גופים משוכללים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

יש משפחה קטנה של גופים מושלמים — ובה בדיוק חמישה.

כדי להיכנס אליה, גוף צריך לעמוד בשלושה תנאים ביחד:

11

כל הפאות הן מצולעים משוכללים — כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות.

22

כל הפאות זהות זו לזו — אותו מצולע בדיוק, באותו גודל.

33

בכל קודקוד נפגש אותו מספר של פאות.

הקובייה עומדת בשלושתם: שישה ריבועים זהים, ובכל פינה נפגשים שלושה.

היא החבר המוכר במשפחה — ויש עוד ארבעה.

שלושה בנויים ממשולשים, אחד מריבועים ואחד ממחומשים. זה לא מקרה — עכשיו נראה למה.

כמה פאות יש בתמניון, ואיזו צורה הן?

להציג את התשובה והפתרון

שמונה משולשים שווי צלעות. השם עצמו אומר את המספר — «תמניון» משמונה.

למה אין שישי

בכל קודקוד נפגשות לפחות שלוש פאות.

סכום הזוויות שלהן בקודקוד חייב להיות קטן מ-360∘360^\circ. בדיוק 360∘360^\circ — הצורה נשארת שטוחה, ולא נסגרת לגוף.

נשארו בדיוק חמש אפשרויות: 3, 4 או 5 משולשים; 3 ריבועים; 3 מחומשים. חמישה גופים.

למה אין גוף משוכלל שפאותיו משושים?

להציג את התשובה והפתרון

כי זווית של משושה משוכלל היא 120∘120^\circ, וכבר שלושה משושים נותנים בקודקוד 3×120=360°3 \times 120 = 360° — כלומר משטח שטוח שלא מתקפל.

אפשר לבנות את כולם בבית מפריסות — חמש פריסות מנייר, קיפול והדבקה. זו הדרך הטובה ביותר להרגיש למה המשפחה כל כך קטנה.

לחשוב שכל גוף «יפה» או סימטרי הוא משוכלל.

תיבה→משוכלל\text{תיבה} \rightarrow \text{משוכלל}
קובייה→משוכלל\text{קובייה} \rightarrow \text{משוכלל}

לתיבה יש שש פאות מלבניות, אבל הן אינן זהות וגם אינן משוכללות. רק הקובייה עומדת בתנאים.

תרגילים

להתאמן

תרגיל 1

כמה גופים משוכללים קיימים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

55

ארבעון, קובייה, תמניון, תריסרון, עשרימון

חמישה בדיוק — לא פחות ולא יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמה פאות יש לארבעון (טטרהדרון)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

44

ארבעה משולשים שווי צלעות

הגוף הקטן ביותר במשפחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

איזה גוף משוכלל בנוי ממחומשים?

  1. ארבעון
  2. תריסרון (דודקהדרון)
  3. קובייה
  4. עשרימון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב תריסרון (דודקהדרון)

הפתרון:

12×512 \times 5

שנים עשר מחומשים, חמש צלעות לכל אחד

שנים עשר מחומשים — הגוף היחיד במשפחה שבנוי ממחומשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

התיבה היא גוף משוכלל

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

מלבנים שונים≠פאות זהות ומשוכללות\text{מלבנים שונים} \ne \text{פאות זהות ומשוכללות}

התיבה נופלת בשני התנאים הראשונים

פאותיה מלבנים שאינם זהים ואינם משוכללים. רק הקובייה עומדת בתנאים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בקודקוד של גוף משוכלל נפגשים שלושה ריבועים. מהו סכום הזוויות שם, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 270

הפתרון:

3⋅90=2703 \cdot 90 = 270

זווית הריבוע היא 90

פחות מ-360 — ולכן הגוף נסגר. זו הקובייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מה סכום הזוויות בקודקוד שבו נפגשים שישה משולשים שווי צלעות, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 360

הפתרון:

6⋅60=3606 \cdot 60 = 360

שישה משולשים

בדיוק 360 — משטח שטוח, ולכן אין גוף כזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

אין גוף משוכלל שפאותיו משושים משוכללים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

3⋅120=3603 \cdot 120 = 360

כבר שלושה משושים משטיחים את הקודקוד

וכל מצולע גדול יותר גרוע עוד יותר — הזוויות שלו גדולות מ-120.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

התאימו כל גוף משוכלל למספר הפאות שלו

  • ארבעון
  • קובייה
  • תמניון
  • תריסרון
  • עשרימון
  • 12 מחומשים
  • 20 משולשים
  • 4 משולשים
  • 6 ריבועים
  • 8 משולשים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ארבעון — 4 משולשים · קובייה — 6 ריבועים · תמניון — 8 משולשים · תריסרון — 12 מחומשים · עשרימון — 20 משולשים

הפתרון:

4, 6, 8, 12, 204,\ 6,\ 8,\ 12,\ 20

מספרי הפאות של חמשת הגופים, לפי הסדר

שלושה בנויים ממשולשים, אחד מריבועים ואחד ממחומשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כמה מקצועות יש לקובייה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

1212

ארבעה למעלה, ארבעה למטה וארבעה מחברים

שישה פאות, שנים עשר מקצועות, שמונה קודקודים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מיינו: אילו גופים הם משוכללים ואילו לא?

  • משוכלל
  • לא משוכלל
  • ארבעון
  • גליל
  • מנסרה משולשת
  • עשרימון
  • קובייה
  • תיבה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: קובייה — משוכלל · ארבעון — משוכלל · תיבה — לא משוכלל · גליל — לא משוכלל · מנסרה משולשת — לא משוכלל · עשרימון — משוכלל

הפתרון:

פאון+פאות זהות ומשוכללות\text{פאון} + \text{פאות זהות ומשוכללות}

שני התנאים שמגדירים את המשפחה

גליל, חרוט→משטח מעוגל\text{גליל, חרוט} \rightarrow \text{משטח מעוגל}

ולכן הם מחוץ לה

גוף משוכלל הוא פאון בלבד — לגליל ולחרוט יש משטח מעוגל, ולכן הם מחוץ למשפחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מה שם הגוף המשוכלל שבציור?

  1. ארבעון
  2. תמניון
  3. תריסרון
  4. עשרימון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד עשרימון

הפתרון:

20 משולשים20 \ \text{משולשים}

בכל קודקוד נפגשים חמישה משולשים

הרבה משולשים, כמעט כדור — עשרימון. לתריסרון פאות מחומשות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

בכל קודקוד של תמניון נפגשים ארבעה משולשים שווי צלעות. מה סכום הזוויות שם, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 240

הפתרון:

4⋅60=2404 \cdot 60 = 240

ארבע זוויות של 60∘60^\circ

240 קטן מ-360 — ולכן הקודקוד נסגר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

מה גודל זווית של מחומש משוכלל, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 108

הפתרון:

(5−2)⋅180=540(5 - 2) \cdot 180 = 540

סכום הזוויות במחומש

540:5=108540 : 5 = 108

חמש זוויות שוות

שלוש כאלה: 3⋅108=324<3603 \cdot 108 = 324 < 360 — תריסרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

בקודקוד של גוף משוכלל יכולים להיפגש ארבעה ריבועים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

4⋅90=3604 \cdot 90 = 360

בדיוק 360∘360^\circ

ארבעה ריבועים שוכבים שטוחים — כמו משבצות של מחברת. אין קודקוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

סדרו את הגופים המשוכללים לפי מספר הפאות, מהקטן לגדול

  • ארבעון
  • עשרימון
  • קובייה
  • תמניון
  • תריסרון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ארבעון · קובייה · תמניון · תריסרון · עשרימון

הפתרון:

4<6<8<12<204 < 6 < 8 < 12 < 20

מספרי הפאות

השמות עצמם אומרים את המספר: ארבע, שמונה, שתים עשרה, עשרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת