ריבית דריבית וגדילה מעריכית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

« עולה ב-10 כל שנה » ו« עולה ב-10 אחוז כל שנה » נשמעים דומה. בשנה הראשונה הם אפילו נותנים אותו מספר. אחר כך הם נפרדים לגמרי.

הנוסחה

Pn=P0⋅(1+r)nP_n = P_0 \cdot (1 + r)^n
P0P_0

הסכום ההתחלתי.

rr

שיעור הגדילה כשבר — 10%10\% הם 0.10.1.

nn

מספר התקופות.

האחוז נכתב כשבר. 5%5\% הם 0.050.05, ולכן המכפיל הוא 1.051.05 — לא 1.51.5 ולא 55. זו הטעות שהופכת תשובה סבירה לתשובה מגוחכת.

פיקדון בבנק

1000 ש״ח בריבית שנתית 5%5\%. כמה יהיה אחרי 3 שנים?

P3=1000⋅1.053P_3 = 1000 \cdot 1.05^3

מציבים

1.053≈1.1576251.05^3 \approx 1.157625
≈1157.63\approx 1157.63

ש״ח

בריבית פשוטה היה מתקבל 11501150. ההפרש של 7.637.63 נראה זניח — אבל אחרי עשר שנים הוא כבר 128.89128.89, ואחרי עשרים הוא גדול מהקרן המקורית.

למה 1.0531.05^3 ולא 1000⋅0.05⋅31000 \cdot 0.05 \cdot 3?

להציג את התשובה והפתרון

כי בשנה השנייה האחוז נלקח מ-10501050, לא מ-10001000. הריבית עצמה מתחילה לשאת ריבית — וזה בדיוק מה ש«דריבית» אומר.

מתי מכפילים את הכסף

שאלה נפוצה: אחרי כמה שנים הסכום מוכפל? פותרים (1+r)n=2\left(1+r\right)^n = 2, ובחמש יחידות עושים זאת בלוגריתם.

1.05n=21.05^n = 2

התנאי — הסכום כפול מהמקורי.

n=log⁡2log⁡1.05≈14.2n = \frac{\log 2}{\log 1.05} \approx 14.2

כלומר בערך ארבע-עשרה שנים ורבע.

אם הריבית 10%10\% במקום 5%5\% — האם הזמן להכפלה נחתך בדיוק לחצי?

להציג את התשובה והפתרון

לא. log⁡2log⁡1.1≈7.3\frac{\log 2}{\log 1.1} \approx 7.3 שנים, ולא 7.17.1. הקשר אינו יחס ישר — הוא לוגריתמי. זו טעות אינטואיטיבית נפוצה.

שתי הטעויות של הגדילה המעריכית.

P=1000⋅1.53P = 1000 \cdot 1.5^3
P=1000⋅1.053P = 1000 \cdot 1.05^3

5%5\% הם 0.050.05, ולכן המכפיל 1.051.05. עם 1.51.5 מקבלים גדילה של חמישים אחוז בשנה.

P=P0+P0rnP = P_0 + P_0 r n
P=P0(1+r)nP = P_0 (1+r)^n

זו ריבית פשוטה, לא דריבית. היא נכונה רק כשהריבית אינה נצברת — ובבגרות זה נאמר במפורש.

תרגילים

תרגיל 1

1000 ש״ח בריבית שנתית 5%5\%. כמה יהיה אחרי 3 שנים? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1157.63

הפתרון:

1000⋅1.0531000 \cdot 1.05^3
≈1157.63\approx 1157.63

בריבית פשוטה היה 11501150 — ההפרש הוא הריבית שנשאה ריבית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו המכפיל השנתי בגדילה של 8%8\%?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.08

הפתרון:

1+0.081 + 0.08

האחוז כשבר

=1.08= 1.08

לא 88 ולא 1.81.8. האחוז נכתב כשבר עשרוני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

2000 ש״ח בריבית 8%8\% לשנה. כמה אחרי 5 שנים? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2938.66

הפתרון:

2000⋅1.0852000 \cdot 1.08^5
≈2938.66\approx 2938.66

כמעט פי 1.51.5 — בחמש שנים בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו המכפיל השנתי בירידה של 15%15\%?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.85

הפתרון:

1−0.151 - 0.15

ירידה — מחסרים

=0.85= 0.85

בדעיכה המכפיל קטן מ-1. אותה נוסחה בדיוק, עם מינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מכונית שווה 20000 ומאבדת 15%15\% מערכה בכל שנה. כמה תהיה שווה אחרי 3 שנים? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12282.5

הפתרון:

20000⋅0.85320000 \cdot 0.85^3
=12282.5= 12282.5

לא 20000−3⋅3000=1100020000 - 3 \cdot 3000 = 11000: כל שנה מורידה 15%15\% מערך חדש, קטן יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

אוכלוסייה גדלה ב-3%3\% בשנה. מהי הנוסחה אחרי nn שנים?

  1. P0⋅3nP_0 \cdot 3^n
  2. P0⋅0.03nP_0 \cdot 0.03^n
  3. P0+0.03nP_0 + 0.03n
  4. P0⋅1.03nP_0 \cdot 1.03^n
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד P0⋅1.03nP_0 \cdot 1.03^n

הפתרון:

P0(1+r)nP_0(1+r)^n
r=0.03r = 0.03

התשובה השנייה היא גדילה קווית — היא מתעלמת מכך שהאחוז נלקח מסכום גדל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

100 ש״ח בגדילה של 10%10\% בשנה. כמה אחרי שנה אחת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 110

הפתרון:

100⋅1.1=110100 \cdot 1.1 = 110

בשנה הראשונה זה בדיוק כמו להוסיף 10. ההבדל מתחיל בשנה השנייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

100 ש״ח בגדילה של 10%10\% בשנה. כמה אחרי שנתיים? (שתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 121

הפתרון:

100⋅1.12=121100 \cdot 1.1^2 = 121

בגדילה קווית היה 120120. השקל הנוסף הוא הריבית על הריבית — וממנו הכול מתחיל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מה ההבדל בין ריבית פשוטה לריבית דריבית?

  1. בדריבית האחוז נלקח מסכום שכבר גדל
  2. פשוטה מתאימה רק לסכומים קטנים
  3. אין הבדל אחרי שנה
  4. בדריבית האחוז גבוה יותר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א בדריבית האחוז נלקח מסכום שכבר גדל

הפתרון:

P0(1+r)n מול P0(1+rn)P_0(1+r)^n \ \text{מול} \ P_0(1+rn)

« אין הבדל אחרי שנה » נכון רק לשנה הראשונה — וזו בדיוק המלכודת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חומר רדיואקטיבי, 80 גרם, זמן מחצית חיים 6 שעות. כמה נשאר אחרי 18 שעות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

18:6=318 : 6 = 3

שלוש מחציות חיים

80⋅(12)380 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^3
=10= 10

גרם

סופרים כמה מחציות עברו, ולא כמה שעות. שלוש מחציות — חלקי שמונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

אחרי כמה שנים יוכפל סכום בריבית 5%5\%? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14.21

הפתרון:

1.05n=21.05^n = 2

התנאי

n=log⁡2log⁡1.05n = \frac{\log 2}{\log 1.05}

לוגריתם משני האגפים

≈14.21\approx 14.21

שנים

בערך ארבע-עשרה שנה ורבע — בלי תלות בסכום ההתחלתי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

סכום P0P_0 גדל ב-rr בכל תקופה. הוכיחו: אחרי nn תקופות הסכום הוא P0(1+r)nP_0(1+r)^n.

  • בכל תקופה הסכום גדל בשיעור rr מערכו הנוכחי
  • הסכום ההתחלתי הוא P0P_0

Pn=P0(1+r)nP_n = P_0(1+r)^n

להציג את התשובה והפתרון
  1. P1=P0+P0rP_1 = P_0 + P_0 r — מוסיפים rr מהסכום הנוכחי P0P_0
  2. P1=P0(1+r)P_1 = P_0(1+r) — הוצאת P0P_0 כגורם משותף
  3. P2=P1(1+r)P_2 = P_1(1+r) — אותו כלל, הפעם על P1P_1
  4. P2=P0(1+r)2P_2 = P_0(1+r)^2 — הצבת P1P_1
  5. כל תקופה מכפילה ב-(1+r)(1+r) בדיוק — הכלל זהה בכל שלב, ואינו תלוי בסכום
  6. Pn=P0(1+r)nP_n = P_0(1+r)^n — nn תקופות, כל אחת מכפילה ב-(1+r)(1+r)
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת