כפל שלם בשבר

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

מה זה 3×143 \times \frac{1}{4}?

כפל אומר כמה פעמים. כאן: שלוש פעמים רבע.

שימו לב: החתיכות נשארו רבעים.

רק מספר החתיכות גדל — במקום רבע אחד, יש שלושה.

לכן השלם כופל את המונה בלבד. המכנה לא זז.

שלם כפול שבר = השלם כפול המונה, והמכנה נשאר כמו שהוא

כמה זה 4×274 \times \frac{2}{7}?

להציג את התשובה והפתרון

87\frac{8}{7}, כלומר 1171\tfrac{1}{7}. ארבע פעמים שתי שביעיות הן שמונה שביעיות — והמכנה נשאר 7.

למה המכנה לא משתנה?

המכנה אומר איזה גודל יש לחתיכות: חמישיות, שביעיות, רבעים.

כשלוקחים את אותה חתיכה כמה פעמים, הגודל שלה לא משתנה.

הטעות הכי נפוצה: כופלים את השלם גם במכנה. זה כמו לכפול ב-33\frac{3}{3}, שהוא 1 — והתוצאה לא זזה בכלל.

3×25=3×23×5=615\begin{aligned}3 \times \frac{2}{5} &= \frac{3 \times 2}{3 \times 5} \\ &= \frac{6}{15}\end{aligned}
3×25=3×25=65\begin{aligned}3 \times \frac{2}{5} &= \frac{3 \times 2}{5} \\ &= \frac{6}{5}\end{aligned}

615\frac{6}{15} הוא בדיוק 25\frac{2}{5} — הרחבה, לא כפל. אחרי כפל ב-3 חייבים לקבל פי שלושה.

השלם הוא שבר עם מכנה 1

יש דרך שנייה לראות את אותו הדבר.

כל מספר שלם הוא שבר שהמכנה שלו 1: 3=313 = \frac{3}{1}.

ואז זה כפל של שבר בשבר — מונה במונה, מכנה במכנה:

3×25=31×25=3×21×5=65\begin{aligned}3 \times \frac{2}{5} &= \frac{3}{1} \times \frac{2}{5} \\ &= \frac{3 \times 2}{1 \times 5} \\ &= \frac{6}{5}\end{aligned}

שתי הדרכים נותנות אותה תוצאה, כי המכנה מוכפל ב-1 — כלומר לא משתנה. הדרך הזאת תשמש אותנו בפרק הבא, כפל שבר בשבר.

לצמצם לפני שכופלים

כשהשלם והמכנה מתחלקים באותו מספר, מצמצמים לפני הכפל.

כך המספרים נשארים קטנים. למשל 4×344 \times \frac{3}{4}:

4×34=3\cancel{4} \times \frac{3}{\cancel{4}} = 3

ארבע פעמים שלושה רבעים הם שלושה שלמים בדיוק.

בלי צמצום היינו מקבלים 124\frac{12}{4}, ומצמצמים בסוף. אותה תשובה — יותר עבודה.

לפני כל כפל של שלם בשבר, לעצור רגע: האם השלם והמכנה מתחלקים באותו מספר? זהו בדיוק הצמצום בהצלבה — רק שכאן אחד השברים הוא שלם.

צמצמו לפני שכופלים: כמה זה 4×584 \times \frac{5}{8}?

להציג את התשובה והפתרון

2122\tfrac{1}{2}. ה-4 וה-8 מתחלקים ב-4: 4 1×58 2=52=212\cancel{4}^{\,1} \times \frac{5}{\cancel{8}_{\,2}} = \frac{5}{2} = 2\tfrac{1}{2}.

מגדיל או מקטין?

עם מספרים שלמים, כפל תמיד מגדיל.

עם שברים — זה תלוי בשבר. הזיזו את המונה ותראו:

זו בדיקה מהירה שכדאי לעשות אחרי כל תרגיל: כפל בשבר קטן מ-1 חייב לתת פחות מהשלם. אם יצא יותר — נפלה טעות.

בלי לחשב: 8×798 \times \frac{7}{9} — יותר מ-8 או פחות מ-8?

להציג את התשובה והפתרון

פחות. 79\frac{7}{9} קטן מ-1, ולכן לוקחים קצת פחות משמונה שלמים. (התוצאה: 569=629\frac{56}{9} = 6\tfrac{2}{9}.)

כפל שלם במספר מעורב

ומה עם 2×3122 \times 3\tfrac{1}{2}?

מספר מעורב הוא שלם ועוד שבר. יש שתי דרכים לכפול אותו.

הדרך הראשונה: להפוך אותו קודם לשבר פשוט.

2×312=2×72=142=7\begin{aligned}2 \times 3\tfrac{1}{2} &= 2 \times \frac{7}{2} \\ &= \frac{14}{2} \\ &= 7\end{aligned}

הדרך השנייה: לכפול את השלם ואת השבר, כל אחד לבד, ולחבר.

בדרך של החלקים, הטעות היא לכפול רק את השלם ולשכוח את השבר.

4×213=8134 \times 2\tfrac{1}{3} = 8\tfrac{1}{3}
4×2+4×13=8+43=913\begin{aligned}4 \times 2 + 4 \times \frac{1}{3} &= 8 + \frac{4}{3} \\ &= 9\tfrac{1}{3}\end{aligned}

ה-4 כופל את שני החלקים. השליש לא נשאר כמו שהוא — גם הוא גדל פי ארבעה.

כשהשבר של המספר המעורב פשוט (חצי, שליש, רבע) — דרך החלקים מהירה יותר. כשהוא מסובך — עדיף להפוך לשבר פשוט. שתי הדרכים נכונות תמיד.

ובבעיות מילוליות

כפל שלם בשבר מופיע כשיש כמה פעמים אותה כמות.

למשל 5 בקבוקים של 34\frac{3}{4} ליטר, או 6 ימים של 1121\tfrac{1}{2} שעות. כותבים: מספר הפעמים כפול הכמות.

5×34=154=334\begin{aligned}5 \times \frac{3}{4} &= \frac{15}{4} \\ &= 3\tfrac{3}{4}\end{aligned}

ועכשיו משהו מפתיע.

בחלק מכמות למדנו ש-34\frac{3}{4} מ-5 הוא 34×5\frac{3}{4} \times 5. כאן חישבנו 5×345 \times \frac{3}{4}.

בכפל מותר להחליף סדר. אז חמישה בקבוקים של שלושה רבעים ליטר הם בדיוק שלושה רבעים של חמישה ליטרים.

כל יום בשבוע מריצים 23\frac{2}{3} ק״מ. כמה ק״מ רצים בשבוע שלם?

להציג את התשובה והפתרון

4234\tfrac{2}{3} ק״מ. שבעה ימים כפול שני שלישים: 7×23=143=4237 \times \frac{2}{3} = \frac{14}{3} = 4\tfrac{2}{3}.

תרגילים

להכיר

תרגיל 1

2×13=?2 \times \frac{1}{3} = ?

  1. 16\frac{1}{6}
  2. 23\frac{2}{3}
  3. 32\frac{3}{2}
  4. 26\frac{2}{6}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 23\frac{2}{3}

הפתרון:

2×13=2×13=23\begin{aligned}2 \times \frac{1}{3} &= \frac{2 \times 1}{3} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

השלם כופל את המונה, המכנה נשאר

פעמיים שליש הם שני שלישים. 26\frac{2}{6} הוא המלכודת — שם כפלו גם את המכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

5×27=?5 \times \frac{2}{7} = ?

  1. 235\frac{2}{35}
  2. 1035\frac{10}{35}
  3. 107\frac{10}{7}
  4. 77\frac{7}{7}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 107\frac{10}{7}

הפתרון:

5×27=107=137\begin{aligned}5 \times \frac{2}{7} &= \frac{10}{7} \\ &= 1\tfrac{3}{7}\end{aligned}

חמש פעמים שתי שביעיות

עשר שביעיות — יותר משלם אחד, כי 27\frac{2}{7} כפול חמש עובר את 77\frac{7}{7}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

3×45=?3 \times \frac{4}{5} = ?

  1. 2252\tfrac{2}{5}
  2. 75\frac{7}{5}
  3. 1215\frac{12}{15}
  4. 3453\tfrac{4}{5}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 2252\tfrac{2}{5}

הפתרון:

3×45=1253 \times \frac{4}{5} = \frac{12}{5}

שלוש פעמים ארבע חמישיות

125=225\frac{12}{5} = 2\tfrac{2}{5}

12 חמישיות: שני שלמים (10 חמישיות) ועוד שתי חמישיות

בדיקת כיוון: 45\frac{4}{5} קטן מ-1, ולכן התוצאה חייבת להיות פחות מ-3. 2252\tfrac{2}{5} מתאים; 3453\tfrac{4}{5} לא יכול להיות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

השלימו את המונה

3 × 2/7 = ____/7

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3 × 2/7 = 6/7

הפתרון:

3×27=673 \times \frac{2}{7} = \frac{6}{7}

השלם כופל את המונה

המכנה 7 כבר כתוב, כי הוא לא משתנה. רק המונה גדל: 3 כפול 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

4×34=?4 \times \frac{3}{4} = ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

4×34=3\cancel{4} \times \frac{3}{\cancel{4}} = 3

ה-4 של השלם וה-4 של המכנה מצטמצמים

ארבע פעמים שלושה רבעים הם 12 רבעים — שלושה שלמים בדיוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

להתאמן

תרגיל 6

12×23=?12 \times \frac{2}{3} = ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

12 4×23=4×2=8\begin{aligned}\cancel{12}^{\,4} \times \frac{2}{\cancel{3}} &= 4 \times 2 \\ &= 8\end{aligned}

12 ו-3 מצטמצמים ב-3

אפשר גם לחשוב: שליש של 12 הוא 4, ושני שלישים הם 8.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

10×35=?10 \times \frac{3}{5} = ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

10 2×35=2×3=6\begin{aligned}\cancel{10}^{\,2} \times \frac{3}{\cancel{5}} &= 2 \times 3 \\ &= 6\end{aligned}

10 ו-5 מצטמצמים ב-5

בלי צמצום: 305=6\frac{30}{5} = 6. אותה תשובה, מספרים גדולים יותר בדרך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

6×59=?6 \times \frac{5}{9} = ?

  1. 6596\tfrac{5}{9}
  2. 2232\tfrac{2}{3}
  3. 3133\tfrac{1}{3}
  4. 3054\frac{30}{54}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 3133\tfrac{1}{3}

הפתרון:

6 2×59 3=2×53\cancel{6}^{\,2} \times \frac{5}{\cancel{9}_{\,3}} = 2 \times \frac{5}{3}

6 ו-9 מצטמצמים ב-3

2×53=103=313\begin{aligned}2 \times \frac{5}{3} &= \frac{10}{3} \\ &= 3\tfrac{1}{3}\end{aligned}

ואז כפל, והופכים למספר מעורב

3054\frac{30}{54} היא הטעות של כפל במכנה — והיא שווה ל-59\frac{5}{9}, כלומר שום דבר לא הוכפל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

4×38=?4 \times \frac{3}{8} = ?

  1. 332\frac{3}{32}
  2. 1121\tfrac{1}{2}
  3. 78\frac{7}{8}
  4. 4384\tfrac{3}{8}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 1121\tfrac{1}{2}

הפתרון:

4×38 2=32\cancel{4} \times \frac{3}{\cancel{8}_{\,2}} = \frac{3}{2}

4 ו-8 מצטמצמים ב-4

32=112\frac{3}{2} = 1\tfrac{1}{2}

שלושה חצאים הם אחד וחצי

בלי צמצום: 128\frac{12}{8}, ואז מצמצמים ב-4 ומגיעים לאותו 32\frac{3}{2}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

7×23=7×27×37 \times \frac{2}{3} = \frac{7 \times 2}{7 \times 3}
1421=23\frac{14}{21} = \frac{2}{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7×23=7×27×37 \times \frac{2}{3} = \frac{7 \times 2}{7 \times 3} → 7×23=7×23=1437 \times \frac{2}{3} = \frac{7 \times 2}{3} = \frac{14}{3}

הפתרון:

7×23=143=423\begin{aligned}7 \times \frac{2}{3} &= \frac{14}{3} \\ &= 4\tfrac{2}{3}\end{aligned}

השלם כופל רק את המונה

השורה השנייה מחשבת נכון — אבל היא מגלה את הבעיה: יצא בדיוק 23\frac{2}{3}, כאילו לא כפלנו בכלום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

7×237 \times \frac{2}{3} גדול מ-7

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

7×23=143=423\begin{aligned}7 \times \frac{2}{3} &= \frac{14}{3} \\ &= 4\tfrac{2}{3}\end{aligned}

פחות מ-7

23\frac{2}{3} קטן מ-1, ולכן הכפל מקטין. לא צריך לחשב כדי לדעת את זה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

5×655 \times \frac{6}{5} גדול מ-5

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

5×65=6\cancel{5} \times \frac{6}{\cancel{5}} = 6

6 גדול מ-5

65\frac{6}{5} גדול מ-1, ולכן הכפל מגדיל. חמש פעמים שש חמישיות הן שישה שלמים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

סדרו מהקטן לגדול — בלי לחשב, רק לפי השבר

  • 4×124 \times \frac{1}{2}
  • 4×344 \times \frac{3}{4}
  • 4×544 \times \frac{5}{4}
  • 4×14 \times 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4×124 \times \frac{1}{2} · 4×344 \times \frac{3}{4} · 4×14 \times 1 · 4×544 \times \frac{5}{4}

הפתרון:

2  <  3  <  4  <  52 \;<\; 3 \;<\; 4 \;<\; 5

התוצאות, לפי הסדר

אותו שלם בכל הכפלים, ולכן הסדר נקבע רק לפי השבר: ככל שהשבר גדול יותר, התוצאה גדולה יותר. השבר 1 הוא בדיוק באמצע — לא מגדיל ולא מקטין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

3×212=?3 \times 2\tfrac{1}{2} = ?

  1. 7127\tfrac{1}{2}
  2. 5125\tfrac{1}{2}
  3. 6166\tfrac{1}{6}
  4. 6126\tfrac{1}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 7127\tfrac{1}{2}

הפתרון:

3×2=63 \times 2 = 6

השלם

3×12=32=112\begin{aligned}3 \times \frac{1}{2} &= \frac{3}{2} \\ &= 1\tfrac{1}{2}\end{aligned}

השבר

6+112=7126 + 1\tfrac{1}{2} = 7\tfrac{1}{2}

ומחברים

6126\tfrac{1}{2} היא המלכודת: כפלו את ה-2 ושכחו לכפול את החצי. בדרך השנייה: 3×52=152=7123 \times \frac{5}{2} = \frac{15}{2} = 7\tfrac{1}{2}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

4×134=?4 \times 1\tfrac{3}{4} = ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

134=741\tfrac{3}{4} = \frac{7}{4}

הופכים לשבר פשוט

4×74=7\cancel{4} \times \frac{7}{\cancel{4}} = 7

ומצמצמים לפני הכפל

או בדרך של החלקים: 4×1=44 \times 1 = 4, 4×34=34 \times \frac{3}{4} = 3, וביחד 7.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

5×113=?5 \times 1\tfrac{1}{3} = ?

  1. 7137\tfrac{1}{3}
  2. 5135\tfrac{1}{3}
  3. 5235\tfrac{2}{3}
  4. 6236\tfrac{2}{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 6236\tfrac{2}{3}

הפתרון:

113=431\tfrac{1}{3} = \frac{4}{3}

הופכים לשבר פשוט

5×43=203=623\begin{aligned}5 \times \frac{4}{3} &= \frac{20}{3} \\ &= 6\tfrac{2}{3}\end{aligned}

20 שלישים: שישה שלמים ועוד שני שלישים

5135\tfrac{1}{3} היא הטעות של «רק השלם»: 5×15 \times 1 ואז השליש נשאר לבד. חמש פעמים שליש הן 53\frac{5}{3}, לא 13\frac{1}{3}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

לשחק ולבדוק

תרגיל 17

בכל בקבוק 34\frac{3}{4} ליטר מיץ. כמה ליטר יש ב-8 בקבוקים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

8×348 \times \frac{3}{4}

שמונה פעמים אותה כמות — כפל

8 2×34=2×3=6\begin{aligned}\cancel{8}^{\,2} \times \frac{3}{\cancel{4}} &= 2 \times 3 \\ &= 6\end{aligned}

8 ו-4 מצטמצמים

6 ליטר. בדיקת כיוון: כל בקבוק פחות מליטר, ולכן שמונה בקבוקים הם פחות מ-8 ליטר. מתאים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

חבילת אורז שוקלת 23\frac{2}{3} ק״ג. כמה שוקלות 5 חבילות?

  1. 2132\tfrac{1}{3} ק״ג
  2. 3133\tfrac{1}{3} ק״ג
  3. 1015\frac{10}{15} ק״ג
  4. 5235\tfrac{2}{3} ק״ג
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 3133\tfrac{1}{3} ק״ג

הפתרון:

5×23=1035 \times \frac{2}{3} = \frac{10}{3}

חמש פעמים שני שלישים

103=313\frac{10}{3} = 3\tfrac{1}{3}

עשרה שלישים: שלושה שלמים ועוד שליש

3133\tfrac{1}{3} ק״ג. 1015\frac{10}{15} היא הטעות של כפל במכנה — והיא שוקלת בדיוק כמו חבילה אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

נועה מתאמנת 1121\tfrac{1}{2} שעות בכל יום, במשך 6 ימים. כמה שעות התאמנה בסך הכול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

6×1=66 \times 1 = 6

השלם: שש שעות שלמות

6×12=36 \times \frac{1}{2} = 3

השבר: שישה חצאים הם שלוש שעות

6+3=96 + 3 = 9

ומחברים

9 שעות. או בדרך השנייה: 6×32=182=96 \times \frac{3}{2} = \frac{18}{2} = 9.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

מתכון לעוגה אחת דורש 25\frac{2}{5} כוס סוכר. כמה כוסות סוכר צריך ל-5 עוגות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

5×25=2\cancel{5} \times \frac{2}{\cancel{5}} = 2

5 ו-5 מצטמצמים

שתי כוסות בדיוק. חמש פעמים שתי חמישיות הן עשר חמישיות — שני שלמים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

5 בקבוקים של 34\frac{3}{4} ליטר, ו-34\frac{3}{4} מ-5 ליטרים — זו אותה כמות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

5×34=34×5=154\begin{aligned}5 \times \frac{3}{4} &= \frac{3}{4} \times 5 \\ &= \frac{15}{4}\end{aligned}

בכפל מותר להחליף סדר

שני הסיפורים שונים, אבל החשבון זהה: 3343\tfrac{3}{4} ליטר בשניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת