש נקודה משותפת אחת בלבד.

x1,2=−b±−42ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{-4}}{2a}

מתחת לשורש מספר שלילי — אין פתרון: הישר עובר מעל הפרבולה או מתחתיה.

כל הנקודות החשובות על גרף אחד

בשאלת בגרות יש כמה נקודות על אותו ציור, וקל להתבלבל ביניהן. הנה כולן, על פרבולה אחת וישר אחד.

לנקודה אחת יכולים להיות כמה תפקידים: (−1, 0)(-1,\, 0) היא שורש, חיתוך הישר עם ציר ה-xx, וגם נקודת חיתוך בין השניים. שאלה מבקשת «נקודת חיתוך»? קראו בין מי למי.

שטח המשולש שנוצר

שאלה קלאסית: הישר והפרבולה נחתכים בשתי נקודות. איתן ועם נקודה שלישית — לרוב הראשית או הקודקוד — נוצר משולש.

בוחרים כבסיס קטע שמונח על ציר, או מקביל לו: אורכו הוא הפרש קואורדינטות. הגובה — המרחק מהקודקוד השלישי אל אותו קו.

שטח מנקודות

משולש שקודקודיו (0, 0)(0,\, 0), (4, 0)(4,\, 0) ו-(4, 6)(4,\, 6). מהו שטחו?

a=4−0=4\begin{aligned}a &= 4 - 0 \\ &= 4\end{aligned}

הבסיס — מונח על ציר ה-xx

h=6−0=6\begin{aligned}h &= 6 - 0 \\ &= 6\end{aligned}

הגובה — הפרש ה-yy

S=4⋅62=12\begin{aligned}S &= \frac{4 \cdot 6}{2} \\ &= 12\end{aligned}

ונוסחת המשולש הרגילה

הטעות של נקודות חיתוך.

x=3  x=−1 — זו התשובה\begin{aligned}x &= 3 \ \\ \ x &= -1 \ \text{— זו התשובה}\end{aligned}
(3, 6) , (−1, −2)(3,\, 6) \ , \ (-1,\, -2)

נקודת חיתוך היא זוג. חייבים להציב ולמצוא גם את ה-yy.

x2−3=2x ⇒ x2=2x+3 ⇒ x=2+3\begin{aligned}x^2 - 3 &= 2x \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 2x + 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 + 3\end{aligned}
x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0

אי אפשר «לצמצם» xx ממשוואה ריבועית. מעבירים הכול לאגף אחד ופותרים כמשוואה ריבועית.

מה קובע המקדם של x2x^2 לגבי הפרבולה?

להציג את התשובה והפתרון

חיובי — «מחייכת» (מינימום); שלילי — «עצובה» (מקסימום). והגודל קובע כמה היא צרה.

תרגילים

תרגיל 1

מהן נקודות החיתוך של y=x2−3y = x^2 - 3 ושל y=2xy = 2x?

  1. (3, 6)(3,\, 6) ו-(−1, −2)(-1,\, -2)
  2. (6, 3)(6,\, 3) ו-(−2, −1)(-2,\, -1)
  3. אין נקודות חיתוך
  4. (3, 0)(3,\, 0) ו-(−1, 0)(-1,\, 0)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א (3, 6)(3,\, 6) ו-(−1, −2)(-1,\, -2)

הפתרון:

x2−3=2xx^2 - 3 = 2x

משווים

x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0

לאגף אחד

x=3  x=−1\begin{aligned}x &= 3 \ \\ \ x &= -1\end{aligned}

טרינום

y=6  y=−2\begin{aligned}y &= 6 \ \\ \ y &= -2\end{aligned}

מציבים בישר

נקודת חיתוך היא זוג — חייבים גם את ה-yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמה נקודות חיתוך יש ל-y=x2y = x^2 ולישר y=−4y = -4?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

x2=−4x^2 = -4

משווים

x2≥0 תמידx^2 \geq 0 \ \text{תמיד}

ריבוע לעולם אינו שלילי

הישר עובר מתחת לפרבולה כולה — אין מפגש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

כמה נקודות חיתוך יש ל-y=x2y = x^2 ולישר y=0y = 0?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

x2=0x^2 = 0

משווים

x=0x = 0

פתרון יחיד

לישר ולפרבולה יש נקודה משותפת אחת בלבד — הקודקוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו שטח המשולש שקודקודיו (0, 0)(0,\, 0), (4, 0)(4,\, 0) ו-(4, 6)(4,\, 6)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

a=4a = 4

הבסיס על ציר ה-xx

h=6h = 6

הגובה — הפרש ה-yy

S=4⋅62=12\begin{aligned}S &= \frac{4 \cdot 6}{2} \\ &= 12\end{aligned}

נוסחת המשולש

בוחרים בסיס שמונח על ציר — אז אורכו הוא פשוט הפרש קואורדינטות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

למשוואת החיתוך של ישר ופרבולה יש פתרון אחד. כמה נקודות חיתוך יש להם?

  1. אין נקודות חיתוך
  2. שתי נקודות
  3. נקודה אחת
  4. אינסוף נקודות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג נקודה אחת

הפתרון:

x1,2=−b±02a=−b2a\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} \\ &= \dfrac{-b}{2a}\end{aligned}

מתחת לשורש אפס: פלוס ומינוס נותנים אותו מספר

כל פתרון של משוואת החיתוך הוא נקודת חיתוך. פתרון אחד — נקודה אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מצאו את ערך ה-xx החיובי בנקודת החיתוך של y=x2y = x^2 ושל y=5xy = 5x.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

x2=5xx^2 = 5x

משווים

x2−5x=0x^2 - 5x = 0

לאגף אחד

x(x−5)=0x(x - 5) = 0

גורם משותף

x=0  x=5\begin{aligned}x &= 0 \ \\ \ x &= 5\end{aligned}

שני פתרונות

לא לחלק ב-xx — זה היה מוחק את הפתרון x=0x = 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

y=−2x2+3y = -2x^2 + 3 — לפרבולה יש…

  1. מינימום
  2. מקסימום
  3. שניהם
  4. אף אחד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מקסימום

הפתרון:

−2<0-2 < 0

עצובה — פסגה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

y=x2−9y = x^2 - 9: היכן חותכת את ציר ה-x? כתבו את החיובי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x2=9  x=±3\begin{aligned}x^2 &= 9 \ \\ \ x &= \pm 3\end{aligned}

על ציר ה-xx מתקיים y=0y = 0. שורש של מספר נותן שני פתרונות — חיובי ושלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

y=x2+4y = x^2 + 4: כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-x?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

x2=−4x^2 = -4

אין פתרון — הפרבולה מרחפת מעל

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ציר הסימטריה של y=(x−5)2y = (x-5)^2 הוא…

  1. x=0x = 0
  2. y=0y = 0
  3. x=5x = 5
  4. y=5y = 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x=5x = 5

הפתרון:

x=5x = 5

אנכי דרך הקודקוד

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. א. מהו ציר הסימטריה של הפרבולה? (כתבו את ערך ה-xx)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4

הצורה הקודקודית

x=4x = 4

ציר הסימטריה עובר בקודקוד

בצורה הקודקודית ציר הסימטריה נקרא ישירות מהסוגריים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ב. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

a(6−4)2−4=0a(6-4)^2 - 4 = 0

מציבים את נקודת האפס

4a=44a = 4
a=1a = 1
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ג. האם הקודקוד הוא נקודת מינימום או מקסימום, ומהי?

  1. מקסימום, בנקודה (6,0)(6,0)
  2. מינימום, בנקודה (4,−4)(4,-4)
  3. מקסימום, בנקודה (4,−4)(4,-4)
  4. מינימום, בנקודה (4,4)(4,4)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מינימום, בנקודה (4,−4)(4,-4)

הפתרון:

a=1>0a = 1 > 0

הפרבולה «מחייכת»

(4,−4)(4,-4)

הקודקוד מהצורה הקודקודית

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ד. מצאו את נקודת האפס השנייה (כתבו את ה-xx).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

(x−4)2−4=0(x-4)^2 - 4 = 0
(x−4)2=4(x-4)^2 = 4
x=4±2x = 4 \pm 2

הסימטריה נותנת אותה מיד: 6 רחוק 2 מציר 4, אז השני הוא 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ה. האם הישר y=−4y = -4 חותך את הגרף? בכמה נקודות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

(x−4)2−4=−4(x-4)^2 - 4 = -4
(x−4)2=0(x-4)^2 = 0
x=4x = 4

פתרון יחיד

נקודה אחת בלבד: הישר נוגע בפרבולה בדיוק בקודקוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ז. מהם תחומי העלייה והירידה?

  1. יורדת תמיד
  2. יורדת ב-x<4x<4, עולה ב-x>4x>4
  3. עולה ב-x<4x<4, יורדת ב-x>4x>4
  4. עולה תמיד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב יורדת ב-x<4x<4, עולה ב-x>4x>4

הפתרון:

פרבולה מחייכת\text{פרבולה מחייכת}

הקודקוד ב-4 הוא נקודת ההיפוך

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ח. מהם תחומי החיוביות והשליליות?

  1. חיובית ב-x<2x<2 או x>6x>6, שלילית ב-2<x<62<x<6
  2. שלילית תמיד
  3. חיובית תמיד
  4. חיובית בין 2 ל-6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א חיובית ב-x<2x<2 או x>6x>6, שלילית ב-2<x<62<x<6

הפתרון:

אפסים ב-2 ו-6\text{אפסים ב-2 ו-6}

מחייכת: שלילית בין השורשים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ט. חשבו את שטח המשולש שקודקודיו הם שתי נקודות האפס והקודקוד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

בסיס=6−2=4\begin{aligned}\text{בסיס} &= 6 - 2 \\ &= 4\end{aligned}

בין שתי נקודות האפס

גובה=4\text{גובה} = 4

מהציר עד הקודקוד

4⋅42=8\frac{4 \cdot 4}{2} = 8
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. י. בשרטוט, גרף נוסף מתקבל מהזזת הגרף כך שקודקודו (4,4)(4,4) והוא «עצוב». איזו משוואה מתאימה לו?

  1. y=(x+4)2+1y = (x+4)^2 + 1
  2. y=−(x−4)2+5y = -(x-4)^2 + 5
  3. y=x2+1y = x^2 + 1
  4. y=−(x−4)2+4y = -(x-4)^2 + 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד y=−(x−4)2+4y = -(x-4)^2 + 4

הפתרון:

קודקוד(4,4)\text{קודקוד} (4,4)

נותן (x−4)2(x-4)^2 ועוד 4

a<0a < 0

«עצובה» — מינוס לפני הסוגריים

הצורה הקודקודית נקראת ישירות מהקודקוד ומכיוון הפתיחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

בנוסחת השורשים של משוואת החיתוך, מתחת לשורש יצא… התאימו לתשובה.

  • 25\sqrt{25}
  • 0\sqrt{0}
  • −9\sqrt{-9}
  • אין פתרון — אין נקודות חיתוך.
  • פתרון אחד — נקודת חיתוך אחת.
  • שני פתרונות — שתי נקודות חיתוך.
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25\sqrt{25} — שני פתרונות — שתי נקודות חיתוך. · 0\sqrt{0} — פתרון אחד — נקודת חיתוך אחת. · −9\sqrt{-9} — אין פתרון — אין נקודות חיתוך.

הפתרון:

מספר חיובי נותן שני פתרונות, אפס נותן אחד, ולמספר שלילי אין שורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת