סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בינוניות על כל הפרק: אחוז מתוך שני ערכים, כמה צעדים אחורה בזמן, «מתי לראשונה» בגדילה ובדעיכה, השוואה בין שתי כמויות, ושינוי כולל על פני כמה שנים. כל שאלה דורשת שניים או שלושה צעדים.

כשנתונים שני ערכים בהפרש של nn שנים: מחלקים את המאוחר במוקדם, ומוציאים שורש מסדר nn. ב«מתי לראשונה» כותבים שתי שורות בטבלת הניסוי.

תרגילים

תרגיל 1

מספר המשתמשים באפליקציה גדל בשנתיים מ-64006400 ל-77447744, באותו אחוז בכל שנה. בכמה אחוזים גדל מספר המשתמשים בכל שנה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

6400⋅q2=77446400 \cdot q^2 = 7744

שתי שנים

q2=1.21 ⇒ q=1.1\begin{aligned}q^2 &= 1.21 \ \Rightarrow \ q \\ &= 1.1\end{aligned}

שורש

p=10p = 10

האחוז

הגדילה היא 10%10\% בשנה. הגדילה הכוללת היא 21%21\%, ולא 20%20\%, כי בשנה השנייה האחוז נלקח מ-70407040.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

סכום בקרן השתלמות גדל ב-10%10\% בכל שנה. היום יש בקרן 1331013310 ש״ח. כמה ש״ח היו בקרן לפני 33 שנים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10000

הפתרון:

A⋅1.13=13310A \cdot 1.1^3 = 13310

שלוש שנים קדימה מהסכום הלא ידוע

A=13310:1.331=10000\begin{aligned}A &= 13310 : 1.331 \\ &= 10000\end{aligned}

מחלקים

לפני 33 שנים היו 1000010000 ש״ח. מי שמוריד 30%30\% מ-1331013310 מקבל 93179317: זו טעות כפולה, גם קווית וגם בכיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ערך של רכב הוא 5000050000 ש״ח, והוא יורד ב-10%10\% בכל שנה. אחרי כמה שנים שלמות, לראשונה, יהיה ערכו נמוך מ-3000030000 ש״ח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

50000⋅0.9t<30000 ⇒ 0.9t<0.650000 \cdot 0.9^t < 30000 \ \Rightarrow \ 0.9^t < 0.6

מחלקים ב-5000050000

0.94≈0.6560.95≈0.5900.9^4 \approx 0.656 \qquad 0.9^5 \approx 0.590

ניסוי

אחרי 55 שנים. בדעיכה סימן אי-השוויון הוא <<: מחפשים את הפעם הראשונה שיורדים מתחת לסף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במעבדה שתי תרביות. בתרבית א יש 10001000 חיידקים, ומספרם גדל ב-20%20\% בכל שעה. בתרבית ב יש 20002000 חיידקים, ומספרם קטן ב-10%10\% בכל שעה. אחרי כמה שעות שלמות, לראשונה, יהיו בתרבית א יותר חיידקים מבתרבית ב?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

t=2: 1000⋅1.22=1440 2000⋅0.92=1620\begin{aligned}t &= 2: \ 1000 \cdot 1.2^2 \\ &= 1440 \ \\ \quad 2000 \cdot 0.9^2 &= 1620\end{aligned}

עוד לא

t=3: 1000⋅1.23=1728 2000⋅0.93=1458\begin{aligned}t &= 3: \ 1000 \cdot 1.2^3 \\ &= 1728 \ \\ \quad 2000 \cdot 0.9^3 &= 1458\end{aligned}

כבר כן

אחרי 33 שעות. משווים את שתי הכמויות באותו tt, בטבלה של שתי שורות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

כמות גדלה ב-10%10\% בכל שנה, במשך 33 שנים. בכמה אחוזים גדלה בסך הכול?

  1. 133.1%133.1\%
  2. 33.1%33.1\%
  3. 31%31\%
  4. 30%30\%
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 33.1%33.1\%

הפתרון:

1.13=1.3311.1^3 = 1.331

שלושה מכפילים

1.331=1+0.3311.331 = 1 + 0.331

גדילה של 33.1%33.1\%

הנכונה: 33.1%33.1\%. 30%30\% מחבר את האחוזים כאילו הגדילה קווית. 133.1%133.1\% הוא הערך החדש ביחס להתחלה, לא הגדילה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ערכה של מניה ירד בשלוש שנים מ-2000020000 ש״ח ל-17147.517147.5 ש״ח, באותו אחוז בכל שנה. בכמה אחוזים ירד ערכה בכל שנה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

q3=17147.520000=0.857375\begin{aligned}q^3 &= \frac{17147.5}{20000} \\ &= 0.857375\end{aligned}

שלוש שנים

q=0.95q = 0.95

שורש שלישי: 0.953=0.8573750.95^3 = 0.857375

p=100−95=5\begin{aligned}p &= 100 - 95 \\ &= 5\end{aligned}

האחוז

הירידה היא 5%5\% בשנה. בשלוש שנים מוציאים שורש שלישי, לא שורש ריבועי ולא חילוק ב-33.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

דנה חישבה כמה יהיו בחשבון אחרי 33 שנים, אם מפקידים 50005000 ש״ח בריבית דריבית של 4%4\% לשנה. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

q=1+4100=1.04\begin{aligned}q &= 1 + \frac{4}{100} \\ &= 1.04\end{aligned}
A3=5000+3⋅200=5600\begin{aligned}A_3 &= 5000 + 3 \cdot 200 \\ &= 5600\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: A3=5000+3⋅200=5600A_3 = 5000 + 3 \cdot 200 = 5600 → A3=5000⋅1.043≈5624.32A_3 = 5000 \cdot 1.04^3 \approx 5624.32

הפתרון:

q=1.04q = 1.04

המכפיל נכון

A3=5000⋅1.043≈5624.32A_3 = 5000 \cdot 1.04^3 \approx 5624.32

שלוש פעמים באותו מכפיל

דנה חישבה ריבית פשוטה: 200200 ש״ח בכל שנה. בריבית דריבית הריבית נלקחת כל שנה מסכום גדל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בשנת 2018 גרו בעיר 4000040000 תושבים, ובשנת 2020 גרו בה 4410044100 תושבים. מספר התושבים גדל באותו אחוז בכל שנה. כמה תושבים יגורו בעיר בשנת 2023? עגלו למספר שלם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 51051

הפתרון:

q2=4410040000=1.1025 ⇒ q=1.05\begin{aligned}q^2 &= \frac{44100}{40000} \\ &= 1.1025 \ \Rightarrow \ q \\ &= 1.05\end{aligned}

שתי שנים בין 2018 ל-2020

44100⋅1.053≈51051.2644100 \cdot 1.05^3 \approx 51051.26

שלוש שנים מ-2020

כ-5105151051 תושבים. את השנים סופרים מ-2020, מהערך האחרון הידוע. מ-2018 צריך 40000⋅1.05540000 \cdot 1.05^5, וזה אותו מספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשרד יש מספר גדל של מחשבים. בשנת 2021 היו 32003200 מחשבים, ובשנת 2023 היו 50005000. המספר גדל באותו אחוז בכל שנה. השלימו.

אחוז הגדילה השנתי: ____ % ; מספר המחשבים בשנת 2022: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אחוז הגדילה השנתי: 25 % ; מספר המחשבים בשנת 2022: 4000

הפתרון:

q2=50003200=1.5625 ⇒ q=1.25\begin{aligned}q^2 &= \frac{5000}{3200} \\ &= 1.5625 \ \Rightarrow \ q \\ &= 1.25\end{aligned}

שתי שנים

3200⋅1.25=40003200 \cdot 1.25 = 4000

שנה אחת מ-2021

4000⋅1.25=5000 ✓4000 \cdot 1.25 = 5000 \ \checkmark

בדיקה

שנת 2022 היא לא הממוצע של 32003200 ו-50005000 (41004100). במודל מעריכי מגיעים לאמצע ביחס, לא בהפרש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

טענה: ירידה של 20%20\% בכל שנה, במשך שנתיים, היא ירידה של 40%40\% בסך הכול.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

0.82=0.640.8^2 = 0.64

שני מכפילים

1−0.64=0.361 - 0.64 = 0.36

ירידה של 36%36\%

הטענה לא נכונה. הירידה הכוללת היא 36%36\%. בשנה השנייה ה-20%20\% נלקחים מערך קטן יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת