כפל וחילוק חזקות · חזקות ושורשים · כיתה ט׳

חזקה = כפל חוזר: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ . הבסיס — מה כופלים. המעריך — כמה פעמים.

כפל — מחברים מעריכים

כמה זה $a^5 \cdot a^3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$a^8$ — $5 + 3 = 8$ .

חילוק — מחסרים מעריכים

כמה זה $\frac{a^7}{a^4}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$a^3$ — $7 - 3 = 3$ .

עם מקדמים

המספרים לחוד, החזקות לחוד

פשטו: $3x^2 \cdot 4x^5$ ו- $\frac{12a^7}{4a^3}$

3x^{2} \cdot 4x^{5} = 12x^{7}

$3 \cdot 4 = 12$ ו- $2 + 5 = 7$

\frac{12a^{7}}{4a^{3}} = 3a^{4}

$\frac{12}{4} = 3$ ו- $7 - 3 = 4$

טעויות נפוצות

שלוש טעויות שחוזרות שוב ושוב.

2^3 \cdot 5^2 = 10^5

2^3 \cdot 5^2 \text{ — אי אפשר לאחד}

החוקים חלים רק כאשר הבסיס זהה. עם בסיסים שונים אין מה לספור יחד, ואין קיצור.

2^3 \cdot 2^4 = 4^{7}

2^3 \cdot 2^4 = 2^{7}

הבסיס נשאר כמו שהוא — רק המעריכים מתחברים. בדיקה: $8 \cdot 16 = 128 = 2^7$ , ואילו $4^7 = 16384$ .

x^3 + x^2 = x^5

x^3 + x^2 \text{ — אי אפשר לאחד}

החוק הוא על כפל. בחיבור אין מה לספור יחד: $2^3 + 2^2 = 12$ , ואילו $2^5 = 32$ .

תרגילים

תרגיל 1

$2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{?}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

3 + 4 = 7

בכפל מחברים מעריכים

הבסיס נשאר 2 — הוא לא משתנה לעולם. רק המעריך זז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

$5^{2} \cdot 5^{6} = 5^{?}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

2 + 6 = 8

בכפל מחברים מעריכים

הבסיס נשאר 5 — הוא לא משתנה לעולם. רק המעריך זז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$3^{5} \cdot 3^{2} = 3^{?}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

5 + 2 = 7

בכפל מחברים מעריכים

הבסיס נשאר 3 — הוא לא משתנה לעולם. רק המעריך זז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

$10^{4} \cdot 10^{3} = 10^{?}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

4 + 3 = 7

בכפל מחברים מעריכים

הבסיס נשאר 10 — הוא לא משתנה לעולם. רק המעריך זז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

$2^{7} : 2^{3} = 2^{?}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

7 - 3 = 4

בחילוק מחסרים מעריכים

הבסיס נשאר 2 — הוא לא משתנה לעולם. רק המעריך זז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

$5^{6} : 5^{2} = 5^{?}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

6 - 2 = 4

בחילוק מחסרים מעריכים

הבסיס נשאר 5 — הוא לא משתנה לעולם. רק המעריך זז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

$3^{8} : 3^{5} = 3^{?}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

8 - 5 = 3

בחילוק מחסרים מעריכים

הבסיס נשאר 3 — הוא לא משתנה לעולם. רק המעריך זז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

$10^{5} : 10^{4} = 10^{?}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

5 - 4 = 1

בחילוק מחסרים מעריכים

הבסיס נשאר 10 — הוא לא משתנה לעולם. רק המעריך זז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

$2^3 \cdot 2^2 = ?$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

2^3 \cdot 2^2 = 2^5

מחברים מעריכים

2^5 = 32

ומחשבים

אפשר גם לחשב ישירות: $8 \times 4 = 32$ . אותה תשובה — החוק רק חוסך עבודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

האם אפשר לאחד את $2^3 \cdot 5^2$ לחזקה אחת?

כן, $10^6$
כן, $10^5$
כן, $7^5$
לא

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לא

הפתרון:

2 \neq 5

החוקים דורשים בסיס זהה

עם בסיסים שונים אין מה לספור יחד. אפשר רק לחשב כל חזקה בנפרד: $8 \times 25 = 200$ . הבסיסים שונים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

$x^3 \cdot x^5 \cdot x^2 = x^{?}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

x^{3} \cdot x^{5} \cdot x^{2} = x^{3+5+2}

שלוש חזקות, אותו בסיס

= x^{10}

החוק עובד גם על שלוש חזקות ויותר: מחברים את כל המעריכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

פשטו: $3a^4 \cdot 5a^2$

$15a^{6}$
$15a^{8}$
$8a^{8}$
$8a^{6}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $15a^{6}$

הפתרון:

3 \cdot 5 = 15

המקדמים נכפלים

a^{4} \cdot a^{2} = a^{6}

המעריכים מתחברים

שתי מלכודות: לחבר את המקדמים ( $8$ ) או לכפול את המעריכים ( $a^8$ ). המקדמים הם מספרים רגילים — כופלים אותם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

חשבו: $\frac{10^{12}}{10^{9}}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1000

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{10^{12}}{10^{9}} &= 10^{12-9} \\ &= 10^{3}\end{aligned}

מחסרים מעריכים

10^{3} = 1000

אין צורך לכתוב מספר עם 12 אפסים: קודם מפשטים, ורק אז מחשבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

מצאו את המעריך החסר.

ב- $y^{7} \cdot y^{\square} = y^{15}$ המעריך החסר הוא ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב- $y^{7} \cdot y^{\square} = y^{15}$ המעריך החסר הוא 8

הפתרון:

7 + \square = 15

בכפל מחברים מעריכים

\square = 8

זו משוואה קטנה על המעריכים: $7 + 8 = 15$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

\frac{6x^{9} \cdot x^{2}}{2x^{4}}

= \frac{6x^{18}}{2x^{4}}

= 3x^{7}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $= \frac{6x^{18}}{2x^{4}}$ → $= \frac{6x^{11}}{2x^{4}}$

הפתרון:

x^{9} \cdot x^{2} = x^{11}

בכפל מחברים, לא כופלים

\frac{6x^{11}}{2x^{4}} = 3x^{7}

בשורה השנייה כפלו את המעריכים ( $9 \cdot 2 = 18$ ). מכפילים מעריכים רק בחזקה של חזקה, עם סוגריים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

מיינו: אפשר לכתוב כחזקה אחת, או אי אפשר?

חזקה אחת
אי אפשר

$\frac{7^9}{7^2}$
$2^3 \cdot 3^2$
$3^5 - 3^2$
$5^3 \cdot 5^4$
$a^2 \cdot a$
$x^4 + x^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $5^3 \cdot 5^4$ — חזקה אחת · $\frac{7^9}{7^2}$ — חזקה אחת · $a^2 \cdot a$ — חזקה אחת · $2^3 \cdot 3^2$ — אי אפשר · $x^4 + x^2$ — אי אפשר · $3^5 - 3^2$ — אי אפשר

הפתרון:

חזקה אחת מתקבלת רק בכפל או בחילוק, ורק כשהבסיס זהה. בסיסים שונים, חיבור וחיסור — נשארים כמו שהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

בטורניר יש $2^{6}$ קבוצות, ובכל קבוצה $2^{4}$ שחקנים. מספר השחקנים בטורניר הוא $2^{n}$ . מהו $n$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

2^{6} \cdot 2^{4} = 2^{10}

קבוצות כפול שחקנים בכל קבוצה

2^{10} = 1024

1024 שחקנים

שאלה מילולית של «כמה בסך הכול» היא כפל — ובכפל חזקות מחברים מעריכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

נתון: $\frac{2^{n} \cdot 2^{3}}{2^{5}} = 2^{6}$ . מהו $n$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

n + 3 - 5 = 6

המונה: מחברים; החילוק: מחסרים

n = 8

משווים את המעריכים משני הצדדים, ופותרים משוואה רגילה. בדיקה: $8 + 3 - 5 = 6$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

התאימו כל ביטוי לצורה המפושטת שלו.

$a^4 \cdot a^3$
$\frac{a^{12}}{a^{4}}$
$a^6 \cdot a^6$
$\frac{a^{10}}{a^{9}}$

$a^{12}$
$a^{7}$
$a^{8}$
$a$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a^4 \cdot a^3$ — $a^{7}$ · $\frac{a^{12}}{a^{4}}$ — $a^{8}$ · $a^6 \cdot a^6$ — $a^{12}$ · $\frac{a^{10}}{a^{9}}$ — $a$

הפתרון:

a^{6} \cdot a^{6} = a^{12}

ולא $a^{36}$

\begin{aligned}\frac{a^{10}}{a^{9}} &= a^{1} \\ &= a\end{aligned}

בכל זוג סופרים: כפל מוסיף גורמים, חילוק מוריד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

חשבו: $\frac{5^{4} \cdot 5^{6}}{5^{8}}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

5^{4} \cdot 5^{6} = 5^{10}

קודם המונה

\begin{aligned}\frac{5^{10}}{5^{8}} &= 5^{2} \\ &= 25\end{aligned}

ואז החילוק

בלי החוקים זה $\frac{625 \cdot 15625}{390625}$ — עם החוקים זה $5^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

כפל — מחברים מעריכים

חילוק — מחסרים מעריכים

עם מקדמים

טעויות נפוצות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev