היקף המעגל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

יש במתמטיקה כמה מספרים קבועים — הערך שלהם לא משתנה לעולם.

פאי הוא הידוע שבהם, ומסמנים אותו $\pi$ .

איך יודעים שהוא קבוע? מודדים. בכל עצם עגול מודדים את ההיקף ואת הקוטר, ומחלקים.

בכל מעגל שבעולם: ההיקף גדול מהקוטר פי 3.14 בערך.

π הוא בערך 3.14, ולעולם לא בדיוק. הספרות אחריו נמשכות בלי סוף ובלי חוקיות — ולכן משאירים אותו כסימן $\pi$ כשאפשר, ומעגלים ל-3.14 רק כשצריך מספר.

מ-π אל הנוסחה

ההיקף גדול מהקוטר פי $\pi$ . אפשר לכתוב את זה כנוסחה:

\begin{aligned}P &= \pi \cdot d \qquad \text{או} \qquad P \\ &= 2 \pi r\end{aligned}

שתי הנוסחאות זהות, כי $d = 2r$ . בוחרים את זו שמתאימה למה שנתון.

במבחנים בישראל מבקשים לרוב להשאיר את התשובה עם $\pi$ — למשל $10\pi$ במקום $31.4$ . זו תשובה מדויקת יותר, ולא «לא גמורה».

היקף מעגל שרדיוסו 5 ס״מ — בערך כמה?

להציג את התשובה והפתרון

בערך 31.4 ס״מ: $2 \pi r = 10\pi$ . פאי הוא בערך 3.14 — קצת יותר משלושה קטרים.

גלגל שנוסע

גלגל שעושה סיבוב אחד מתקדם בדיוק היקף אחד.

גלגל שקוטרו 100 ס״מ עשה 2 סיבובים. כמה ס״מ הוא נסע?

להציג את התשובה והפתרון

628 ס״מ. סיבוב אחד: $3.14 \times 100 = 314$ . שני סיבובים: $2 \times 314 = 628$ .

תרגילים

תרגיל 1

מה היקף מעגל שרדיוסו 5 ס״מ? השתמשו ב-π = 3.14 ורשמו תשובה מעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 31.4

הפתרון:

\begin{aligned}P &= 2 \pi r \\ &= 2 \cdot 3.14 \cdot 5\end{aligned}

נתון רדיוס

P = 31.4

ומחשבים

לא ממירים בין רדיוס לקוטר סתם — בוחרים את הנוסחה שמתאימה לנתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מה היקף מעגל שקוטרו 10 ס״מ? השתמשו ב-π = 3.14 ורשמו תשובה מעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 31.4

הפתרון:

\begin{aligned}P &= \pi d \\ &= 3.14 \cdot 10\end{aligned}

נתון קוטר — משתמשים בנוסחה עם d

P = 31.4

ומחשבים

לא ממירים בין רדיוס לקוטר סתם — בוחרים את הנוסחה שמתאימה לנתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מה היקף מעגל שרדיוסו 3 ס״מ? השתמשו ב-π = 3.14 ורשמו תשובה מעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18.84

הפתרון:

\begin{aligned}P &= 2 \pi r \\ &= 2 \cdot 3.14 \cdot 3\end{aligned}

נתון רדיוס

P = 18.84

ומחשבים

לא ממירים בין רדיוס לקוטר סתם — בוחרים את הנוסחה שמתאימה לנתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מה היקף מעגל שקוטרו 8 ס״מ? השתמשו ב-π = 3.14 ורשמו תשובה מעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25.12

הפתרון:

\begin{aligned}P &= \pi d \\ &= 3.14 \cdot 8\end{aligned}

נתון קוטר — משתמשים בנוסחה עם d

P = 25.12

ומחשבים

לא ממירים בין רדיוס לקוטר סתם — בוחרים את הנוסחה שמתאימה לנתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מה היקף מעגל שרדיוסו 7 ס״מ? השתמשו ב-π = 3.14 ורשמו תשובה מעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 43.96

הפתרון:

\begin{aligned}P &= 2 \pi r \\ &= 2 \cdot 3.14 \cdot 7\end{aligned}

נתון רדיוס

P = 43.96

ומחשבים

לא ממירים בין רדיוס לקוטר סתם — בוחרים את הנוסחה שמתאימה לנתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מה היקף מעגל שקוטרו 12 ס״מ? השתמשו ב-π = 3.14 ורשמו תשובה מעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 37.68

הפתרון:

\begin{aligned}P &= \pi d \\ &= 3.14 \cdot 12\end{aligned}

נתון קוטר — משתמשים בנוסחה עם d

P = 37.68

ומחשבים

לא ממירים בין רדיוס לקוטר סתם — בוחרים את הנוסחה שמתאימה לנתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

היקף מעגל הוא 62.8 ס״מ. מה אורך הרדיוס? (π = 3.14)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

2 \pi r = 62.8

הנוסחה כמשוואה

6.28r = 62.8

מחשבים את 2π

r = 10

ומחלקים

הכיוון ההפוך הוא משוואה פשוטה, לא נוסחה חדשה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

גלגל אופניים שקוטרו 60 ס״מ מבצע סיבוב אחד. כמה ס״מ הוא התקדם? (π = 3.14)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 188.4

הפתרון:

\begin{aligned}P &= \pi d \\ &= 3.14 \cdot 60\end{aligned}

סיבוב אחד = היקף אחד

P = 188.4

ומחשבים

זו בדיוק הפעולה שראינו באנימציה — המעגל מתגלגל ומשאיר קו באורך ההיקף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מה מייצג המספר π?

מספר שהומצא לצורך התרגילים
את אורך הרדיוס
את שטח העיגול
פי כמה ההיקף גדול מהקוטר

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד פי כמה ההיקף גדול מהקוטר

הפתרון:

\pi = \frac{P}{d} \approx 3.14

היחס בין ההיקף לקוטר

והיחס הזה זהה בכל מעגל בעולם, קטן כגדול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

גלגל שקוטרו 70 ס״מ עושה סיבוב שלם. כמה ס״מ הוא התקדם? (פאי בקירוב 3.14)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 219.8

הפתרון:

70 \times 3.14 = 219.8

היקף = קוטר כפול פאי

סיבוב אחד מקדם בדיוק היקף אחד — כך מודדים מרחק בגלגלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

בכל מעגל, ההיקף גדול מהקוטר פי $\pi$ — בערך פי 3.14.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\pi = \frac{P}{d}

זו בדיוק ההגדרה של פאי

זה נכון במטבע ובגלגל ענק: היחס קבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

הקוטר: 8 ס״מ

נתון קוטר של 8 ס״מ. באיזו נוסחה הכי נוח לחשב את ההיקף?

$P = \pi d$
$P = 2\pi d$
$P = \pi r$
$S = \pi r^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $P = \pi d$

הפתרון:

\begin{aligned}P &= \pi d \\ &= 3.14 \times 8 \\ &= 25.12\end{aligned}

מציבים את הקוטר ישר

$2\pi d$ מכפיל פעמיים: הוא נותן שני היקפים. $\pi r^2$ הוא שטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

התאימו כל מעגל להיקף שלו ( $\pi = 3.14$ ).

$r = 1$
$r = 3$
$d = 10$
$d = 20$

$18.84$
$31.4$
$6.28$
$62.8$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $r = 1$ — $6.28$ · $6.28$ — $18.84$ · $18.84$ — $31.4$ · $31.4$ — $62.8$

הפתרון:

2 \times 3.14 \times 3 = 18.84

נתון רדיוס: $2\pi r$

3.14 \times 20 = 62.8

נתון קוטר: $\pi d$

כשהקוטר גדל פי 2, גם ההיקף גדל פי 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

סדרו את שלבי החישוב: מה ההיקף של מעגל שקוטרו 14 ס״מ?

בודקים מה נתון: קוטר
בוחרים נוסחה: $P = \pi d$
מחשבים: $43.96$ ס״מ
מציבים: $3.14 \times 14$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בודקים מה נתון: קוטר · בוחרים נוסחה: $P = \pi d$ · מציבים: $3.14 \times 14$ · מחשבים: $43.96$ ס״מ

הפתרון:

\begin{aligned}P &= 3.14 \times 14 \\ &= 43.96\end{aligned}

הקוטר נכנס ישר לנוסחה

הצעד הראשון הוא תמיד לבדוק מה נתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

רדיוס של מעגל הוא 6 ס״מ. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

r = 6

P = 3.14 \times 6

P = 18.84

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $P = 3.14 \times 6$ → $P = 2 \times 3.14 \times 6 = 37.68$

הפתרון:

\begin{aligned}P &= 2\pi r \\ &= 37.68\end{aligned}

נתון רדיוס: צריך את ה-2

$3.14 \times 6$ הוא רק חצי היקף. בלי ה-2 שוכחים חצי מהמעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

הקוטר: 50 ס״מ

לגלגל קוטר של 50 ס״מ. הוא עשה 4 סיבובים שלמים. כמה ס״מ הוא נסע? ( $\pi = 3.14$ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 628

הפתרון:

\begin{aligned}P &= 3.14 \times 50 \\ &= 157\end{aligned}

סיבוב אחד הוא היקף אחד

4 \times 157 = 628

ארבעה סיבובים

כופלים את ההיקף במספר הסיבובים — לא את הקוטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

מעגל שרדיוסו 10 ס״מ ( $\pi = 3.14$ ).

הקוטר: ____ ס״מ. ההיקף: ____ ס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הקוטר: 20 ס״מ. ההיקף: 62.8 ס״מ.

הפתרון:

\begin{aligned}d &= 2 \times 10 \\ &= 20\end{aligned}

הקוטר

\begin{aligned}P &= 3.14 \times 20 \\ &= 62.8\end{aligned}

ההיקף

אפשר גם $2 \times 3.14 \times 10$ — אותה תשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת