הוצאת גורם משותף

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

לפני כל שיטת פירוק בודקים דבר אחד: יש גורם משותף לכל האיברים?

אם יש, מוציאים אותו החוצה. רק אז מסתכלים על מה שנשאר בסוגריים.

ab+ac=a(b+c)ab + ac = a(b + c)

זה חוק הפילוג, נקרא מימין לשמאל.

אין כאן שיטה חדשה. יש סדר חדש, והוא קובע אם התרגיל ייקח שורה או חמש.

מהו הגורם המשותף

6x3+9x2=3x2(2x+3)6x^3 + 9x^2 = 3x^2(2x + 3)

מהמקדמים — המחלק המשותף הגדול ביותר: 3.

x2+8x=x(x+8)x^2 + 8x = x(x + 8)

ומהנעלם — החזקה הנמוכה ביותר שמופיעה: xx.

בדיקה בשתי שניות: פותחים את הסוגריים חזרה. אם לא חזרנו בדיוק לביטוי המקורי — הגורם שהוצאנו שגוי.

כשהגורם המשותף מתחבא

ב-6x3+9x26x^3 + 9x^2 הגורם המשותף נראה מיד: שני האיברים בנויים אותו דבר.

ב-2x+162x + 16 האיבר השני הוא מספר לבד. הגורם שם, אבל הוא לא כתוב.

התפקיד שלנו: לכתוב את המספר כמכפלה שמראה את הגורם.

ואז — הכלים האחרים

אחרי ההוצאה קוראים את הסוגריים. שני איברים עם מינוס: הפרש ריבועים. שלושה איברים: טרינום או ריבוע שלם.

ולפעמים אין מה להוסיף, והפירוק נגמר.

שני שלבים, בסדר הזה

פרקו לגורמים: 2x2+4x−702x^2 + 4x - 70.

2(x2+2x−35)2(x^2 + 2x - 35)

קודם הגורם המשותף 2 — והמקדם של x2x^2 נעשה 1

m⋅n=−35m+n=2\begin{aligned}m \cdot n &= -35 \quad \\ \quad m + n &= 2\end{aligned}

ורק עכשיו טרינום, שדורש מקדם 1

2(x+7)(x−5)2(x + 7)(x - 5)

המספרים הם 7 ו-5 מינוס

מי שמנסה טרינום ישר על 2x2+4x−702x^2 + 4x - 70 נתקע: השיטה דורשת מקדם 1 ל-x2x^2. הוצאת ה-2 היא בדיוק מה שמייצר את התנאי הזה.

תחום ההצבה

מכנה אסור שיהיה אפס.

מפרקים את המכנה. כל גורם שמתאפס נותן ערך אסור אחד.

רושמים אותם לפני הצמצום: הגורם שנמחק נעלם מהדף, ואי אפשר יהיה לדעת שהיה שם.

שתי טעויות שחוזרות בכל מבחן.

x2+8x2x+16=x22\frac{x^2 + 8x}{2x + 16} = \frac{x^2}{2}
x(x+8)2(x+8)=x2\frac{x(x + 8)}{2(x + 8)} = \frac{x}{2}

מחקו את ה-8x8x מול ה-16 מתוך סכומים. מצמצמים גורמים — דברים שמוכפלים — ולעולם לא איבר מתוך סכום.

(x+3)22(x+3)=(x+3)22\frac{(x + 3)^2}{2(x + 3)} = \frac{(x + 3)^2}{2}
(x+3)22(x+3)=x+32\frac{(x + 3)^2}{2(x + 3)} = \frac{x + 3}{2}

מחקו את הסוגריים במכנה ושכחו שלמעלה יש שתיים מהן. ריבוע מצטמצם פעם אחת ונשאר עם אחת.

בשבר x−2x2−4x+4\frac{x - 2}{x^2 - 4x + 4} — למה התוצאה אינה 1?

להציג את התשובה והפתרון

כי המכנה הוא (x−2)2(x-2)^2, כלומר שתי סוגריים. אחת מצטמצמת מול המונה, ואחת נשארת: התוצאה היא 1x−2\frac{1}{x - 2}, עם התנאי x≠2x \neq 2.

תרגילים

תרגיל 1

פרקו וצמצמו: x2+8x2x+16\frac{x^2 + 8x}{2x + 16}

  1. x2x\frac{x}{2x}
  2. x+82\frac{x + 8}{2}
  3. x2\frac{x}{2}
  4. x22\frac{x^2}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x2\frac{x}{2}

הפתרון:

x(x+8)2(x+8)\frac{x(x + 8)}{2(x + 8)}

גורם משותף למעלה ולמטה

x≠−8x \neq -8

תחום ההצבה, לפני הצמצום

x2\frac{x}{2}

מצמצמים את (x+8)(x+8)

שני הצדדים מתפרקים בהוצאת גורם משותף בלבד — למעלה xx, למטה 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פרקו וצמצמו: a2+7aa2+14a+49\frac{a^2 + 7a}{a^2 + 14a + 49}

  1. 1a+7\frac{1}{a + 7}
  2. a+7a\frac{a + 7}{a}
  3. aa+7\frac{a}{a + 7}
  4. a7\frac{a}{7}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג aa+7\frac{a}{a + 7}

הפתרון:

a(a+7)(a+7)2\frac{a(a + 7)}{(a + 7)^2}

גורם משותף למעלה, ריבוע שלם למטה

a≠−7a \neq -7

תחום ההצבה

aa+7\frac{a}{a + 7}

מצטמצמת סוגריים אחת, נשארת אחת

המכנה הוא ריבוע שלם: 2⋅a⋅7=14a2 \cdot a \cdot 7 = 14a, בדיוק האיבר האמצעי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פרקו וצמצמו: x−2x2−4x+4\frac{x - 2}{x^2 - 4x + 4}

  1. 11
  2. 1(x−2)2\frac{1}{(x - 2)^2}
  3. 1x−2\frac{1}{x - 2}
  4. x−2x - 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 1x−2\frac{1}{x - 2}

הפתרון:

x−2(x−2)2\frac{x - 2}{(x - 2)^2}

המכנה ריבוע שלם

x≠2x \neq 2

תחום ההצבה

1x−2\frac{1}{x - 2}

מצמצמים סוגריים אחת מתוך שתיים

כאן אין גורם משותף להוציא — המונה עצמו כבר גורם, והמכנה מתפרק בנוסחת הכפל המקוצר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פרקו וצמצמו: x2−8xx2−16x+64\frac{x^2 - 8x}{x^2 - 16x + 64}

  1. xx−8\frac{x}{x - 8}
  2. x−8x\frac{x - 8}{x}
  3. xx+8\frac{x}{x + 8}
  4. x8\frac{x}{8}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א xx−8\frac{x}{x - 8}

הפתרון:

x(x−8)(x−8)2\frac{x(x - 8)}{(x - 8)^2}

גורם משותף למעלה, ריבוע שלם למטה

x≠8x \neq 8

תחום ההצבה

xx−8\frac{x}{x - 8}

מצמצמים (x−8)(x-8) אחת

אותו מבנה כמו התרגיל עם aa — רק שהסימן במכנה מינוס: 2⋅x⋅8=16x2 \cdot x \cdot 8 = 16x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פרקו וצמצמו: x2+6x+92x+6\frac{x^2 + 6x + 9}{2x + 6}

  1. x+32x\frac{x + 3}{2x}
  2. x+92\frac{x + 9}{2}
  3. (x+3)22\frac{(x + 3)^2}{2}
  4. x+32\frac{x + 3}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד x+32\frac{x + 3}{2}

הפתרון:

(x+3)22(x+3)\frac{(x + 3)^2}{2(x + 3)}

ריבוע שלם למעלה, גורם משותף למטה

x≠−3x \neq -3

תחום ההצבה

x+32\frac{x + 3}{2}

מצמצמים סוגריים אחת מתוך שתיים

כאן הפירוק הפוך מהתרגילים הקודמים: הריבוע השלם למעלה והגורם המשותף למטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

פרקו וצמצמו: 2x2+4x−702x+14\frac{2x^2 + 4x - 70}{2x + 14}

  1. x+5x + 5
  2. x−5x - 5
  3. x−52\frac{x - 5}{2}
  4. 2(x−5)2(x - 5)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x−5x - 5

הפתרון:

2(x2+2x−35)2(x+7)\frac{2(x^2 + 2x - 35)}{2(x + 7)}

גורם משותף 2 בשני הצדדים

2(x+7)(x−5)2(x+7)\frac{2(x + 7)(x - 5)}{2(x + 7)}

טרינום: מכפלה 35 מינוס, סכום 2

x≠−7x \neq -7

תחום ההצבה

x−5x - 5

מצמצמים את ה-2 ואת (x+7)(x+7)

בלי הוצאת ה-2 הטרינום לא היה עובד: השיטה דורשת מקדם 1 ל-x2x^2. זה התרגיל שמראה למה סדר הפעולות חשוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בשבר x2−8xx2−16x+64\frac{x^2 - 8x}{x^2 - 16x + 64} יש ערך אחד אסור ל-xx. מהו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

x2−16x+64=(x−8)2x^2 - 16x + 64 = (x - 8)^2

מפרקים את המכנה

x−8=0 ⇒ x=8\begin{aligned}x - 8 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}

המכנה מתאפס

תחום ההצבה נקבע מהמכנה המקורי, לפני הצמצום. אחרי הצמצום נשאר xx−8\frac{x}{x-8} — במקרה הזה אותו תנאי, אבל זה לא תמיד כך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מהו הערך האסור ל-xx בשבר 2x2+4x−702x+14\frac{2x^2 + 4x - 70}{2x + 14}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -7

הפתרון:

2x+14=2(x+7)2x + 14 = 2(x + 7)

מוציאים גורם משותף מהמכנה

x+7=0 ⇒ x=−7\begin{aligned}x + 7 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -7\end{aligned}

אחרי הצמצום נשאר x−5x - 5 — ביטוי שמוגדר לכל xx. זו בדיוק הסיבה לרשום את התנאי לפני שמוחקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

צמצום עם שגיאה — מצאו את השורה:

x2+6x+92x+6\frac{x^2 + 6x + 9}{2x + 6}
=(x+3)22(x+3)= \frac{(x + 3)^2}{2(x + 3)}
=(x+3)22= \frac{(x + 3)^2}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: =(x+3)22= \frac{(x + 3)^2}{2} → =x+32= \frac{x + 3}{2}

הפתרון:

(x+3)(x+3)2(x+3)\frac{(x + 3)(x + 3)}{2(x + 3)}

כותבים את הריבוע כמכפלה

x+32\frac{x + 3}{2}

סוגריים אחת מול סוגריים אחת

הפירוק היה נכון — הצמצום לא. מחקו את הסוגריים מהמכנה בלי להוריד אחת מהמונה. מי שכותב את הריבוע כמכפלה לא נופל בזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מיינו: מה מפרקים בהוצאת גורם משותף בלבד, ומה דורש גם נוסחה או טרינום?

  • גורם משותף בלבד
  • נוסחת כפל מקוצר / טרינום
  • 2x+162x + 16
  • a2+7aa^2 + 7a
  • x2−16x+64x^2 - 16x + 64
  • x2−8xx^2 - 8x
  • x2+2x−35x^2 + 2x - 35
  • x2+6x+9x^2 + 6x + 9
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2x+162x + 16 — גורם משותף בלבד · x2−16x+64x^2 - 16x + 64 — נוסחת כפל מקוצר / טרינום · a2+7aa^2 + 7a — גורם משותף בלבד · x2+6x+9x^2 + 6x + 9 — נוסחת כפל מקוצר / טרינום · x2−8xx^2 - 8x — גורם משותף בלבד · x2+2x−35x^2 + 2x - 35 — נוסחת כפל מקוצר / טרינום

הפתרון:

x2−8x=x(x−8)x^2 - 8x = x(x - 8)

גורם משותף — ונגמר

x2+2x−35=(x+7)(x−5)x^2 + 2x - 35 = (x + 7)(x - 5)

אין גורם משותף — טרינום

השאלה הראשונה תמיד: יש איבר שמופיע בכל המחוברים? אם כן — מוציאים. אם לא — סופרים איברים ומחליטים בין הפרש ריבועים, ריבוע שלם וטרינום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

השלימו את הפירוק: 6x3+9x26x^3 + 9x^2

מוציאים 3x3x בחזקת ____ , ונשאר בסוגריים 2x2x ועוד ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מוציאים 3x3x בחזקת 2 , ונשאר בסוגריים 2x2x ועוד 3.

הפתרון:

6x3+9x2=3x2(2x+3)6x^3 + 9x^2 = 3x^2(2x + 3)

המחלק המשותף של 6 ו-9 הוא 3, והחזקה הנמוכה היא x2x^2

מהמקדמים לוקחים את המחלק המשותף הגדול, ומהנעלם את החזקה הנמוכה ביותר. בדיקה: פותחים חזרה ומקבלים 6x3+9x26x^3 + 9x^2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

אפשר לצמצם את השבר x+82x+16\frac{x + 8}{2x + 16}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x+82(x+8)\frac{x + 8}{2(x + 8)}

מוציאים גורם משותף מהמכנה

12\frac{1}{2}

מצמצמים את (x+8)(x+8)

המונה נראה כמו סכום, אבל הוא סוגריים שלמה מול סוגריים שלמה במכנה — ולכן מותר. התנאי: x≠−8x \neq -8.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

השלימו את הוצאת הגורם המשותף: 5x+355x + 35

מוציאים את ____, ונשאר בסוגריים xx ועוד ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מוציאים את 5, ונשאר בסוגריים xx ועוד 7.

הפתרון:

5x+35=5x+5⋅75x + 35 = 5x + 5 \cdot 7

5 מחלק את 35

=5(x+7)= 5(x + 7)

ה-5 גלוי בשני האיברים

בדיקה בפתיחה: 5(x+7)=5x+355(x + 7) = 5x + 35 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

ל-3x+103x + 10 יש גורם משותף מספרי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

10:3=31310 : 3 = 3\tfrac{1}{3}

3 לא מחלק את 10

המספרים שמחלקים את 10 הם 1, 2, 5, 10. אף אחד מהם, חוץ מ-1, לא מחלק את 3. אין גורם משותף מספרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת