נפח חרוט, פירמידה וכדור

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

לגליל ולמנסרה יש אותו חתך מלמטה עד למעלה. לכן «שטח הבסיס כפול הגובה» עבד.

החרוט והפירמידה מצטמצמים עד לחוד. ברור שייכנס בהם פחות — אבל כמה פחות?

נחשו: כמה חרוטים מלאים ימלאו את הגליל שלהם?

להציג את התשובה והפתרון

שלושה. בדקו בניסוי.

חרוט

נפח חרוט = שליש משטח הבסיס כפול הגובה

V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h

גביע גלידה

חרוט שרדיוס בסיסו 3 ס״מ וגובהו 10 ס״מ. מה נפחו? (π=3.14\pi = 3.14)

πr2h=3.14⋅9⋅10=282.6\begin{aligned}\pi r^2 h &= 3.14 \cdot 9 \cdot 10 \\ &= 282.6\end{aligned}

קודם מחשבים כאילו זה גליל

V=282.6:3V = 282.6 : 3

ורק בסוף לוקחים שליש

V=94.2 סמ״קV = 94.2\ \text{סמ״ק}

פחות משליש ליטר

סדר העבודה הנוח: קודם הגליל, בסוף שליש. כך יש מספר אחד לחלק ב-3, ולא שבר שנגרר בכל השורות.

גליל וחרוט בעלי אותו בסיס ואותו גובה. נפח הגליל 600 סמ״ק. מה נפח החרוט?

להציג את התשובה והפתרון

200 סמ״ק — שליש. אין צורך ברדיוס או בגובה: היחס לבדו מספיק.

פירמידה

אותו יחס בדיוק חוזר בין הפירמידה למנסרה שלה.

V=13Sבסיס⋅hV = \frac{1}{3} S_{\text{בסיס}} \cdot h

פירמידה עם בסיס ריבועי

פירמידה שבסיסה ריבוע שצלעו 6 ס״מ, וגובהה 10 ס״מ.

Sבסיס=6⋅6=36\begin{aligned}S_{\text{בסיס}} &= 6 \cdot 6 \\ &= 36\end{aligned}

שטח הריבוע

36⋅10=36036 \cdot 10 = 360

כאילו זו מנסרה

V=360:3=120 סמ״ק\begin{aligned}V &= 360 : 3 \\ &= 120\ \text{סמ״ק}\end{aligned}

ושליש

כדור

לכדור אין בסיס ואין גובה — יש לו רק רדיוס.

אבל אפשר לשים אותו בתוך גליל שעוטף אותו בדיוק: אותו רדיוס, וגובה 2r2r.

V=43πr3V = \frac{4}{3} \pi r^3

כאן הרדיוס בחזקה שלישית: אין גובה נפרד, וכל שלושת הממדים באים מהרדיוס.

כדור שרדיוסו 3 ס״מ

מחשבים לפי הסדר: קודם החזקה, אחר כך פאי, ובסוף השבר.

r3=33=27\begin{aligned}r^3 &= 3^3 \\ &= 27\end{aligned}

חזקה שלישית

3.14⋅27=84.783.14 \cdot 27 = 84.78

כפול פאי

84.78⋅43=113.04 סמ״ק84.78 \cdot \frac{4}{3} = 113.04\ \text{סמ״ק}

כפול ארבע חלקי שלוש

שתי הטעויות של הפרק.

Vחרוט=πr2hV_{\text{חרוט}} = \pi r^2 h
Vחרוט=13πr2hV_{\text{חרוט}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h

לשכוח את השליש. התשובה יוצאת פי שלושה גדולה מדי — וחרוט לעולם אינו מכיל כמו הגליל שסביבו.

Vכדור=43πr2V_{\text{כדור}} = \frac{4}{3}\pi r^2
Vכדור=43πr3V_{\text{כדור}} = \frac{4}{3}\pi r^3

בכדור החזקה היא שלישית. חזקה שנייה נותנת שטח, ושטח אינו נפח.

למה בכדור הרדיוס בחזקה שלישית, ובגליל רק בשנייה?

להציג את התשובה והפתרון

כי נפח הוא תמיד שלושה ממדים. בגליל שני ממדים באים מהבסיס (r2r^2) והשלישי מהגובה. בכדור אין גובה נפרד — כל שלושת הממדים חייבים לבוא מהרדיוס עצמו.

תרגילים

להתאמן

תרגיל 1

נפח גליל הוא 90 סמ״ק. מה נפח החרוט בעל אותו בסיס ואותו גובה, בסמ״ק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

90:3=3090 : 3 = 30

שליש

שלושים סמ״ק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

103
רדיוס הבסיס: 3 ס״מ. הגובה: 10 ס״מ.

חרוט שרדיוס בסיסו 3 ס״מ וגובהו 10 ס״מ. מהו נפחו בסמ״ק? (π=3.14\pi = 3.14)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 94.2

הפתרון:

3.14⋅9⋅10=282.63.14 \cdot 9 \cdot 10 = 282.6

כאילו גליל

282.6:3=94.2282.6 : 3 = 94.2

ושליש

כ-94 סמ״ק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ah
צלע הריבוע a והגובה h — המספרים כתובים בשאלה.

פירמידה שבסיסה ריבוע שצלעו 5 ס״מ וגובהה 12 ס״מ. מהו נפחה בסמ״ק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 100

הפתרון:

S=5⋅5=25\begin{aligned}S &= 5 \cdot 5 \\ &= 25\end{aligned}

שטח הבסיס

25⋅12=30025 \cdot 12 = 300

כאילו מנסרה

300:3=100300 : 3 = 100

ושליש

מאה סמ״ק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

3
הרדיוס: 3 ס״מ.

כדור שרדיוסו 3 ס״מ. מהו נפחו בסמ״ק? (π=3.14\pi = 3.14)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 113.04

הפתרון:

33=273^3 = 27

חזקה שלישית

43⋅3.14⋅27=113.04\frac{4}{3} \cdot 3.14 \cdot 27 = 113.04

והנוסחה

כ-113 סמ״ק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חרוט וגליל בעלי אותו בסיס ואותו גובה. מה נכון?

  1. נפחם שווה
  2. נפח החרוט גדול פי 3
  3. נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל
  4. נפח החרוט הוא חצי מנפח הגליל
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל

הפתרון:

Vחרוט=13VגלילV_{\text{חרוט}} = \frac{1}{3} V_{\text{גליל}}

שלוש שפיכות מילאו את הגליל

זה בדיוק מה שהניסוי הראה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נפח חרוט הוא 50 סמ״ק. מה נפח הגליל בעל אותו בסיס ואותו גובה, בסמ״ק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 150

הפתרון:

50⋅3=15050 \cdot 3 = 150

הכיוון ההפוך — כפל ב-3

הגליל גדול פי שלושה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בנוסחת נפח הכדור הרדיוס מועלה בחזקה שנייה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3

חזקה שלישית

חזקה שנייה הייתה נותנת שטח. נפח דורש שלושה ממדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

930
שטח הבסיס: 30 סמ״ר. הגובה: 9 ס״מ.

חרוט ששטח בסיסו 30 סמ״ר וגובהו 9 ס״מ. מהו נפחו בסמ״ק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

30⋅9=27030 \cdot 9 = 270

בסיס כפול גובה

270:3=90270 : 3 = 90

ושליש

כשנתון שטח הבסיס אין צורך בפאי כלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

סדרו את שלבי חישוב נפח חרוט

  • כותבים את התשובה בסמ״ק
  • מחלקים ב-3
  • מחשבים את שטח הבסיס
  • מכפילים בגובה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מחשבים את שטח הבסיס · מכפילים בגובה · מחלקים ב-3 · כותבים את התשובה בסמ״ק

הפתרון:

Sבסיס → ×h → :3S_{\text{בסיס}} \ \rightarrow \ \times h \ \rightarrow \ : 3

שלושת הצעדים, בסדר הזה

V=13Sבסיס⋅hV = \frac{1}{3} S_{\text{בסיס}} \cdot h

וזו הנוסחה שהם מרכיבים

השליש תמיד אחרון — כך מחלקים מספר אחד ולא גוררים שבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

6
הרדיוס: 6 ס״מ.

כדור שרדיוסו 6 ס״מ. מהו נפחו בסמ״ק? (π=3.14\pi = 3.14)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 904.32

הפתרון:

63=2166^3 = 216

חזקה שלישית

3.14⋅216=678.243.14 \cdot 216 = 678.24

כפול פאי

678.24⋅43=904.32678.24 \cdot \frac{4}{3} = 904.32

וכפול ארבע שלישים

רדיוס כפול הביא נפח גדול פי שמונה — כי החזקה שלישית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

חרוט שגובהו 9 ס״מ, וגליל שגובהו 3 ס״מ, עם אותו בסיס בדיוק — נפחם שווה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

13⋅S⋅9=3S\frac{1}{3} \cdot S \cdot 9 = 3S

החרוט

S⋅3=3SS \cdot 3 = 3S

הגליל

נכון! החרוט גבוה פי 3, וזה בדיוק מאזן את השליש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

56
רדיוס הבסיס: 6 ס״מ. הגובה: 5 ס״מ.

חרוט שרדיוס בסיסו 6 ס״מ וגובהו 5 ס״מ. מהו נפחו, בסמ״ק? (π=3.14\pi = 3.14)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 188.4

הפתרון:

3.14⋅36⋅5=565.23.14 \cdot 36 \cdot 5 = 565.2

כאילו גליל

565.2:3=188.4565.2 : 3 = 188.4

ושליש

בלי השליש יוצא 565.2 — נפח הגליל שמסביב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

10
שטח הבסיס: 48 סמ״ר. הגובה: 10 ס״מ.

פירמידה ששטח בסיסה 48 סמ״ר וגובהה 10 ס״מ. מהו נפחה, בסמ״ק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 160

הפתרון:

48⋅10=48048 \cdot 10 = 480

כאילו מנסרה

480:3=160480 : 3 = 160

ושליש

כשנתון שטח הבסיס, לא צריך לדעת את צורתו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

השלימו

מנסרה שנפחה 90 סמ״ק. פירמידה עם אותו בסיס ואותו גובה — נפחה ____ סמ״ק, וצריך ____ פירמידות כאלה כדי למלא את המנסרה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מנסרה שנפחה 90 סמ״ק. פירמידה עם אותו בסיס ואותו גובה — נפחה 30 סמ״ק, וצריך 3 פירמידות כאלה כדי למלא את המנסרה.

הפתרון:

90:3=3090 : 3 = 30

שליש

שלוש שפיכות ממלאות את המנסרה — כמו בניסוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

באיזו נוסחה יש שליש?

  • יש שליש
  • אין שליש
  • גליל
  • חרוט
  • מנסרה
  • פירמידה
  • תיבה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: חרוט — יש שליש · פירמידה — יש שליש · גליל — אין שליש · מנסרה — אין שליש · תיבה — אין שליש

הפתרון:

V=13ShV = \frac{1}{3} S h

גופים שמסתיימים בחוד

רק לגופים שמסתיימים בחוד יש שליש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

גליל עוטף כדור בדיוק: אותו רדיוס, וגובה פעמיים הרדיוס. נפח הגליל 150 סמ״ק. מה נפח הכדור, בסמ״ק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 100

הפתרון:

150⋅23=100150 \cdot \frac{2}{3} = 100

הכדור ממלא שני שלישים

כמו בניסוי של ארכימדס: הכדור הוא שני שלישים מהגליל שעוטף אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

מה נפח כדור שרדיוסו 3, כשכותבים אותו עם π\pi?

  1. 36π36\pi
  2. 12π12\pi
  3. 108π108\pi
  4. 27π27\pi
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 36π36\pi

הפתרון:

43π⋅33=43⋅27π=36π\begin{aligned}\frac{4}{3} \pi \cdot 3^3 &= \frac{4}{3} \cdot 27 \pi \\ &= 36\pi\end{aligned}

החזקה קודם

12π12\pi הוא עם r2r^2, ו-27π27\pi שוכח את 43\frac{4}{3}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

התאימו כל גוף לנוסחת הנפח שלו

  • גליל
  • חרוט
  • כדור
  • פירמידה
  • 13πr2h\frac{1}{3} \pi r^2 h
  • 13S⋅h\frac{1}{3} S \cdot h
  • 43πr3\frac{4}{3} \pi r^3
  • πr2h\pi r^2 h
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: גליל — πr2h\pi r^2 h · חרוט — 13πr2h\frac{1}{3} \pi r^2 h · כדור — 43πr3\frac{4}{3} \pi r^3 · פירמידה — 13S⋅h\frac{1}{3} S \cdot h

הפתרון:

13, 43\frac{1}{3}, \ \frac{4}{3}

השליש של החוד, וארבעה שלישים של הכדור

גליל — בסיס כפול גובה. חרוט ופירמידה — שליש מזה. כדור — רדיוס בחזקה שלישית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת