משוואות עם מכנים — עם נעלם ובלי

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

לפני שפותרים משוואה עם שברים, שואלים שאלה אחת: האם הנעלם נמצא במכנה?

התשובה קובעת אם צריך תחום הגדרה. זה ההבדל היחיד בין שתי המשפחות.

הכלל שמפריד בין שתי המשפחות

יש xx במכנה? — רושמים תחום הגדרה לפני הכול, ובודקים את הפתרון מולו בסוף. אין xx במכנה? — אין תחום הגדרה בכלל, וכל פתרון שיוצא מתקבל.

□x−3  ⇒  x≠3□4  ⇒  —\frac{\square}{x-3} \;\Rightarrow\; x \neq 3 \qquad \frac{\square}{4} \;\Rightarrow\; \text{---}

משפחה ראשונה — מכנה מספרי

הכלל אחד: כופלים את כל המשוואה במכנה המשותף, והשברים נעלמים.

כופלים כל איבר — גם את זה שאין לו מכנה.

במשוואה x3+2=5\frac{x}{3} + 2 = 5 — במה כופלים, ומה קורה ל-2?

להציג את התשובה והפתרון

כופלים ב-3, וגם ה-2 מוכפל: x+6=15x + 6 = 15. לכן x=9x = 9.

משפחה שנייה — נעלם במכנה

אותה שיטה בדיוק, ועוד שני צעדים: תחום הגדרה בהתחלה, ובדיקה מולו בסוף.

שתי הטעויות של שתי המשפחות.

x−5x−3=0  ⇒  x=3\begin{aligned}\frac{x-5}{x-3} &= 0 \;\Rightarrow\; x \\ &= 3\end{aligned}
x≠3x \neq 3

פתרון שנופל בדיוק על הערך האסור נפסל — ואז התשובה היא «אין פתרון».

x4+1=2  ⇒  x+1=8\begin{aligned}\frac{x}{4} + 1 &= 2 \;\Rightarrow\; x + 1 \\ &= 8\end{aligned}
x+4=8x + 4 = 8

כשכופלים במכנה — כופלים כל איבר, גם את זה שאין לו שבר.

מה תחום ההצבה של 5x−2\frac{5}{x-2}?

להציג את התשובה והפתרון

כל xx חוץ מ-2 — המכנה אסור שיתאפס. בודקים תחום לפני שפותרים, לא אחרי.

תרגילים

תרגיל 1

פתרו (מכנה מספרי):

−x+64=−2\frac{-x+6}{4} = -2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

−x+6=−8-x + 6 = -8

כופלים ב-4

−x=−14-x = -14
x=14x = 14

כופלים ב-−1-1

אין נעלם במכנה — אין תחום הגדרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו (מכנה מספרי):

1−x2+x−36=0\frac{1-x}{2} + \frac{x-3}{6} = 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

3(1−x)+(x−3)=03(1-x) + (x-3) = 0

כופלים ב-6

3−3x+x−3=03 - 3x + x - 3 = 0
−2x=0⇒x=0\begin{aligned}-2x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

אפס הוא פתרון תקין. אין שום סיבה לפסול אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פתרו (מכנה מספרי):

2x+13−x−42=1\frac{2x+1}{3} - \frac{x-4}{2} = 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -8

הפתרון:

2(2x+1)−3(x−4)=62(2x+1) - 3(x-4) = 6

כופלים ב-6

4x+2−3x+12=64x + 2 - 3x + 12 = 6

המינוס נכנס לסוגריים

x=−8x = -8

בדיקה: −153−−122=−5+6=1\frac{-15}{3} - \frac{-12}{2} = -5 + 6 = 1 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פתרו (מכנה מספרי):

x+35=2x−13\frac{x+3}{5} = \frac{2x-1}{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

3(x+3)=5(2x−1)3(x+3) = 5(2x-1)

כפל בהצלבה

3x+9=10x−53x + 9 = 10x - 5
7x=14⇒x=2\begin{aligned}7x &= 14 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

שבר מול שבר — הצלבה, גם כשאין נעלם במכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פתרו (נעלם במכנה — אל תשכחו תחום הגדרה):

x−5x−3−12=0\frac{x-5}{x-3} - \frac{1}{2} = 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

x≠3x \neq 3

תחום הגדרה

2(x−5)−(x−3)=02(x-5) - (x-3) = 0

מכנה משותף 2(x−3)2(x-3)

2x−10−x+3=02x - 10 - x + 3 = 0
x=7  ✓x = 7 \;\checkmark

בתחום

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

פתרו (נעלם במכנה):

6x−1=2\frac{6}{x-1} = 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x≠1x \neq 1

תחום הגדרה

6=2(x−1)6 = 2(x-1)
x=4  ✓x = 4 \;\checkmark
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פתרו (נעלם במכנה):

3x+2=5x−2\frac{3}{x+2} = \frac{5}{x-2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -8

הפתרון:

x≠±2x \neq \pm 2

שני מכנים — שני תנאים

3(x−2)=5(x+2)3(x-2) = 5(x+2)

הצלבה

3x−6=5x+103x - 6 = 5x + 10
x=−8  ✓x = -8 \;\checkmark

בדיקה: 3−6=5−10=−12\frac{3}{-6} = \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2} ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פתרו (נעלם במכנה):

xx−4=2\frac{x}{x-4} = 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

x≠4x \neq 4

תחום הגדרה

x=2(x−4)x = 2(x-4)
x=2x−8⇒x=8  ✓\begin{aligned}x &= 2x - 8 \Rightarrow x \\ &= 8 \;\checkmark\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

באיזו משוואה חייבים לרשום תחום הגדרה?

  1. 2x+16=0\frac{2x+1}{6} = 0
  2. x3+x4=7\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7
  3. 5x−1=2\frac{5}{x-1} = 2
  4. x−15=2\frac{x-1}{5} = 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 5x−1=2\frac{5}{x-1} = 2

הפתרון:

x−1≠0x - 1 \neq 0

הנעלם במכנה

רק כשהנעלם יושב למטה. בשלושת האחרים המכנה הוא מספר, ואף ערך אינו אסור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

פתרו: xx−2=2x−2\frac{x}{x-2} = \frac{2}{x-2}

  1. אין פתרון
  2. x=0x = 0
  3. כל xx
  4. x=2x = 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א אין פתרון

הפתרון:

x≠2x \neq 2

תחום הגדרה

x=2x = 2

אחרי המחיקה

נפסל\text{נפסל}

הפתרון היחיד אסור

זה בדיוק המקרה שבשבילו רושמים תחום הגדרה מראש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

פתרו את המשוואה:

x3+x6=9\frac{x}{3} + \frac{x}{6} = 9
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

2x+x=54  ⇒  x=18\begin{aligned}2x + x &= 54 \;\Rightarrow\; x \\ &= 18\end{aligned}

כופלים את כל המשוואה ב-6

הכפל במכנה המשותף מוחק את השברים בבת אחת — ומשאיר משוואה רגילה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

כפלו במכנה — שורה אחת שגויה:

x5+2=4\frac{x}{5} + 2 = 4
x+2=20x + 2 = 20
x=18x = 18
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x+2=20x + 2 = 20 → x+10=20x + 10 = 20

הפתרון:

5⋅2=105 \cdot 2 = 10

כל איבר משלם את הכפל

כפלו ב-5 את השבר ואת אגף ימין — ודילגו על ה-2. משוואה כופלים איבר-איבר, בלי חסינויות. (ואגב, גם הדרך הקצרה עובדת: x5=2\frac{x}{5} = 2, ולכן x=10x = 10.)

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

פתרו בעל-פה:

אם x חלקי 7 שווה 3, אז x = ____ ; ואם 2x חלקי 3 שווה 8, אז x = ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אם x חלקי 7 שווה 3, אז x = 21 ; ואם 2x חלקי 3 שווה 8, אז x = 12.

הפתרון:

x=212x=24\begin{aligned}x &= 21 \\ \quad 2x &= 24\end{aligned}

המכנה עובר ככפל

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

סדרו את שלבי הפתרון:

  • x2+x3=5\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5
  • 3x+2x=303x + 2x = 30
  • 5x=305x = 30
  • x=6x = 6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x2+x3=5\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5 · 3x+2x=303x + 2x = 30 · 5x=305x = 30 · x=6x = 6

הפתרון:

×6\times 6

כפל במכנה המשותף — ואז משוואה רגילה

ובדיקה: 3 ועוד 2 הם 5. שלב הכפל הוא כל הסיפור — השאר כבר מוכר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

מיינו: באילו משוואות חייבים לרשום תחום הגדרה?

  • חייבים — נעלם במכנה
  • אין צורך — מכנה מספרי
  • 1x+14=1\frac{1}{x} + \frac{1}{4} = 1
  • 2x7+x=9\frac{2x}{7} + x = 9
  • 6x−4=2\frac{6}{x - 4} = 2
  • x+45=1\frac{x + 4}{5} = 1
  • x2=3x\frac{x}{2} = \frac{3}{x}
  • x2−18=3\frac{x^2 - 1}{8} = 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x+45=1\frac{x + 4}{5} = 1 — אין צורך — מכנה מספרי · 6x−4=2\frac{6}{x - 4} = 2 — חייבים — נעלם במכנה · x2−18=3\frac{x^2 - 1}{8} = 3 — אין צורך — מכנה מספרי · x2=3x\frac{x}{2} = \frac{3}{x} — חייבים — נעלם במכנה · 2x7+x=9\frac{2x}{7} + x = 9 — אין צורך — מכנה מספרי · 1x+14=1\frac{1}{x} + \frac{1}{4} = 1 — חייבים — נעלם במכנה

הפתרון:

6x−4  ⇒  x≠4\frac{6}{x - 4} \;\Rightarrow\; x \neq 4

יש xx במכנה — רושמים ערך אסור

x2−18  ⇒  —\frac{x^2 - 1}{8} \;\Rightarrow\; \text{---}

המכנה הוא מספר — אין מה לפסול

מסתכלים רק על המכנים. x2x^2 גדול במונה, או xx שאין לו שבר, לא משנים דבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

מהו הערך האסור במשוואה 42x−6=1\frac{4}{2x - 6} = 1?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

2x−6≠02x - 6 \neq 0

המכנה אסור שיתאפס

2x≠6  ⇒  x≠32x \neq 6 \;\Rightarrow\; x \neq 3

הערך האסור אינו 6: פותרים 2x−6=02x - 6 = 0. (והפתרון של המשוואה עצמה הוא x=5x = 5 — מותר.)

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת