היקף ושטח

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ראינו שההיקף נכפל ב- $k$ , כמו כל צלע.

עם השטח קורה משהו אחר לגמרי. זו הנקודה הכי מפתיעה בפרק.

\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} = k^2

השטח נכפל ב- $k$ בריבוע. משולש שהוגדל פי 3: ההיקף פי 3, והשטח פי 9.

אין כאן כלל לשנן. שטח נמדד בשני כיוונים, אורך ורוחב, וכל אחד מהם נמתח פי $k$ . לכן $k \times k$ .

יחס הדמיון 1:3. מהו יחס השטחים?

להציג את התשובה והפתרון

1:9 — יחס הדמיון בריבוע. השטח גדל בשני ממדים בבת אחת.

ובכיוון ההפוך

לפעמים נותנים את יחס השטחים, ומבקשים את יחס הצלעות.

אז עושים את הפעולה ההפוכה לריבוע: מוציאים שורש.

הטעות שנופלים בה כמעט תמיד בפעם הראשונה.

\text{יחס שטחים 9} \quad \rightarrow\quad \text{צלע גדולה פי 9}

\text{יחס שטחים 9} \quad \rightarrow\quad \text{צלע גדולה פי 3}

יחס השטחים הוא כבר בריבוע. כדי לחזור לצלעות מוציאים שורש, ולא משתמשים בו כמו שהוא.

יחס השטחים של שני משולשים דומים הוא 16. פי כמה גדולה הצלע?

להציג את התשובה והפתרון

פי 4: $\sqrt{16} = 4$ . לא פי 16, וגם לא פי 8.

תרגילים

תרגיל 1

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 9. צלע במשולש הגדול היא 12 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}k^2 &= 9 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 3\end{aligned}

משטח לצלע — מוציאים שורש

12 : 3 = 4

ומחלקים ביחס כדי לרדת למשולש הקטן

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק ב-9 במקום ב-3. יחס השטחים כבר בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 4. צלע במשולש הגדול היא 10 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}k^2 &= 4 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 2\end{aligned}

משטח לצלע — מוציאים שורש

10 : 2 = 5

ומחלקים ביחס כדי לרדת למשולש הקטן

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק ב-4 במקום ב-2. יחס השטחים כבר בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 16. צלע במשולש הגדול היא 12 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}k^2 &= 16 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 4\end{aligned}

משטח לצלע — מוציאים שורש

12 : 4 = 3

ומחלקים ביחס כדי לרדת למשולש הקטן

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק ב-16 במקום ב-4. יחס השטחים כבר בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 25. צלע במשולש הגדול היא 10 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}k^2 &= 25 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 5\end{aligned}

משטח לצלע — מוציאים שורש

10 : 5 = 2

ומחלקים ביחס כדי לרדת למשולש הקטן

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק ב-25 במקום ב-5. יחס השטחים כבר בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 9. צלע במשולש הגדול היא 18 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}k^2 &= 9 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 3\end{aligned}

משטח לצלע — מוציאים שורש

18 : 3 = 6

ומחלקים ביחס כדי לרדת למשולש הקטן

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק ב-9 במקום ב-3. יחס השטחים כבר בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 4. צלע במשולש הגדול היא 14 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

\begin{aligned}k^2 &= 4 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 2\end{aligned}

משטח לצלע — מוציאים שורש

14 : 2 = 7

ומחלקים ביחס כדי לרדת למשולש הקטן

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק ב-4 במקום ב-2. יחס השטחים כבר בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

שני משולשים דומים ביחס דמיון 4. שטח הקטן הוא 5 סמ״ר. מה שטח הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 80

הפתרון:

\begin{aligned}k^2 &= 4^2 \\ &= 16\end{aligned}

השטח נכפל ביחס בריבוע

5 \times 16 = 80

ולא פי 4

ההיקף היה נכפל פי 4 בלבד. השטח נכפל פי 16, כי הוא נמתח בשני כיוונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

משולש הוגדל פי 3. מה קרה להיקף ולשטח?

ההיקף פי 9, השטח פי 3
שניהם פי 9
ההיקף פי 3, השטח פי 9
שניהם פי 3

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג ההיקף פי 3, השטח פי 9

הפתרון:

P \times 3

היקף הוא סכום אורכים

S \times 3^2 = S \times 9

שטח הוא מכפלת שני אורכים

זה ההבדל היחיד שצריך לזכור בפרק, והוא נובע ישירות מכך ששטח נמדד בשני כיוונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 25. מהו יחס הדמיון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}k^2 &= 25 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 5\end{aligned}

משטח לצלע — שורש

משטח לצלע מוציאים שורש; מצלע לשטח מעלים בריבוע. שני כיוונים של אותו קשר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

יחס דמיון 2:5 — מהו יחס השטחים? (כתבו את הגדול)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

5^2 = 25

מול 4

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

יחס שטחים 9:16 — מהו יחס הדמיון? (כתבו את הגדול)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\sqrt{16} = 4

מול 3

מהשטחים אל הצלעות — שורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

שטח המשולש הקטן 5 סמ״ר ויחס הדמיון 3. מהו שטח הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

5 \times 9 = 45

פי תשע — לא פי שלוש

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

יחס ההיקפים של דומים 2:7. מהו יחס הדמיון? (הגדול)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

2:7

ההיקף גדל בדיוק כמו הצלעות

היקף — כמו יחס הדמיון; שטח — בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

מגדילים משולש פי 2 — פי כמה גדל שטחו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

2^2 = 4

ההיקף גדל פי היחס, אבל השטח גדל פי היחס בריבוע — כי הוא נמדד בשני ממדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

שטחי דומים 12 ו-48. צלע בקטן 5 — המתאימה בגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\frac{48}{12} = 4

יחס שטחים

\sqrt{4} = 2

יחס דמיון

5 \times 2 = 10

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

אותה צורה, כל צלע פי

k

.

מלבן צלעותיו $a$ ו- $a$ , ומלבן שני הדומה לו ביחס $b$ — צלעותיו $ka$ ו- $kb$ . הוכיחו שיחס השטחים הוא $k^2$ .

מלבן ראשון: צלעות $a, b$
מלבן שני: צלעות $ka, kb$

$\dfrac{S_2}{S_1} = k^2$

להציג את התשובה והפתרון

$S_1 = a \cdot b$ — שטח מלבן — אורך כפול רוחב
$S_2 = ka \cdot kb$ — שטח מלבן — אורך כפול רוחב
$S_2 = k^2 \cdot ab$ — סידור הגורמים: $k \cdot k = k^2$
$\dfrac{S_2}{S_1} = \dfrac{k^2 \cdot ab}{ab}$ — חלוקה ב- $S_1$
$\dfrac{S_2}{S_1} = k^2$ — צמצום $ab$ — כל צלע גדלה פי $k$ , והשטח פי $k$ פעמיים

הפתרון:

\begin{aligned}S_1 &= ab \quad \\ \quad S_2 &= ka \cdot kb \\ &= k^2 ab\end{aligned}

שטח מלבן בשני המלבנים

\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= \frac{k^2 ab}{ab} \\ &= k^2\end{aligned}

מחלקים ומצמצמים

כל צלע גדלה פי $k$ , והשטח הוא מכפלה של שתי צלעות — לכן הוא גדל פי $k$ פעמיים, כלומר פי $k$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

שני משולשים דומים ביחס דמיון 3. היקף המשולש הקטן 10 ס״מ ושטחו 4 סמ״ר. השלימו.

היקף המשולש הגדול הוא ____ ס״מ, ושטחו ____ סמ״ר

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: היקף המשולש הגדול הוא 30 ס״מ, ושטחו 36 סמ״ר

הפתרון:

10 \cdot 3 = 30

ההיקף נכפל ב- $k$

\begin{aligned}4 \cdot 3^2 &= 4 \cdot 9 \\ &= 36\end{aligned}

השטח נכפל ב- $k^2$

ההיקף מתנהג כמו צלע — פי 3. השטח נמתח בשני כיוונים — פי $3^2 = 9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 16, וצלע במשולש הקטן היא 5 ס״מ. תלמיד חישב את הצלע המתאימה במשולש הגדול. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

k^2 = 16

k = 16

5 \cdot 4 = 20

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $k = 16$ → $k = \sqrt{16} = 4$

הפתרון:

\begin{aligned}k^2 &= 16 \quad \Rightarrow \quad k \\ &= 4\end{aligned}

מוציאים שורש

5 \cdot 4 = 20

הצלע המתאימה, בס״מ

יחס השטחים הוא כבר יחס הדמיון בריבוע. כדי לחזור לצלעות מוציאים שורש: $k = 4$ , והצלע בגדול היא 20 ס״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

התאימו כל יחס דמיון ליחס השטחים שלו.

$k = 2$
$k = 3$
$k = 5$
$k = \frac{1}{2}$

השטח פי $\frac{1}{4}$
השטח פי 25
השטח פי 4
השטח פי 9

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $k = 2$ — השטח פי 4 · $k = 3$ — השטח פי 9 · $k = 5$ — השטח פי 25 · $k = \frac{1}{2}$ — השטח פי $\frac{1}{4}$

הפתרון:

\frac{S_2}{S_1} = k^2

בכל זוג — היחס בריבוע

גם יחס קטן מ-1 עולה בריבוע: חצי מהצלע נותן רבע מהשטח, לא חצי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

אם יחס הדמיון הוא 3, אז גם יחס ההיקפים וגם יחס השטחים הם 3.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\frac{P_2}{P_1} = 3

ההיקף — כמו צלע

\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= 3^2 \\ &= 9\end{aligned}

השטח — בריבוע

חצי מהטענה נכון: ההיקף פי 3. השטח פי 9, כי הוא נמתח בשני כיוונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

שטחי שני משולשים דומים הם 8 ו-72. צלע במשולש הקטן היא 5. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\frac{72}{8} = 9

k = 9

5 \times 9 = 45

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $k = 9$ → $k = \sqrt{9} = 3$

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

משטח לצלע — שורש

5 \times 3 = 15

הצלע המתאימה

9 הוא יחס השטחים. יחס הצלעות הוא השורש שלו, 3 — ולכן הצלע 15, לא 45.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת