מרחב המדגם · הסתברות · כיתה ט׳

כדי לחשב הסתברות צריך לדעת מה יש למטה — את כל התוצאות האפשריות.

הרשימה של כל התוצאות נקראת מרחב המדגם. במטבע: עץ, פלי. בקובייה: 1 עד 6.

שני מטבעות: שלוש תוצאות או ארבע?

יואב אומר: «בשני מטבעות יש שלוש אפשרויות — שני עץ, שני פלי, או אחד מכל סוג.»

«לכן הסיכוי לאחד מכל סוג הוא $\frac{1}{3}$ .» נבדוק. מטבע אחד מזהב, והשני מכסף.

יואב טעה: שלוש התוצאות שלו אינן שוות סיכוי. מחלקים רק בתוצאות ששוות סיכוי.

מטילים שלושה מטבעות. כמה תוצאות יש במרחב המדגם?

להציג את התשובה והפתרון

8 — כל מטבע נוסף מכפיל את מספר התוצאות פי 2: $2 \times 2 \times 2 = 8$ .

עקרון הכפל: אם לשלב הראשון יש $n$ אפשרויות, ולכל אחת מהן יש $m$ אפשרויות לשלב השני — יש בסך הכול $n \times m$ תוצאות. 3 חולצות ו-4 מכנסיים נותנים $3 \times 4 = 12$ תלבושות.

שתי קוביות: טבלה של 36 משבצות

קובייה אדומה וקובייה כחולה. לכל תוצאה של האדומה יש 6 תוצאות לכחולה: $6 \times 6 = 36$ .

הכי ברור לראות אותן בטבלה: שורה לאדומה, עמודה לכחולה, ובכל משבצת — הסכום.

לפני שמסתכלים בטבלה: על איזה סכום הייתם מהמרים? 2? 7? 12?

להציג את התשובה והפתרון

על 7. אפשר לבנות אותו ב-6 דרכים: $1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1$ . את 2 ואת 12 אפשר לבנות רק בדרך אחת.

P(2) = \frac{1}{36}

רק משבצת אחת: שתי אחדות.

\begin{aligned}P(7) &= \frac{6}{36} \\ &= \frac{1}{6}\end{aligned}

שש משבצות — האלכסון של הטבלה. הסכום הכי שכיח.

P(12) = \frac{1}{36}

רק משבצת אחת: שתי שישיות.

הטעות של יואב, בגרסת הקוביות.

P(7) = \frac{1}{11}

P(7) = \frac{6}{36}

יש 11 סכומים אפשריים (מ-2 עד 12), אבל הם לא שווים סיכוי. מחלקים ב-36 המשבצות, שכולן שוות סיכוי — לא ב-11 הסכומים.

משחק אחר: ההפרש

עכשיו בכל משבצת כותבים את ההפרש בין שתי הקוביות — הגדולה פחות הקטנה. 36 המשבצות לא השתנו; השתנה רק מה שכתוב בהן.

מה הסיכוי שההפרש יהיה 0?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ — הפרש 0 פירושו «דאבל»: שתי הקוביות שוות. אלה שש המשבצות של האלכסון.

כשהשאלה על שתי קוביות — ציירו טבלה. שאלה על «סכום», «הפרש», «דאבל» או «לפחות שישייה אחת» הופכת לשאלה של ספירת משבצות.

תרגילים

תרגיל 1

כמה תוצאות יש במרחב המדגם של הטלת שני מטבעות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

2 \times 2 = 4

עץ-עץ, עץ-פלי, פלי-עץ, פלי-פלי

עץ-פלי ופלי-עץ הן שתי תוצאות שונות — לכן 4, ולא 3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מטילים שני מטבעות. מה ההסתברות לקבל עץ אחד ופלי אחד?

$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\frac{1}{2}$

הפתרון:

\frac{2}{4} = \frac{1}{2}

שתי תוצאות מתאימות מתוך ארבע

מי שבחר $\frac{1}{3}$ ספר שלוש תוצאות שאינן שוות סיכוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

כמה תוצאות יש במרחב המדגם של הטלת שלושה מטבעות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

2 \times 2 \times 2 = 8

עקרון הכפל

כל מטבע נוסף מכפיל פי 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במזנון יש 3 סוגי כריכים ו-5 סוגי שתייה. כמה ארוחות שונות של כריך ושתייה אפשר להרכיב?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

3 \times 5 = 15

לכל כריך — 5 שתיות

לא מחברים ( $3 + 5$ ): כל כריך מתחבר לכל שתייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מטילים שתי קוביות. כמה משבצות בטבלה נותנות סכום 10?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

4+6,\ 5+5,\ 6+4

שלוש משבצות

4+6 ו-6+4 הן שתי משבצות שונות: הקוביות צבועות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מטילים שתי קוביות. מה ההסתברות שהסכום יהיה 7? רשמו כמספר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.166667

הפתרון:

\frac{6}{36} = \frac{1}{6}

שש משבצות מתוך 36

\approx 0.166667

מחלקים ב-36 המשבצות, לא ב-11 הסכומים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מטילים שתי קוביות. איזה סכום הכי סביר?

6 ו-8 באותה מידה, יותר מ-7
7
כל הסכומים שווים
12

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 7

הפתרון:

P(7) = \frac{6}{36}

הכי הרבה משבצות

6 ו-8 מופיעים 5 פעמים כל אחד — פחות מ-7.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מטילים שתי קוביות. מה ההסתברות שהסכום יהיה 11 או יותר? רשמו כמספר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.083333

הפתרון:

5+6,\ 6+5,\ 6+6

שלוש משבצות

\frac{3}{36} = \frac{1}{12} \approx 0.083333

«11 או יותר» הוא 11 או 12 — סופרים את שניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בהטלת שתי קוביות, הסכום 2 והסכום 12 סבירים באותה מידה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}P(2) &= P(12) \\ &= \frac{1}{36}\end{aligned}

משבצת אחת לכל אחד

שני הקצוות של הטבלה — כל אחד משבצת יחידה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מטילים שתי קוביות. כמה משבצות בטבלה נותנות הפרש 1?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

5 + 5 = 10

חמש משבצות מעל האלכסון וחמש מתחתיו

(1,2) ו-(2,1) שתיהן בהפרש 1 — סופרים את שני הצדדים של האלכסון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מיינו: לכמה משבצות בטבלת שתי הקוביות מתאים כל מאורע?

משבצת אחת בדיוק
יותר ממשבצת אחת

הפרש 5
סכום 12
סכום 2
סכום 3
סכום 7
שתי שישיות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: סכום 2 — משבצת אחת בדיוק · סכום 12 — משבצת אחת בדיוק · סכום 7 — יותר ממשבצת אחת · שתי שישיות — משבצת אחת בדיוק · סכום 3 — יותר ממשבצת אחת · הפרש 5 — יותר ממשבצת אחת

הפתרון:

1+2,\ 2+1

סכום 3 — שתי משבצות

\begin{aligned}|1-6| &= |6-1| \\ &= 5\end{aligned}

הפרש 5 — שתי משבצות

שתי שישיות הן המשבצת של סכום 12 — אותה משבצת בדיוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מטילים שתי קוביות. מה ההסתברות ל«דאבל» (שתי הקוביות שוות)?

$\frac{1}{36}$
$\frac{6}{36}$
$\frac{6}{11}$
$\frac{2}{6}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\frac{6}{36}$

הפתרון:

\frac{6}{36} = \frac{1}{6}

שש משבצות באלכסון

דאבל אינו רק 6-6: גם 1-1, 2-2 וכן הלאה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

מטילים שלושה מטבעות. מה ההסתברות לקבל בדיוק שני «עץ»? רשמו כמספר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.375

הפתרון:

2 \times 2 \times 2 = 8

כל הצירופים

3

עץ-עץ-פלי, עץ-פלי-עץ, פלי-עץ-עץ

\frac{3}{8} = 0.375

מתאימים חלקי כולם

הטעות של יואב: לספור ארבע קבוצות (0, 1, 2 או 3 «עץ») ולענות רבע. הקבוצות לא שוות — מחלקים ב-8 הצירופים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שני מטבעות: שלוש תוצאות או ארבע?

שתי קוביות: טבלה של 36 משבצות

משחק אחר: ההפרש

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev