שאלה שלמה — פרבולה וישר · הפונקציה הריבועית — הפרבולה · כיתה ט׳

שאלת הפרבולה במבחן בנויה תמיד באותו סדר. כל סעיף נשען על הסעיף שלפניו.

השרטוט הטיפוסי — פרבולה, ישר, וארבע נקודות

הישר עובר דרך שתיים מנקודות הפרבולה —

B

ו-

D

. זו לא מקריות: ככה בונים שאלה יפה.

מי ששומר על הסדר הזה — לא הולך לאיבוד:

1

נקודות אפס — משווים לאפס ומפרקים לגורמים.

2

חיתוך עם ציר $y$ — מציבים $x=0$ : זה תמיד האיבר החופשי.

3

קודקוד — ה- $x$ שלו הוא בדיוק אמצע שתי נקודות האפס.

4

חיתוך עם ישר — משווים את שני הביטויים ופותרים ריבועית.

5

שטח — מזהים בסיס על ציר, והגובה הוא השיעור הנגדי.

למה ה- $x$ של הקודקוד הוא אמצע נקודות האפס?

להציג את התשובה והפתרון

בגלל הסימטריה: הפרבולה זהה משני צדי הקודקוד, ולכן שתי נקודות שבהן היא באותו גובה — ובפרט שני האפסים — יושבות במרחקים שווים ממנו.

הישר חותך את הפרבולה ב- $x=0$ וב- $x=3$ . באילו ערכים הפרבולה מתחת לישר?

להציג את התשובה והפתרון

בדיוק בין נקודות החיתוך: $0 < x < 3$ . מחוץ לקטע — הפרבולה מעל, כי המקדם של $x^2$ חיובי והזרועות עולות.

שתי הטעויות של שאלת הפרבולה.

\begin{aligned}x &= 3 \\ \ x &= -1 \ \Rightarrow \ K(2, \ldots)\end{aligned}

K(1, \ldots)

אמצע של $-1$ ו- $3$ הוא $1$ , לא $2$ — ממוצע, לא הפרש.

\begin{aligned}S &= 4 \times 3 \\ &= 12\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{4 \times 3}{2} \\ &= 6\end{aligned}

החצי של שטח המשולש נשכח דווקא בסוף, כשכבר עייפים.

תרגילים

תרגיל 1

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). א. מצאו את נקודות האפס של הפרבולה — כתבו את ה- $x$ הגדול (הנקודה $D$ ).

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x^2 - 2x - 3 = 0

(x-3)(x+1) = 0

פירוק טרינום

\begin{aligned}x &= 3 \ \text{או} \ x \\ &= -1\end{aligned}

שתי נקודות האפס: $C(-1,0)$ ו- $D(3,0)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ב. ומהו ה- $x$ של נקודת האפס השנייה (הנקודה $C$ )?

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

x = -1

נקודות האפס הן פתרונות $f(x) = 0$ . מפרקים לגורמים ובוחרים את המבוקש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ג. מצאו את שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה- $y$ (הנקודה $B$ ).

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

f(0) = -3

מציבים $x=0$ — האיבר החופשי

בפרבולה $x^2+bx+c$ , החיתוך עם ציר ה- $y$ הוא תמיד $c$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ד. מצאו את נקודות החיתוך של הישר עם הפרבולה — כתבו את ה- $x$ החיובי.

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x^2 - 2x - 3 = x - 3

משווים

x^2 - 3x = 0

x(x-3) = 0

\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 3\end{aligned}

הישר פוגש את הפרבולה בדיוק ב- $B(0,-3)$ וב- $D(3,0)$ — שתי נקודות שכבר הכרנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ה. מהו שיעור ה- $x$ של קודקוד הפרבולה (הנקודה $K$ )?

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}x &= \frac{-1 + 3}{2} \\ &= 1\end{aligned}

אמצע שתי נקודות האפס — הסימטריה עושה את העבודה

ו- $f(1) = -4$ : הקודקוד הוא $K(1,-4)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ו. חשבו את שטח המשולש $BCD$ .

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}CD &= 3 - (-1) \\ &= 4\end{aligned}

הבסיס — על ציר ה- $x$

\begin{aligned}h &= |-3| \\ &= 3\end{aligned}

הגובה — המרחק של $B$ מהציר

\begin{aligned}S &= \frac{4 \times 3}{2} \\ &= 6\end{aligned}

בסיס על ציר — הגובה הוא פשוט השיעור השני של הקודקוד הנגדי. בדיוק כמו בכיתה ח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ז. מהי משוואת הישר המקביל לציר ה- $x$ העובר דרך קודקוד הפרבולה? (כתבו את ערך ה- $y$ )

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

y = -4

מקביל לציר ה- $x$ = גובה קבוע

הישר הזה עובר בקודקוד ונוגע בפרבולה בנקודה אחת בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ח. לאילו ערכי $x$ הפרבולה נמצאת מתחת לישר $y = x - 3$ ? כתבו את קצה התחום הגדול.

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x^2 - 2x - 3 < x - 3

x(x-3) < 0

0 < x < 3

בין שתי נקודות החיתוך

בין $B$ ל- $D$ הפרבולה צוללת מתחת לישר — מחוץ לקטע היא מעליו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ט. מהו שטח המשולש $CDK$ — המשולש שקודקודיו הם שתי נקודות האפס והקודקוד של הפרבולה?

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}CD &= 3 - (-1) \\ &= 4\end{aligned}

הבסיס — המרחק בין שתי נקודות האפס

\begin{aligned}h &= |-4| \\ &= 4\end{aligned}

הגובה — עומק הקודקוד מתחת לציר

\begin{aligned}S &= \frac{4 \cdot 4}{2} \\ &= 8\end{aligned}

הבסיס שוכב על ציר ה-x, ולכן הגובה הוא פשוט הערך המוחלט של שיעור ה-y של הקודקוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). י. מהו תחום העלייה של הפרבולה? כתבו את הערך שממנו היא עולה.

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}x_{\text{קודקוד}} &= \frac{-b}{2a} \\ &= 1\end{aligned}

הקודקוד מפריד בין הירידה לעלייה

x > 1

מימין לקודקוד — עולה

בפרבולה «מחייכת» הקודקוד הוא המינימום: משמאלו הפונקציה יורדת, מימינו היא עולה. אותה נקודה משמשת גבול לשני התחומים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

חיתוך עם ישר — משווים את שני הביטויים ופותרים ריבועית.
חיתוך עם ציר $y$ — מציבים $x=0$ : זה תמיד האיבר החופשי.
נקודות אפס — משווים לאפס ומפרקים לגורמים.
קודקוד — ה- $x$ שלו הוא בדיוק אמצע שתי נקודות האפס.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $1$ — נקודות אפס — משווים לאפס ומפרקים לגורמים. · $2$ — חיתוך עם ציר $y$ — מציבים $x=0$ : זה תמיד האיבר החופשי. · $3$ — קודקוד — ה- $x$ שלו הוא בדיוק אמצע שתי נקודות האפס. · $4$ — חיתוך עם ישר — משווים את שני הביטויים ופותרים ריבועית.

הפתרון:

כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

סדרו את שלבי שאלת הפרבולה, מהראשון לאחרון

החיתוך עם הישר
החיתוך עם ציר $y$
הקודקוד
השטח
נקודות האפס

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נקודות האפס · החיתוך עם ציר $y$ · הקודקוד · החיתוך עם הישר · השטח

הפתרון:

x_{\text{קודקוד}} = \dfrac{x_1 + x_2}{2}

הקודקוד נשען על נקודות האפס — ולכן הן קודם

כל סעיף נשען על הקודם: את הקודקוד מוצאים מאמצע נקודות האפס, ואת השטח — מהנקודות שכבר מצאנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

הנקודה $B(0,\, -3)$ נמצאת גם על הפרבולה $f(x) = x^2 - 2x - 3$ וגם על הישר $y = x - 3$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f(0) = -3

בפרבולה

0 - 3 = -3

ובישר

אותו $y$ בשניהם, ולכן $B(0,\, -3)$ היא גם נקודת חיתוך של הישר עם הפרבולה — לנקודה אחת יש כמה תפקידים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev