חזקה של חזקה ושל מכפלה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

חזקה של חזקה — כופלים מעריכים

בלי סוגריים — מחברים: $a^3 \cdot a^4 = a^7$ . עם סוגריים — כופלים: $(a^3)^4 = a^{12}$ .

חזקה של מכפלה

כמה זה $(3a^2)^3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$27a^6$ — $3^3 = 27$ ו- $2 \cdot 3 = 6$ .

חזקה של שבר

טעויות נפוצות

החוק שלא קיים, ושתי טעויות של סוגריים.

(a + b)^n = a^n + b^n

(a + b)^n \neq a^n + b^n

החזקה מתחלקת על כפל וחילוק בלבד, לעולם לא על חיבור. בדיקה מהירה: $(2+3)^2 = 25$ , אבל $2^2 + 3^2 = 13$ .

(2x)^3 = 2x^3

(2x)^3 = 8x^3

החזקה חלה על כל מה שבסוגריים, כולל המקדם. רק בלי סוגריים — $2x^3$ — החזקה שייכת ל- $x$ בלבד.

(-3)^2 = -9

(-3)^2 = 9

בסוגריים גם המינוס מוכפל: $(-3)(-3) = 9$ . אבל $-3^2 = -9$ , כי בלי סוגריים החזקה שייכת רק ל-3.

תרגילים

תרגיל 1

$(2^{3})^{2} = 2^{?}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

(2^{3})^{2} = 2^{3} \cdot 2^{3} \cdots

זו מכפלה של 2 עותקים

3 \times 2 = 6

ולכן המעריכים מוכפלים

בכפל חזקות מחברים מעריכים; בחזקה של חזקה מכפילים. הסוגריים הם ההבדל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

$(5^{2})^{3} = 5^{?}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

(5^{2})^{3} = 5^{2} \cdot 5^{2} \cdots

זו מכפלה של 3 עותקים

2 \times 3 = 6

ולכן המעריכים מוכפלים

בכפל חזקות מחברים מעריכים; בחזקה של חזקה מכפילים. הסוגריים הם ההבדל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$(3^{4})^{2} = 3^{?}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

(3^{4})^{2} = 3^{4} \cdot 3^{4} \cdots

זו מכפלה של 2 עותקים

4 \times 2 = 8

ולכן המעריכים מוכפלים

בכפל חזקות מחברים מעריכים; בחזקה של חזקה מכפילים. הסוגריים הם ההבדל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

$(10^{2})^{4} = 10^{?}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

(10^{2})^{4} = 10^{2} \cdot 10^{2} \cdots

זו מכפלה של 4 עותקים

2 \times 4 = 8

ולכן המעריכים מוכפלים

בכפל חזקות מחברים מעריכים; בחזקה של חזקה מכפילים. הסוגריים הם ההבדל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

$(2^{5})^{3} = 2^{?}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

(2^{5})^{3} = 2^{5} \cdot 2^{5} \cdots

זו מכפלה של 3 עותקים

5 \times 3 = 15

ולכן המעריכים מוכפלים

בכפל חזקות מחברים מעריכים; בחזקה של חזקה מכפילים. הסוגריים הם ההבדל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

$(7^{2})^{2} = 7^{?}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

(7^{2})^{2} = 7^{2} \cdot 7^{2} \cdots

זו מכפלה של 2 עותקים

2 \times 2 = 4

ולכן המעריכים מוכפלים

בכפל חזקות מחברים מעריכים; בחזקה של חזקה מכפילים. הסוגריים הם ההבדל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מה ההבדל בין $2^3 \cdot 2^2$ לבין $(2^3)^2$ ?

בשני אי אפשר לפשט
הם זהים
בראשון מחברים מעריכים, בשני מכפילים
בראשון מכפילים, בשני מחברים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג בראשון מחברים מעריכים, בשני מכפילים

הפתרון:

2^3 \cdot 2^2 = 2^5

כפל — מחברים

(2^3)^2 = 2^6

חזקה של חזקה — מכפילים

32 מול 64. הסוגריים משנים את התוצאה, ולכן הם השאלה הראשונה שכדאי לשאול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

האם $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ ?

כן, תמיד
כן, אם $a$ ו- $b$ חיוביים
כן, אם $a = b$
לא

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לא

הפתרון:

\begin{aligned}(2+3)^2 &= 5^2 \\ &= 25\end{aligned}

החישוב הנכון

\begin{aligned}2^2 + 3^2 &= 4 + 9 \\ &= 13\end{aligned}

ומה שהיה מתקבל אילו החוק היה קיים

החזקה מתחלקת על כפל וחילוק בלבד. דוגמה נגדית אחת מספיקה כדי לפסול את הכלל. החזקה אינה מתחלקת על חיבור

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

$(2 \cdot 5)^3 = ?$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1000

הפתרון:

\begin{aligned}(2 \cdot 5)^3 &= 2^3 \cdot 5^3 \\ &= 8 \cdot 125\end{aligned}

החזקה מתחלקת על הכפל

10^3 = 1000

או פשוט לחשב את הסוגריים קודם

שתי דרכים, אותה תשובה. כאן דווקא מהיר יותר לחשב את הסוגריים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

כמה זה $(2^3)^2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 64

הפתרון:

\begin{aligned}(2^{3})^{2} &= 2^{3 \cdot 2} \\ &= 2^{6}\end{aligned}

יש סוגריים — כופלים מעריכים

2^{6} = 64

הטעות הנפוצה: $2^{3+2} = 32$ . זה היה נכון ל- $2^3 \cdot 2^2$ , בלי סוגריים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

פשטו: $(x^4)^3 \cdot x^2$

$x^{14}$
$x^{24}$
$x^{9}$
$x^{12}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x^{14}$

הפתרון:

(x^{4})^{3} = x^{12}

סוגריים — כופלים

x^{12} \cdot x^{2} = x^{14}

כפל — מחברים

$x^9$ בא מחיבור של הכול, ו- $x^{24}$ מכפל של הכול. כל פעולה והחוק שלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

חשבו: $\frac{(3^4)^2}{3^5}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 27

הפתרון:

(3^{4})^{2} = 3^{8}

\begin{aligned}\frac{3^{8}}{3^{5}} &= 3^{3} \\ &= 27\end{aligned}

שני חוקים ברצף: קודם הסוגריים, אחר כך החילוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

פשטו: $(-2a^3)^2$

$4a^{5}$
$4a^{6}$
$-4a^{6}$
$-2a^{6}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $4a^{6}$

הפתרון:

(-2)^{2} = 4

מינוס כפול מינוס

(a^{3})^{2} = a^{6}

החזקה חלה גם על המינוס: חזקה זוגית של מספר שלילי היא חיובית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

חשבו ורשמו כמספר עשרוני: $\left(\frac{3}{4}\right)^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5625

הפתרון:

\left(\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{9}{16}

מונה ומכנה בנפרד

= 0.5625

שבר קטן מ-1 בחזקה נעשה קטן יותר: $\frac{9}{16} < \frac{3}{4}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

$(a^2)^3 = (a^3)^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

(a^{2})^{3} = a^{6}

(a^{3})^{2} = a^{6}

בכפל הסדר לא משנה: $2 \cdot 3 = 3 \cdot 2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

$(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 3}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}(2^{3})^{2} &= 2^{3 \cdot 2} \\ &= 2^{6} \\ &= 64\end{aligned}

\begin{aligned}2^{3 \cdot 3} &= 2^{9} \\ &= 512\end{aligned}

כופלים את המעריך הפנימי במעריך החיצוני — 3 ב-2, לא 3 בעצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

נתון: $(x^{n})^{3} \cdot x^{2} = x^{20}$ . מהו $n$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

3n + 2 = 20

כופלים, ואז מחברים

\begin{aligned}3n &= 18 \Rightarrow n \\ &= 6\end{aligned}

בדיקה: $(x^6)^3 \cdot x^2 = x^{18} \cdot x^2 = x^{20}$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

חשבו: $\frac{(2 \cdot 5)^{4}}{5^{4}}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

(2 \cdot 5)^{4} = 2^{4} \cdot 5^{4}

החזקה מתחלקת

\begin{aligned}\frac{2^{4} \cdot 5^{4}}{5^{4}} &= 2^{4} \\ &= 16\end{aligned}

$5^4$ מצטמצם

אפשר גם: $\frac{10^4}{5^4} = \frac{10000}{625} = 16$ . החוק מקצר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

$4^{5} = 2^{?}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

4 = 2^{2}

כותבים את 4 כחזקה של 2

\begin{aligned}4^{5} &= (2^{2})^{5} \\ &= 2^{10}\end{aligned}

כדי להשוות חזקות עם בסיסים שונים, מביאים אותן לאותו בסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

נתון: $8^{2} \cdot 4^{3} = 2^{n}$ . מהו $n$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}8^{2} &= (2^{3})^{2} \\ &= 2^{6}\end{aligned}

\begin{aligned}4^{3} &= (2^{2})^{3} \\ &= 2^{6}\end{aligned}

2^{6} \cdot 2^{6} = 2^{12}

בדיקה: $64 \cdot 64 = 4096 = 2^{12}$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

סדרו מהקטן לגדול

$(2^{3})^{5}$
$2^{8}$
$3^{4}$
$4^{5}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $3^{4}$ · $2^{8}$ · $4^{5}$ · $(2^{3})^{5}$

הפתרון:

81 < 256 < 1024 < 32768

הכי קל להשוות כשכותבים בבסיס 2: $2^8$ , $4^5 = 2^{10}$ , $(2^3)^5 = 2^{15}$ . ו- $3^4 = 81$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

(3x^{2})^{3} \cdot x

= 3x^{6} \cdot x

= 3x^{7}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $= 3x^{6} \cdot x$ → $= 27x^{6} \cdot x$

הפתרון:

\begin{aligned}(3x^{2})^{3} &= 3^{3} \cdot x^{6} \\ &= 27x^{6}\end{aligned}

27x^{6} \cdot x = 27x^{7}

שכחו להעלות בחזקה את המקדם 3. החזקה חלה על כל מה שבסוגריים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת