נפח מנסרה וגליל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

בתיבה חישבנו נפח ככפל של שלוש מידות.

יש דרך שנייה לקרוא את אותו חישוב. והיא תעבוד על כל הגופים של הפרק:

נפח = שטח הבסיס × גובה

הבסיס הוא קומה אחת של הגוף. הגובה אומר כמה קומות כאלה מעמידים זו על זו.

הכלל עובד כשהגוף שומר על אותו חתך מלמטה עד למעלה.

תיבה ששטח בסיסה 20 סמ״ר וגובהה 3 ס״מ — מה נפחה?

להציג את התשובה והפתרון

60 סמ״ק. שלוש קומות של 20 קוביות: 20×320 \times 3.

מנסרה

מנסרה היא גוף עם שני בסיסים זהים ומקבילים.

בין הבסיסים יש פאות צדדיות מלבניות. הבסיס יכול להיות משולש, מחומש, כל מצולע — והכלל אחד.

יש כאן שני גבהים שקל לבלבל ביניהם: גובה המשולש (בתוך הבסיס, כדי לחשב את שטחו) וגובה המנסרה (המרחק בין שני הבסיסים). הם לא אותו דבר.

מנסרה ששטח בסיסה 15 סמ״ר וגובהה 4 ס״מ — מה נפחה?

להציג את התשובה והפתרון

60 סמ״ק. 15×415 \times 4. אין צורך לדעת איזה מצולע הבסיס — שטחו כבר נתון.

שטח פנים ומעטפת

כדי לדעת כמה נייר צריך כדי לעטוף את הגוף — לא כמה מקום יש בתוכו — מחברים את שטחי כל הפאות.

Sמעטפת=Pבסיס⋅hS_{\text{מעטפת}} = P_{\text{בסיס}} \cdot h

גליל

גליל הוא אותו סיפור בדיוק, רק שהבסיס הוא עיגול.

לכן שטח הבסיס הוא πr2\pi r^2 — מה שלמדנו בפרק המעגל.

V=πr2⋅hV = \pi r^2 \cdot h

שתי הטעויות שחוזרות בכל תרגיל גליל.

V=π⋅102⋅3V = \pi \cdot 10^2 \cdot 3
V=π⋅32⋅10V = \pi \cdot 3^2 \cdot 10

רדיוס בריבוע, לא גובה בריבוע. החזקה שייכת לבסיס בלבד, כי רק הבסיס הוא שטח.

r=8 כשנתון קוטר 8r = 8 \text{ כשנתון קוטר } 8
r=4 כשנתון קוטר 8r = 4 \text{ כשנתון קוטר } 8

כשהשאלה נותנת קוטר, מחלקים ב-2 לפני שמציבים. אחרת התשובה גדולה פי ארבעה.

מה גדול יותר: גליל שרדיוסו 2 וגובהו 9, או גליל שרדיוסו 3 וגובהו 4?

להציג את התשובה והפתרון

π⋅4⋅9=36π\pi \cdot 4 \cdot 9 = 36\pi לעומת π⋅9⋅4=36π\pi \cdot 9 \cdot 4 = 36\pi — הם שווים! הרדיוס בריבוע של הגליל האחד (44) הוא הגובה של השני, ולהפך: 44 ו-99 פשוט מחליפים מקום.

פחית שהקוטר שלה 8 ס״מ. איזה רדיוס מציבים בנוסחה?

להציג את התשובה והפתרון

4 ס״מ. הקוטר הוא פעמיים הרדיוס — מחלקים ב-2 לפני הכול.

המעטפת של הגליל

גם את המעטפת של הגליל פורשים: מורידים את התווית מהפחית, ומניחים אותה על השולחן.

Sמעטפת=2πr⋅hS_{\text{מעטפת}} = 2\pi r \cdot h

תרגילים

להתאמן

תרגיל 1

hS
שטח הבסיס S והגובה h — המספרים כתובים בשאלה.

מנסרה ששטח בסיסה 12 סמ״ר וגובהה 5 ס״מ. מהו הנפח, בסמ״ק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

V=12⋅5=60\begin{aligned}V &= 12 \cdot 5 \\ &= 60\end{aligned}

שטח הבסיס כפול הגובה

שישים סמ״ק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

6104
הבסיס: משולש ישר זווית עם ניצבים 6 ו-4 ס״מ. גובה המנסרה: 10 ס״מ.

מנסרה שבסיסה משולש עם ניצבים 6 ו-4 ס״מ, וגובהה 10 ס״מ. מהו הנפח, בסמ״ק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

S=6⋅42=12\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 4}{2} \\ &= 12\end{aligned}

קודם שטח הבסיס

V=12⋅10=120\begin{aligned}V &= 12 \cdot 10 \\ &= 120\end{aligned}

ואז כפול הגובה

הסדר הזה — בסיס ואז גובה — הוא כל הפתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

rh
הרדיוס r והגובה h — המספרים כתובים בשאלה.

גליל שרדיוס בסיסו 2 ס״מ וגובהו 10 ס״מ. מהו הנפח בסמ״ק? (π=3.14\pi = 3.14)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 125.6

הפתרון:

S=3.14⋅22=12.56\begin{aligned}S &= 3.14 \cdot 2^2 \\ &= 12.56\end{aligned}

שטח הבסיס העגול

V=12.56⋅10=125.6\begin{aligned}V &= 12.56 \cdot 10 \\ &= 125.6\end{aligned}

כפול הגובה

בערך 125.6 סמ״ק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

610
הקוטר: 6 ס״מ. הגובה: 10 ס״מ.

גליל שקוטר בסיסו 6 ס״מ וגובהו 10 ס״מ. מהו הנפח בסמ״ק? (π=3.14\pi = 3.14)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 282.6

הפתרון:

r=6:2=3\begin{aligned}r &= 6 : 2 \\ &= 3\end{aligned}

קודם קוטר לרדיוס

S=3.14⋅9=28.26\begin{aligned}S &= 3.14 \cdot 9 \\ &= 28.26\end{aligned}

שטח הבסיס

V=28.26⋅10=282.6\begin{aligned}V &= 28.26 \cdot 10 \\ &= 282.6\end{aligned}

כפול הגובה

מי שהציב 6 במקום 3 קיבל פי ארבעה יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בנוסחת נפח הגליל, את מי מעלים בחזקה שנייה?

  1. את הרדיוס בלבד
  2. את הרדיוס ואת הגובה
  3. את פאי
  4. את הגובה בלבד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א את הרדיוס בלבד

הפתרון:

V=πr2hV = \pi r^2 h

הריבוע שייך לבסיס, כי הבסיס הוא שטח

הגובה נכנס פעם אחת בלבד — הוא מספר הקומות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

7?
הנפח: 84 סמ״ק. הגובה: 7 ס״מ.

נפח מנסרה הוא 84 סמ״ק, וגובהה 7 ס״מ. מהו שטח הבסיס, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

S⋅7=84S \cdot 7 = 84

הנוסחה, כשהנעלם הוא הבסיס

S=84:7=12\begin{aligned}S &= 84 : 7 \\ &= 12\end{aligned}

מחלקים בגובה

הכיוון ההפוך: חילוק במקום כפל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

1030
הרדיוס: 10 ס״מ. הגובה: 30 ס״מ.

מיכל גלילי שרדיוסו 10 ס״מ וגובהו 30 ס״מ. כמה ליטר הוא מכיל? (π=3.14\pi = 3.14)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9.42

הפתרון:

V=3.14⋅100⋅30V = 3.14 \cdot 100 \cdot 30

בסיס כפול גובה

=9420 סמ״ק= 9420\ \text{סמ״ק}

הנפח בסנטימטרים מעוקבים

9420:1000=9.429420 : 1000 = 9.42

אלף סמ״ק הם ליטר

כ-9.4 ליטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

31045
הבסיס: ניצבים 3 ו-4, יתר 5. גובה המנסרה: 10 ס״מ.

מנסרה שבסיסה משולש עם ניצבים 3 ו-4 ויתר 5, וגובהה 10 ס״מ. מהו שטח המעטפת (בלי הבסיסים), בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

P=3+4+5=12\begin{aligned}P &= 3 + 4 + 5 \\ &= 12\end{aligned}

היקף הבסיס

S=12⋅10=120\begin{aligned}S &= 12 \cdot 10 \\ &= 120\end{aligned}

מלבן אחד ארוך

בדיוק מה שהגלגול הראה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שני גלילים שווי גובה — אם רדיוס אחד גדול פי 2, נפחו גדול פי 2

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

π(2r)2h=4πr2h\pi (2r)^2 h = 4 \pi r^2 h

הרדיוס נכנס בריבוע

פי 4, לא פי 2. זו בדיוק הסיבה שהריבוע שבנוסחה חשוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

72
הרדיוס: 7 ס״מ. הגובה: 2 ס״מ.

כמה סמ״ק מים נכנסים בגליל שרדיוסו 7 ס״מ וגובהו 2 ס״מ? (π=227\pi = \frac{22}{7})

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 308

הפתרון:

S=227⋅49=154\begin{aligned}S &= \frac{22}{7} \cdot 49 \\ &= 154\end{aligned}

עם רדיוס 7 השבר מצטמצם יפה

V=154⋅2=308\begin{aligned}V &= 154 \cdot 2 \\ &= 308\end{aligned}

כפול הגובה

כשהרדיוס מתחלק ב-7 נוח לקחת את הקירוב 227\frac{22}{7}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

גוף שמצטמצם למעלה עד לחוד, כמו פירמידה, מחשבים ב«שטח הבסיס כפול הגובה»

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

S×hS \times h

רק לגוף עם אותו חתך מלמטה עד למעלה

לא. הכלל עובד רק כשכל הקומות זהות. בפירמידה כל קומה קטנה מזו שמתחתיה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

באילו גופים עובד «שטח הבסיס כפול הגובה»?

  • עובד
  • לא עובד
  • גליל
  • חרוט
  • כדור
  • מנסרה משולשת
  • פירמידה
  • קובייה
  • תיבה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: תיבה — עובד · קובייה — עובד · מנסרה משולשת — עובד · גליל — עובד · חרוט — לא עובד · פירמידה — לא עובד · כדור — לא עובד

הפתרון:

V=S×hV = S \times h

אותו חתך לכל הגובה

תיבה, קובייה, מנסרה וגליל שומרים על אותו חתך. חרוט ופירמידה מצטמצמים, ולכדור אין בסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

5128
הבסיס: משולש ישר זווית עם ניצבים 5 ו-8 ס״מ. גובה המנסרה: 12 ס״מ.

מנסרה שבסיסה משולש ישר זווית עם ניצבים 5 ו-8 ס״מ, וגובהה 12 ס״מ. מהו הנפח, בסמ״ק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 240

הפתרון:

S=5⋅82=20\begin{aligned}S &= \frac{5 \cdot 8}{2} \\ &= 20\end{aligned}

קודם שטח הבסיס

V=20⋅12=240\begin{aligned}V &= 20 \cdot 12 \\ &= 240\end{aligned}

ואז כפול הגובה

לא 5⋅8⋅125 \cdot 8 \cdot 12: הבסיס משולש, ושטחו חצי ממכפלת הניצבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

התאימו כל מנסרה לנפח שלה

  • בסיס 12 סמ״ר, גובה 5 ס״מ
  • בסיס 8 סמ״ר, גובה 9 ס״מ
  • בסיס 10 סמ״ר, גובה 4 ס״מ
  • 40 סמ״ק
  • 60 סמ״ק
  • 72 סמ״ק
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בסיס 12 סמ״ר, גובה 5 ס״מ — 60 סמ״ק · בסיס 8 סמ״ר, גובה 9 ס״מ — 72 סמ״ק · בסיס 10 סמ״ר, גובה 4 ס״מ — 40 סמ״ק

הפתרון:

12⋅5=60 8⋅9=72 10⋅4=40\begin{aligned}12 \cdot 5 &= 60 \\ \ 8 \cdot 9 &= 72 \\ \ 10 \cdot 4 &= 40\end{aligned}

שטח הבסיס כפול הגובה

אין צורך לדעת איזה מצולע הבסיס: שטחו כבר נתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

מנסרה שבסיסה ריבוע שצלעו 4 ס״מ, וגובהה 10 ס״מ. מהו שטח המעטפת (בלי הבסיסים), בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 160

הפתרון:

P=4⋅4=16\begin{aligned}P &= 4 \cdot 4 \\ &= 16\end{aligned}

היקף הבסיס

16⋅10=16016 \cdot 10 = 160

מלבן אחד, בגובה המנסרה

המעטפת נפרשת למלבן אחד: היקף הבסיס כפול הגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

גליל שרדיוסו 4 ס״מ וגובהו 10 ס״מ. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

V=πr2hV = \pi r^2 h
V=3.14⋅102⋅4V = 3.14 \cdot 10^2 \cdot 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: V=3.14⋅102⋅4V = 3.14 \cdot 10^2 \cdot 4 → V=3.14⋅42⋅10V = 3.14 \cdot 4^2 \cdot 10

הפתרון:

V=3.14⋅16⋅10=502.4\begin{aligned}V &= 3.14 \cdot 16 \cdot 10 \\ &= 502.4\end{aligned}

הרדיוס בריבוע

הציבו את הגובה במקום הרדיוס. החזקה שייכת לרדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

פחית א: רדיוס 3 ס״מ, גובה 4 ס״מ. פחית ב: רדיוס 2 ס״מ, גובה 8 ס״מ. באיזו נכנס יותר?

  1. בשתיהן אותו נפח
  2. בפחית א
  3. בפחית ב
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב בפחית א

הפתרון:

π⋅9⋅4=36π\pi \cdot 9 \cdot 4 = 36\pi

פחית א

π⋅4⋅8=32π\pi \cdot 4 \cdot 8 = 32\pi

פחית ב

פחית ב גבוהה פי 2, אבל הרדיוס נכנס בריבוע: 99 מול 44.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

510
הרדיוס: 5 ס״מ. הגובה: 10 ס״מ.

פחית שרדיוסה 5 ס״מ וגובהה 10 ס״מ. כמה סמ״ר נייר צריך לתווית שעוטפת אותה? (π=3.14\pi = 3.14)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 314

הפתרון:

2⋅3.14⋅5=31.42 \cdot 3.14 \cdot 5 = 31.4

היקף הבסיס — רוחב התווית

31.4⋅10=31431.4 \cdot 10 = 314

כפול הגובה

התווית היא מלבן: היקף העיגול כפול הגובה. לא πr2\pi r^2 — זה שטח המכסה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

כשפורשים את המעטפת של גליל, מקבלים מלבן שאורכו הוא היקף הבסיס

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

Sמעטפת=2πr⋅hS_{\text{מעטפת}} = 2\pi r \cdot h

היקף כפול גובה

נכון. התווית מקיפה את העיגול פעם אחת בדיוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

102
הקוטר: 10 ס״מ. הגובה: 2 ס״מ.

גליל שקוטר בסיסו 10 ס״מ וגובהו 2 ס״מ. מהו הנפח, בסמ״ק? (π=3.14\pi = 3.14)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 157

הפתרון:

r=10:2=5\begin{aligned}r &= 10 : 2 \\ &= 5\end{aligned}

קודם קוטר לרדיוס

S=3.14⋅25=78.5\begin{aligned}S &= 3.14 \cdot 25 \\ &= 78.5\end{aligned}

שטח הבסיס

V=78.5⋅2=157\begin{aligned}V &= 78.5 \cdot 2 \\ &= 157\end{aligned}

כפול הגובה

עם הקוטר במקום הרדיוס היה יוצא פי 4: 628.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת