חזקה של חזקה ושל מכפלה

תמליל

זו נקודת הבלבול המרכזית: מתי מחברים מעריכים ומתי מכפילים אותם? השאלה שמפרידה ביניהם היא האם יש סוגריים סביב החזקה. 2 בשלישית, הכול בריבוע פירושו 2 בשלישית כפול 2 בשלישית. לפי חוק הכפל, המעריכים מתחברים: 3 ועוד 3 שווה 6.

וחיבור חוזר הוא כפל, ומכאן 3 כפול 2. זהו הכלל של חזקה של חזקה: a בחזקת n, הכול בחזקת m, שווה a בחזקת המכפלה n כפול m. זהירות מהחוק שלא קיים, שהוא הטעות הגדולה: החזקה מתחלקת על כפל וחילוק בלבד, לעולם לא על חיבור. הסכום 2 ועוד 3, הכול בריבוע, שווה 25, אבל 2 בריבוע ועוד 3 בריבוע שווה 13.

עכשיו נתרגל. כמה זה a בשלישית, הכול בחזקת 4?

התוצאה היא a בחזקת 12. כופלים מעריכים: שלוש הופעות, ארבע פעמים. מה ההבדל בין a בשלישית כפול a בחזקת 4, לבין a בשלישית, הכול בחזקת 4?

הראשון שווה a בחזקת 7 על ידי חיבור מעריכים, והשני שווה a בחזקת 12 על ידי כפל. כפל בסיסים מול חזקה של חזקה — שני כללים שונים. לסיכום: בכפל חזקות מחברים מעריכים, ובחזקה של חזקה מכפילים אותם. החוקים האלה נובעים ישירות מהחוק הראשון, ואף אחד מהם אינו רעיון חדש.