פותרים יחד · גדילה ודעיכה · כיתה י״א

ארבע שאלות בנוסח שאלת הגדילה והדעיכה בבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: ערך עתידי ו«מתי לראשונה», אחוז מתוך שני ערכים, שתי כמויות שנפגשות, וטבלה שממנה מוצאים את המכפיל. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

בדף הנוסחאות כתוב $A_t = A_0 \cdot q^t$ , ובגדילה $q = \frac{100+p}{100}$ , בדעיכה $q = \frac{100-p}{100}$ . לפני כל שאלה כתבו לעצמכם שלושה דברים: מה $A_0$ , מה $q$ , ומה $t$ .

1 — ערך עתידי, ומתי עוברים סף

פעילות אינטראקטיבית

בשנת 2020 היו בספרייה העירונית $5000$ מנויים. מספר המנויים גדל ב- $6\%$ בכל שנה. א. כמה מנויים יהיו בספרייה בשנת 2024? ב. באיזו שנה לראשונה יהיו בספרייה יותר מ- $8000$ מנויים?

A_t = 5000 \cdot 1.06^t

לחצו «להתחיל». קודם מתרגמים את האחוז למכפיל $q$ .

המכפיל

\begin{aligned}q &= \frac{100+6}{100} \\ &= 1.06\end{aligned}

גדילה: מוסיפים את האחוז ל- $100$ .

א. הזמן

\begin{aligned}t &= 2024 - 2020 \\ &= 4\end{aligned}

סופרים שנים מנקודת ההתחלה.

א.

A_4 = 5000 \cdot 1.06^4 \approx 6312.38

כ- $6312$ מנויים בשנת 2024.

ב. אי-שוויון

5000 \cdot 1.06^t > 8000 \ \Rightarrow \ 1.06^t > 1.6

מחלקים את שני האגפים ב- $5000$ .

ב. ניסוי

1.06^8 \approx 1.594 \qquad 1.06^9 \approx 1.689

ב- $t=8$ עוד לא עוברים, ב- $t=9$ כבר עוברים.

ב.

2020 + 9 = 2029

השנה היא 2029, ולא $9$ .

שתי שורות בטבלת הניסוי: השנה שבה עוד לא עוברים, והשנה שבה כבר עוברים. יחד הן ההוכחה שזו השנה הראשונה.

לעשות את הפעילות ב-elev

כמה מנויים היו בספרייה בשנת 2019?

להציג את התשובה והפתרון

כ- $4717$ . הולכים שנה אחורה, ולכן מחלקים במכפיל: $5000 : 1.06 \approx 4716.98$ . מי שמוריד $6\%$ מ- $5000$ מקבל $4700$ , וזה לא נכון: $4700 \cdot 1.06 = 4982$ , ולא $5000$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה. שאלה 5 חוזרת על סעיף ב בהקשר של שכר.

2 — אחוז הירידה מתוך שני ערכים

פעילות אינטראקטיבית

אחוז מתוך שני ערכים

ערכה של מכונית ירד מ- $80000$ ש״ח ל- $57800$ ש״ח בשנתיים. בכל שנה ירד הערך באותו אחוז. מהו אחוז הירידה השנתי?

$15\%$

$13.875\%$

$27.75\%$

$85\%$

איזו משוואה מתארת את הירידה?

$80000 \cdot q^2 = 57800$

להציג את התשובה והפתרון

שתי שנים: כופלים פעמיים באותו מכפיל.

$80000 - 2x = 57800$

להציג את התשובה והפתרון

זו ירידה קווית: אותו סכום בכל שנה, ולא אותו אחוז.

80000 \cdot q^2 = 57800

המכפיל $q$ לא ידוע

איך מוצאים את $q$ ?

מחלקים ב- $80000$ ומוציאים שורש

להציג את התשובה והפתרון

$q^2 = 0.7225$ , ולכן $q = \sqrt{0.7225}$ .

מחלקים ב- $80000$ ואחר כך ב- $2$

להציג את התשובה והפתרון

את $q^2$ לא מחלקים ב- $2$ : מוציאים שורש.

\begin{aligned}q^2 &= \frac{57800}{80000} \\ &= 0.7225 \ \Rightarrow \ q \\ &= 0.85\end{aligned}

$0.85 \cdot 0.85 = 0.7225$ ✓

מהו אחוז הירידה?

להציג את התשובה והפתרון

$q = \frac{100-p}{100} = 0.85$ , ולכן $p = 15$ .

להציג את התשובה והפתרון

$85\%$ הוא מה שנשאר בכל שנה, ולא מה שירד.

\begin{aligned}p &= 100 - 85 \\ &= 15\end{aligned}

ירידה של $15\%$ בשנה

להציג את התשובה והפתרון

$15\%$ בשנה. התשובה $13.875\%$ מחלקת את הירידה הכוללת ( $27.75\%$ ) לשתי שנים. אבל השנה השנייה מתחילה מערך נמוך יותר, ולכן האחוז השנתי אינו חצי מהירידה הכוללת.

לעשות את הפעילות ב-elev

בדקו את התשובה: כמה הייתה שווה המכונית אחרי שנה אחת?

להציג את התשובה והפתרון

$68000$ ש״ח: $80000 \cdot 0.85 = 68000$ , ואחר כך $68000 \cdot 0.85 = 57800$ ✓. בדיקה כזאת לוקחת חצי דקה ותופסת את רוב הטעויות.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — שתי כמויות שנפגשות

כמות התרופה בדם

תרופה א
תרופה ב

שני הקווים נפגשים בשעה 10:00, כלומר ב-

t=2

פעילות אינטראקטיבית

בשעה 8:00 קיבלו שני מטופלים שתי תרופות שונות. בדם של הראשון היו $90$ מ״ג של תרופה א, והכמות קטנה ב- $20\%$ בכל שעה. בדם של השני היו $160$ מ״ג של תרופה ב, והכמות קטנה בכל שעה באחוז קבוע. בשעה 10:00 הכמויות שוות. א. כמה מ״ג של תרופה א יש בדם בשעה 10:00? ב. באיזה אחוז קטנה תרופה ב בכל שעה? ג. מאיזו תרופה תהיה כמות גדולה יותר בשעה 11:00?

A: \ 90 \cdot 0.8^t \qquad B: \ 160 \cdot q^t

לחצו «להתחיל». המשפט «הכמויות שוות» הוא המשוואה של סעיף ב.

א.

90 \cdot 0.8^2 = 57.6

שעתיים, מ-8:00 עד 10:00.

ב. משוואה

160 \cdot q^2 = 57.6

בשעה 10:00 גם בתרופה ב יש $57.6$ מ״ג.

ב. המכפיל

\begin{aligned}q^2 &= \frac{57.6}{160} \\ &= 0.36 \ \Rightarrow \ q \\ &= 0.6\end{aligned}

$0.6 \cdot 0.6 = 0.36$

ב.

\begin{aligned}p &= 100 - 60 \\ &= 40\end{aligned}

תרופה ב קטנה ב- $40\%$ בכל שעה.

ג.

\begin{aligned}57.6 \cdot 0.8 &= 46.08 \qquad 57.6 \cdot 0.6 \\ &= 34.56\end{aligned}

ממשיכים שעה אחת מנקודת השוויון.

ג. מסקנה

46.08 > 34.56

בשעה 11:00 יש בדם יותר מתרופה א.

אחרי נקודת השוויון, הכמות שיורדת מהר יותר נשארת מתחת. בגרף: תרופה ב מתחילה גבוה ויורדת בתלילות.

לעשות את הפעילות ב-elev

איזה קו בגרף שייך לתרופה ב, ואיך יודעים את זה בלי לחשב?

להציג את התשובה והפתרון

הקו שמתחיל ב- $160$ . הכמות ההתחלתית נמצאת על הציר האנכי, ב- $t=0$ . בהרבה שאלות בגרות זה הצעד הראשון: להתאים כל גרף לכמות לפי ערך ההתחלה.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — טבלה: קווי או מעריכי, ושנה אחורה

קינים של צבי ים בחוף

שנה	2019	2020	2021
מספר קינים	625	675	729

פעילות אינטראקטיבית

המכפיל מתוך טבלה

בטבלה: מספר הקינים של צבי ים שנמצאו בחוף בשלוש שנים. הראו שהגדילה מעריכית, מצאו את אחוז הגדילה השנתי, ומצאו כמה קינים היו בשנת 2018, אם הגדילה הייתה זהה גם אז.

גדילה של $8\%$ בשנה; בשנת 2018 כ- $579$ קינים

גדילה של $8\%$ בשנה; בשנת 2018 $575$ קינים

גדילה של $50$ קינים בשנה; בשנת 2018 $575$ קינים

גדילה של $1.08\%$ בשנה; בשנת 2018 כ- $579$ קינים

ההפרשים בטבלה הם $50$ ואחר כך $54$ . מה זה אומר?

הגדילה אינה קווית; בודקים את היחס

להציג את התשובה והפתרון

הפרשים שונים פוסלים מודל קווי. במודל מעריכי היחס קבוע.

הגדילה קווית, בערך $52$ בשנה

להציג את התשובה והפתרון

במודל קווי ההפרש קבוע בדיוק, ו- $50 \neq 54$ .

\begin{aligned}675 - 625 &= 50 \qquad 729 - 675 \\ &= 54\end{aligned}

ההפרשים גדלים

מהו היחס בין שנה לשנה?

$\frac{675}{625} = \frac{729}{675} = 1.08$

להציג את התשובה והפתרון

אותו יחס בשתי השנים: מודל מעריכי עם $q = 1.08$ .

$\frac{625}{675} \approx 0.93$

להציג את התשובה והפתרון

מחלקים את השנה המאוחרת בשנה המוקדמת. אחרת מקבלים מכפיל של ירידה.

q = 1.08

גדילה של $8\%$ בשנה

איך מגיעים לשנת 2018?

מחלקים את $625$ ב- $1.08$

להציג את התשובה והפתרון

שנה אחורה היא הפעולה ההפוכה לכפל.

מורידים $8\%$ מ- $625$

להציג את התשובה והפתרון

$625 \cdot 0.92 = 575$ , אבל $575 \cdot 1.08 = 621$ , ולא $625$ .

625 : 1.08 \approx 578.7

כ- $579$ קינים

להציג את התשובה והפתרון

$8\%$ בשנה, ובשנת 2018 כ- $579$ קינים. $1.08$ הוא המכפיל, לא האחוז. והורדה של $8\%$ אינה ההפך של הוספת $8\%$ : האחוז נלקח כל פעם מערך אחר.

לעשות את הפעילות ב-elev

כמה קינים צפויים בשנת 2023, אם הגדילה נמשכת?

להציג את התשובה והפתרון

כ- $850$ . משנת 2021 עוברות שתי שנים: $729 \cdot 1.08^2 \approx 850.31$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

בשנת 2020 גרו ביישוב $12000$ תושבים, ומספרם גדל ב- $4\%$ בכל שנה. השלימו.

מספר התושבים בשנת 2023 (עגלו למספר שלם): ____ ; השנה הראשונה שבה יגורו ביישוב יותר מ- $15000$ תושבים: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מספר התושבים בשנת 2023 (עגלו למספר שלם): 13498 ; השנה הראשונה שבה יגורו ביישוב יותר מ- $15000$ תושבים: 2026

הפתרון:

A_3 = 12000 \cdot 1.04^3 \approx 13498.37

שלוש שנים מ-2020

1.04^t > \frac{15000}{12000} = 1.25

מחלקים ב- $12000$

1.04^5 \approx 1.217 \qquad 1.04^6 \approx 1.265

ניסוי: $t=5$ עוד לא, $t=6$ כן

2020 + 6 = 2026

השנה

התשובה היא שנה: 2026. מי שכותב $6$ ענה על $t$ , ולא על השאלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

השקעה של $25000$ ש״ח גדלה בשנתיים ל- $30250$ ש״ח, באותו אחוז בכל שנה. מהו אחוז הגדילה השנתי?

$21\%$
$10\%$
$10.5\%$
$110\%$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $10\%$

הפתרון:

25000 \cdot q^2 = 30250

שתי שנים

\begin{aligned}q^2 &= 1.21 \ \Rightarrow \ q \\ &= 1.1\end{aligned}

שורש

\begin{aligned}p &= 110 - 100 \\ &= 10\end{aligned}

האחוז

הנכונה: $10\%$ . $10.5\%$ מחלקת את הגדילה הכוללת ( $21\%$ ) לשתי שנים. $110\%$ מבלבלת בין המכפיל לבין האחוז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בשעה 9:00 היו בבריכה א $200$ גרם כלור, והכמות קטנה ב- $10\%$ בכל שעה. בבריכה ב היו באותה שעה $288$ גרם כלור, והכמות קטנה בכל שעה באחוז קבוע. בשעה 11:00 כמויות הכלור בשתי הבריכות שוות. בכמה אחוזים קטנה כמות הכלור בבריכה ב בכל שעה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

200 \cdot 0.9^2 = 162

בריכה א בשעה 11:00

\begin{aligned}288 \cdot q^2 &= 162 \ \Rightarrow \ q^2 \\ &= 0.5625\end{aligned}

הכמויות שוות

\begin{aligned}q &= 0.75 \ \Rightarrow \ p \\ &= 25\end{aligned}

שורש, ואז האחוז

בריכה ב קטנה ב- $25\%$ בכל שעה. $75$ הוא מה שנשאר, לא מה שירד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מבקרים בתערוכה השנתית

שנה	2022	2023	2024
מספר מבקרים	1600	1840	2116

בטבלה: מספר המבקרים בתערוכה שנתית. מספר המבקרים גדל באותו אחוז בכל שנה. השלימו.

אחוז הגדילה השנתי: ____ % ; מספר המבקרים בשנת 2021 (עגלו למספר שלם): ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אחוז הגדילה השנתי: 15 % ; מספר המבקרים בשנת 2021 (עגלו למספר שלם): 1391

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{1840}{1600} &= \frac{2116}{1840} \\ &= 1.15\end{aligned}

יחס קבוע: מודל מעריכי

p = 15

המכפיל $1.15$ הוא גדילה של $15\%$

1600 : 1.15 \approx 1391.3

שנה אחורה: מחלקים

שנה אחורה מחלקים במכפיל. מי שמוריד $15\%$ מ- $1600$ מקבל $1360$ , ו- $1360 \cdot 1.15 = 1564$ , לא $1600$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שכרה החודשי של נועה הוא $9000$ ש״ח, והוא עולה ב- $5\%$ בכל שנה. בעוד כמה שנים שלמות, לראשונה, יהיה שכרה גבוה מ- $12000$ ש״ח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

9000 \cdot 1.05^t > 12000 \ \Rightarrow \ 1.05^t > 1.333

מחלקים ב- $9000$

1.05^5 \approx 1.276 \qquad 1.05^6 \approx 1.340

ניסוי

בעוד $6$ שנים. אחרי $5$ שנים השכר הוא כ- $11486.53$ ש״ח, עדיין פחות מ- $12000$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — ערך עתידי, ומתי עוברים סף

2 — אחוז הירידה מתוך שני ערכים

3 — שתי כמויות שנפגשות

4 — טבלה: קווי או מעריכי, ושנה אחורה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev