סדרות כפליות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

עד עכשיו כל הסדרות שלנו הוסיפו מספר קבוע.

יש משפחה שנייה: סדרות שכופלות במספר קבוע. ההבדל ביניהן עצום.

5, 10, 15, 205,\ 10,\ 15,\ 20

סדרה חיבורית — מוסיפים 5. צועדת בקצב קבוע.

5, 10, 20, 405,\ 10,\ 20,\ 40

סדרה כפלית — כופלים ב-2. מתחילה לאט ומתפוצצת.

שתיהן מתחילות 5, 10 — ורק האיבר השלישי מסגיר את הסוד! לכן תמיד בודקים שני זוגות שכנים לפני שקובעים את החוק.

הטעות של שני הסוגים.

5, 10→155,\ 10 \to 15
5, 10→ ?5,\ 10 \to \ ?

משני איברים אי אפשר לדעת את החוק — אולי מוסיפים 5 ואולי כופלים ב-2. חובה לראות (או לבדוק) איבר שלישי.

איך מזהים

בודקים מה עושה כל צעד. ההפרש בין שכנים קבוע? הסדרה חיבורית.

המנה קבועה — כל איבר חלקי קודמו? הסדרה כפלית.

בסדרה 3, 6, 12, 243,\ 6,\ 12,\ 24 — מהו האיבר הבא?

להציג את התשובה והפתרון

4848. ההפרשים 3,6,123, 6, 12 משתנים, אבל המנה קבועה: 6:3=12:6=26 : 3 = 12 : 6 = 2. כופלים ב-2: 24×2=4824 \times 2 = 48.

הסדרה שמתחלקת

סדרה כפלית יכולה גם לרדת: 64, 32, 16, 8, …64,\ 32,\ 16,\ 8,\ \dots — כל איבר הוא חצי מקודמו.

היא קטנה והולכת, אבל לעולם לא מגיעה לאפס — רק מתקרבת אליו.

אגדת לוח השחמט

אגדה מספרת על לוח שחמט: גרגר אורז אחד במשבצת הראשונה, שניים בשנייה, ארבעה בשלישית... כמה גרגרים במשבצת העשירית?

להציג את התשובה והפתרון

512. מכפילים פי 2 תשע פעמים: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512. ובמשבצת ה-64? מספר עם 19 ספרות — יותר אורז משיש בעולם. זו העוצמה של הכפל.

תרגילים

תרגיל 1

המשיכו: 2, 4, 8, 16, ... מהו האיבר הבא?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

4:2=24:2 = 2

המנה קבועה — כופלים ב-2

16×2=3216 \times 2 = 32

ממשיכים

ההפרשים (2, 4, 8) גדלים — סימן היכר של סדרה כפלית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המשיכו: 1, 3, 9, 27, ... מהו האיבר הבא?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 81

הפתרון:

×3\times 3

כל איבר — פי 3 מקודמו

27×3=8127 \times 3 = 81

אלה בדיוק חזקות של 3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

המשיכו את היורדת: 80, 40, 20, ... מהו האיבר הבא?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

:2: 2

כל איבר — מחצית קודמו

20:2=1020 : 2 = 10

והיא תמשיך: 5, 2.5, 1.25... מתקרבת לאפס בלי לגעת בו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הסדרה 4, 8, 12, 16 — חיבורית או כפלית?

  1. חיבורית — מוסיפים 4
  2. אף אחת
  3. כפלית — כופלים ב-2
  4. גם וגם
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א חיבורית — מוסיפים 4

הפתרון:

8−4=12−8=4\begin{aligned}8-4 &= 12-8 \\ &= 4\end{aligned}

הפרש קבוע

8:4=2  12:8=1.5\begin{aligned}8:4 &= 2 \\ \ \ 12:8 &= 1.5\end{aligned}

אבל המנה לא קבועה

ההתחלה 4, 8 מתאימה לשתיהן — האיבר השלישי (12 ולא 16) הכריע: חיבורית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בסדרה כפלית האיבר הראשון 5 והמנה 2 (כל איבר כפול מקודמו). מהו האיבר השישי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 160

הפתרון:

5,10,20,40,80,1605, 10, 20, 40, 80, 160

חמש הכפלות

בסדרה חיבורית עם קפיצה 2 האיבר השישי היה רק 15 — ההבדל בין חיבור לכפל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

סדרה: 2, 6, 18, 54. מהו האיבר הבא?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 162

הפתרון:

6:2=36 : 2 = 3

המנה קבועה

54×3=16254 \times 3 = 162
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

סדרה: 400, 200, 100, … מהו האיבר הבא?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

:2: 2

כל איבר נחלק בשניים

סדרה כפלית יכולה גם לרדת — כשכופלים בפחות מ-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במה נבדלת סדרה כפלית מסדרה חיבורית?

  1. אין הבדל
  2. כפלית תמיד עולה
  3. בכפלית המנה קבועה, בחיבורית ההפרש
  4. חיבורית תמיד קטנה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג בכפלית המנה קבועה, בחיבורית ההפרש

הפתרון:

× מול +\times \ \text{מול} \ +

הבדיקה: מחשבים הפרש ומנה בין שכנים — מי מהם קבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

סדרה כפלית מתחילה ב-5 עם מנה 2. מהו האיבר החמישי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 80

הפתרון:

5,10,20,40,805, 10, 20, 40, 80

ארבע הכפלות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בסדרה 1, 10, 100, 1000 — פי כמה גדול האיבר הרביעי מהראשון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1000

הפתרון:

1000:1=10001000 : 1 = 1000

שלוש הכפלות בפי 10

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

חיבורית או כפלית?

  • חיבורית
  • כפלית
  • 1, 4, 16, 641,\ 4,\ 16,\ 64
  • 100, 50, 25, 12.5100,\ 50,\ 25,\ 12.5
  • 3, 6, 12, 243,\ 6,\ 12,\ 24
  • 3, 6, 9, 123,\ 6,\ 9,\ 12
  • 7, 14, 21, 287,\ 14,\ 21,\ 28
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3, 6, 9, 123,\ 6,\ 9,\ 12 — חיבורית · 3, 6, 12, 243,\ 6,\ 12,\ 24 — כפלית · 7, 14, 21, 287,\ 14,\ 21,\ 28 — חיבורית · 100, 50, 25, 12.5100,\ 50,\ 25,\ 12.5 — כפלית · 1, 4, 16, 641,\ 4,\ 16,\ 64 — כפלית

הפתרון:

6−3=9−6=3\begin{aligned}6 - 3 &= 9 - 6 \\ &= 3\end{aligned}

הפרש קבוע: חיבורית

6:3=12:6=2\begin{aligned}6 : 3 &= 12 : 6 \\ &= 2\end{aligned}

מנה קבועה: כפלית

בכל סדרה בודקים שני זוגות שכנים: 3,63, 6 פותחות גם חיבורית וגם כפלית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

בסדרה 64, 32, 16, …64,\ 32,\ 16,\ \dots (כל איבר חצי מקודמו) מגיעים בסוף לאפס.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

2:2=11:2=0.50.5:2=0.25\begin{aligned}2 : 2 &= 1 \quad 1 : 2 \\ &= 0.5 \quad 0.5 : 2 \\ &= 0.25\end{aligned}

חצי של מספר חיובי הוא עדיין חיובי

לא נכון: האיברים קטנים והולכים, אבל אף פעם לא 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

כדור נופל מגובה 200 ס״מ. בכל קפיצה הוא עולה לחצי מהגובה הקודם — בקפיצה הראשונה ל-100 ס״מ. לאיזה גובה, בס״מ, יעלה בקפיצה הרביעית?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12.5

הפתרון:

100, 50, 25, 12.5100,\ 50,\ 25,\ 12.5

קפיצה 1 עד קפיצה 4 — כל פעם מחלקים ב-2

12.512.5 ס״מ. מי שחיסר 50 בכל קפיצה הגיע ל-00 — אבל הכדור עולה לחצי, לא יורד באותו מספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

על לוח השחמט: גרגר אחד במשבצת הראשונה, ובכל משבצת פי 2 גרגרים מאשר במשבצת הקודמת. כמה גרגרים במשבצת ה-8?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 128

הפתרון:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 1281,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\ 128

שבע הכפלות

מהמשבצת הראשונה עד השמינית יש שבע הכפלות ב-2, לא שמונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

שתי סדרות מתחילות ב-2, 42,\ 4. אחת כפלית (2, 4, 8, …2,\ 4,\ 8,\ \dots), השנייה חיבורית (2, 4, 6, …2,\ 4,\ 6,\ \dots). מהו האיבר השישי בכל אחת?

בכפלית: ____. בחיבורית: ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בכפלית: 64. בחיבורית: 12.

הפתרון:

2, 4, 8, 16, 32, 642,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64

כופלים ב-2

2, 4, 6, 8, 10, 122,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12

מוסיפים 2

אותה התחלה — וכבר באיבר השישי הכפלית גדולה פי 5 ויותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

דני המשיך את הסדרה 2, 6, 18, …2,\ 6,\ 18,\ \dots — שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

6:2=36 : 2 = 3
18+3=2118 + 3 = 21
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18+3=2118 + 3 = 21 → 18×3=5418 \times 3 = 54

הפתרון:

6:2=18:6=3\begin{aligned}6 : 2 &= 18 : 6 \\ &= 3\end{aligned}

המנה קבועה

18×3=5418 \times 3 = 54

כופלים במנה

דני מצא נכון את המנה, אבל הוסיף אותה במקום לכפול בה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

התאימו כל סדרה לכלל שלה.

  • 5, 10, 155,\ 10,\ 15
  • 5, 10, 205,\ 10,\ 20
  • 5, 15, 455,\ 15,\ 45
  • 5, 15, 255,\ 15,\ 25
  • ×2\times 2
  • ×3\times 3
  • +10+10
  • +5+5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5, 10, 155,\ 10,\ 15 — +5+5 · 5, 10, 205,\ 10,\ 20 — ×2\times 2 · 5, 15, 455,\ 15,\ 45 — ×3\times 3 · 5, 15, 255,\ 15,\ 25 — +10+10

הפתרון:

10−5=15−10=5\begin{aligned}10 - 5 &= 15 - 10 \\ &= 5\end{aligned}
10:5=20:10=2\begin{aligned}10 : 5 &= 20 : 10 \\ &= 2\end{aligned}
15:5=45:15=3\begin{aligned}15 : 5 &= 45 : 15 \\ &= 3\end{aligned}
15−5=25−15=10\begin{aligned}15 - 5 &= 25 - 15 \\ &= 10\end{aligned}

שתי סדרות מתחילות 5,105, 10 ושתיים 5,155, 15: רק האיבר השלישי מכריע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

מהו האיבר החסר? 3, □, 48, 1923,\ \square,\ 48,\ 192

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

192:48=4192 : 48 = 4

המנה, מזוג ידוע

3×4=123 \times 4 = 12

בדיקה: 12×4=4812 \times 4 = 48

האיבר החסר 1212. אין כאן הפרש קבוע — רק המנה קבועה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת