קווי מול מעריכי · מודלים קוויים ומעריכיים · כיתה י״א

בשנת המדידה הראשונה גרו $10000$ תושבים בכל אחת משתי ערים. עיר א גדלה ב- $600$ תושבים בכל שנה. עיר ב גדלה ב- $5\%$ בכל שנה. הסתכלו על הגרף: איזה קו ישר, ואיזה מתעקל?

שתי ערים, שתי דרכים לגדול

עיר א: ועוד 600 בכל שנה
עיר ב: ועוד 5% בכל שנה

בשנים הראשונות הקו של עיר א מעל:

600

תושבים בשנה הם יותר מ-

5\%

של

10000

. אבל הקו של עיר ב מתעקל כלפי מעלה, ובסוף עוקף.

איזו עיר גדלה יותר בשנה הראשונה? ואיזו גדלה יותר בשנה ה- $12$ ?

להציג את התשובה והפתרון

בשנה הראשונה עיר א: $600$ מול $500$ ( $5\%$ מ- $10000$ ). בשנה ה- $12$ עיר ב: היא מוסיפה $5\%$ מכ- $17100$ תושבים, כלומר כ- $855$ . התוספת של המודל הקווי קבועה; התוספת של המודל המעריכי גדלה.

שני המודלים בנוסחה

y = b + m \cdot t

קווי: מוסיפים את אותו סכום $m$ בכל תקופה. ההפרש בין ערכים סמוכים קבוע.

A_t = A_0 \cdot q^t

מעריכי: כופלים באותו מספר $q$ בכל תקופה. היחס בין ערכים סמוכים קבוע.

q = \frac{100 + p}{100}

גדילה של $p\%$ . למשל $5\%$ : $q=1.05$ .

q = \frac{100 - p}{100}

דעיכה של $p\%$ . למשל $15\%$ : $q=0.85$ .

איך מזהים מתוך טבלה

שני מודלים, אותה התחלה

t	0	1	2	3
מודל א	800	840	880	920
מודל ב	800	840	882	926.1

במודל א ההפרשים קבועים: $+40$ , $+40$ , $+40$ . זה מודל קווי עם $m=40$ . במודל ב ההפרשים גדלים ( $40$ , $42$ , $44.1$ ), אבל היחס קבוע: $\frac{840}{800}=\frac{882}{840}=1.05$ . זה מודל מעריכי עם $q=1.05$ .

מה יהיה הערך של כל מודל ב- $t=4$ ?

להציג את התשובה והפתרון

מודל א: $920+40=960$ . מודל ב: $926.1 \cdot 1.05 \approx 972.41$ . בהתחלה הם צמודים, ואחרי ארבע תקופות המעריכי כבר מוביל.

לפי המחוון: באיזו שנה הכתום מוביל לראשונה? ובכמה?

להציג את התשובה והפתרון

בשנה $2$ : הכחול $120$ , הכתום $100 \cdot 1.1^2=121$ . בשנה $1$ שניהם $110$ . כששני המודלים מתחילים באותו מקום ו- $m$ שווה לאחוז של ההתחלה, המעריכי עוקף מיד.

מתי עיר ב עוקפת?

באיזו שנה לראשונה יהיו בעיר ב יותר תושבים מאשר בעיר א? בשלוש יחידות פותרים בטבלה: מציבים שנים ברצף.

\begin{aligned}A &= 10000 + 600t \qquad B \\ &= 10000 \cdot 1.05^t\end{aligned}

שני הביטויים

t = 8: \ 14800 \ \text{vs} \ 14774.6

עיר א עדיין גדולה יותר

t = 9: \ 15400 \ \text{vs} \ 15513.3

עיר ב גדולה יותר

t = 9

מסקנה: בשנה התשיעית עיר ב עוקפת את עיר א לראשונה

בטבלת ניסוי וטעייה כותבים שתי שורות: השנה שבה עוד לא עקף, והשנה שבה עקף. שתיהן יחד הן ההוכחה שזו השנה הראשונה.

שלוש הטעויות של קווי מול מעריכי.

q = 1.5

q = 1.05

$5\%$ הם $\frac{5}{100}=0.05$ . עם $q=1.5$ מקבלים גדילה של $50\%$ בכל שנה.

10000 + 500t

10000 \cdot 1.05^t

$5\%$ מ- $10000$ הם $500$ רק בשנה הראשונה. בשנה השנייה האחוז נלקח מסכום שכבר גדל.

q = 0.15

q = 0.85

ירידה של $15\%$ משאירה $85\%$ . עם $q=0.15$ הערך נופל ל- $15\%$ ממנו בשנה אחת.

תרגילים

תרגיל 1

מיינו: מודל קווי או מודל מעריכי?

קווי
מעריכי

$50, \ 60, \ 70, \ 80$
$50, \ 60, \ 72, \ 86.4$
חיידקים שמספרם מוכפל בכל שעה
מחיר כרטיס שעולה ב-3 ש״ח בכל שנה
מיכל שמתרוקן 4 ליטר בכל דקה
ערך רכב שיורד ב-12% בכל שנה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מחיר כרטיס שעולה ב-3 ש״ח בכל שנה — קווי · $50, \ 60, \ 70, \ 80$ — קווי · מיכל שמתרוקן 4 ליטר בכל דקה — קווי · ערך רכב שיורד ב-12% בכל שנה — מעריכי · $50, \ 60, \ 72, \ 86.4$ — מעריכי · חיידקים שמספרם מוכפל בכל שעה — מעריכי

הפתרון:

\begin{aligned}60 - 50 &= 70 - 60 \\ &= 10\end{aligned}

הפרש קבוע: קווי

\begin{aligned}\frac{60}{50} &= \frac{72}{60} \\ &= 1.2\end{aligned}

יחס קבוע: מעריכי

שתי הסדרות מתחילות ב- $50, 60$ . רק הצעד השלישי מכריע: $70$ הוא הוספה של $10$ , $72$ הוא כפל ב- $1.2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמות גדלה לפי הטבלה: $500$ , $550$ , $605$ , $665.5$ . בכמה אחוזים היא גדלה בכל תקופה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{550}{500} &= \frac{605}{550} \\ &= 1.1\end{aligned}

היחס קבוע

\begin{aligned}q &= 1.1 \ \Rightarrow \ p \\ &= 10\end{aligned}

q = 1 + p/100

הכמות גדלה ב- $10\%$ בכל תקופה. ההפרשים ( $50$ , $55$ , $60.5$ ) אינם קבועים, ולכן זה לא מודל קווי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

לעובדת מציעים שתי תוכניות שכר. בשתיהן השכר החודשי היום הוא $8000$ ש״ח. תוכנית א: השכר עולה ב- $400$ ש״ח בכל שנה. תוכנית ב: השכר עולה ב- $4\%$ בכל שנה. מה יהיה השכר לפי תוכנית ב אחרי $3$ שנים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8998.91

הפתרון:

8000 \cdot 1.04^3

q = 1.04, שלוש שנים

= 8000 \cdot 1.124864 = 8998.912

חישוב

השכר יהיה $8998.91$ ש״ח. תוכנית א נותנת באותה שנה $9200$ : בשנים הראשונות המודל הקווי מוביל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לעובדת מציעים שתי תוכניות שכר. בשתיהן השכר החודשי היום הוא $8000$ ש״ח. תוכנית א: השכר עולה ב- $400$ ש״ח בכל שנה. תוכנית ב: השכר עולה ב- $4\%$ בכל שנה. איזה ביטוי מתאר את השכר $y$ לפי תוכנית ב אחרי $t$ שנים?

$y = 8000 \cdot 1.04^t$
$y = 8000 + 1.04t$
$y = 8000 \cdot 0.04^t$
$y = 8000 \cdot 1.4^t$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $y = 8000 \cdot 1.04^t$

הפתרון:

\begin{aligned}q &= \frac{100 + 4}{100} \\ &= 1.04\end{aligned}

גדילה של 4%

y = 8000 \cdot 1.04^t

מודל מעריכי

הנכונה: $8000 \cdot 1.04^t$ . $1.4$ הוא $40\%$ . $0.04^t$ מכווץ את השכר כמעט לאפס. ו- $8000+1.04t$ מוסיף פחות משקל בשנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לעובדת מציעים שתי תוכניות שכר. בשתיהן השכר החודשי היום הוא $8000$ ש״ח. תוכנית א: השכר עולה ב- $400$ ש״ח בכל שנה. תוכנית ב: השכר עולה ב- $4\%$ בכל שנה. מאיזו שנה ( $t$ שלם) השכר לפי תוכנית ב גבוה יותר מהשכר לפי תוכנית א?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

t = 11: \ 12400 \ \text{vs} \ 12315.6

תוכנית א עדיין גבוהה יותר

t = 12: \ 12800 \ \text{vs} \ 12808.3

תוכנית ב גבוהה יותר

משנה $12$ . ההפרש ב- $t=12$ קטן מאוד (כ- $8$ ש״ח), ולכן חייבים לחשב בדיוק ולא «בערך». שתי שורות בטבלה מוכיחות שזו השנה הראשונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

לעובדת מציעים שתי תוכניות שכר. בשתיהן השכר החודשי היום הוא $8000$ ש״ח. תוכנית א: השכר עולה ב- $400$ ש״ח בכל שנה. תוכנית ב: השכר עולה ב- $4\%$ בכל שנה. טענה: אחרי שנה אחת השכר לפי תוכנית א גבוה יותר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

8000 + 400 = 8400

תוכנית א

8000 \cdot 1.04 = 8320

תוכנית ב

הטענה נכונה: $8400>8320$ . $4\%$ מ- $8000$ הם $320$ בלבד, פחות מ- $400$ . היתרון של המודל המעריכי מגיע רק אחרי שנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מכונית חדשה עולה $60000$ ש״ח. לפי מודל א ערכה יורד ב- $6000$ ש״ח בכל שנה. לפי מודל ב ערכה יורד ב- $15\%$ בכל שנה. לפי מודל ב, כמה תהיה שווה המכונית אחרי $2$ שנים (בש״ח)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 43350

הפתרון:

\begin{aligned}q &= \frac{100 - 15}{100} \\ &= 0.85\end{aligned}

ירידה של 15%

60000 \cdot 0.85^2 = 43350

שתי שנים

המכונית תהיה שווה $43350$ ש״ח. מי שחישב $60000-2 \cdot 9000=42000$ הוריד $15\%$ מהמחיר המקורי פעמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מכונית חדשה עולה $60000$ ש״ח. לפי מודל א ערכה יורד ב- $6000$ ש״ח בכל שנה. לפי מודל ב ערכה יורד ב- $15\%$ בכל שנה. לפי מודל א, אחרי כמה שנים ערך המכונית יהיה $0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

60000 - 6000t = 0

משווים לאפס

t = 10

פותרים

לפי מודל א, אחרי $10$ שנים המכונית שווה $0$ . מודל קווי יורד מגיע לאפס; לכן הוא מתאים רק לתקופה מוגבלת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מכונית חדשה עולה $60000$ ש״ח. לפי מודל א ערכה יורד ב- $6000$ ש״ח בכל שנה. לפי מודל ב ערכה יורד ב- $15\%$ בכל שנה. טענה: לפי מודל ב, ערך המכונית לעולם לא יגיע ל- $0$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

60000 \cdot 0.85^t > 0

כפל של מספרים חיוביים

60000 \cdot 0.85^{10} \approx 11812

גם אחרי 10 שנים

הטענה נכונה. בכל שנה נשארים $85\%$ ממה שהיה, ו- $85\%$ ממספר חיובי הוא חיובי. הערך מתקרב לאפס, אבל לא מגיע אליו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

קרן השקעות עלתה מ- $40000$ ש״ח ל- $48400$ ש״ח ב- $2$ שנים, באותו אחוז בכל שנה. מהו אחוז הגדילה השנתי?

$11\%$
$21\%$
$4.2\%$
$10\%$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $10\%$

הפתרון:

40000 \cdot q^2 = 48400

מודל מעריכי, שתי שנים

\begin{aligned}q^2 &= 1.21 \ \Rightarrow \ q \\ &= \sqrt{1.21} \\ &= 1.1\end{aligned}

שורש

p = 10

q = 1.1

הנכונה: $10\%$ . $21\%$ היא הגדילה של שתי השנים יחד. אחוזים לא מחלקים ומחברים: $1.1 \cdot 1.1 = 1.21$ , ולכן הכפל של שנה אחת הוא השורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שני המודלים בנוסחה

איך מזהים מתוך טבלה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev