פותרים יחד · מודלים קוויים ומעריכיים · כיתה י״א

ארבע שאלות בנוסח שאלת הפונקציות בבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: שתי הצעות ונקודת השוויון, שלושה ישרים והתאמה, מודל קווי מול מודל מעריכי, וכמות שיורדת מול כמות שעולה. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. ובסוף כל סעיף, כתבו את משפט המסקנה: בבגרות הוא חלק מהניקוד.

1 — שתי הצעות ונקודת השוויון

פעילות אינטראקטיבית

מתנ״ס מציע שתי אפשרויות לחוג ציור. אפשרות א: $45$ ש״ח לכל שיעור, בלי דמי רישום. אפשרות ב: דמי רישום של $180$ ש״ח, ועוד $25$ ש״ח לכל שיעור. א. כמה עולים $6$ שיעורים בכל אפשרות? ב. כתבו ביטוי למחיר $y$ של $x$ שיעורים בכל אפשרות. ג. באיזה מספר שיעורים המחיר שווה? ד. דנה מתכננת $12$ שיעורים. איזו אפשרות כדאית לה, ובכמה היא חוסכת?

\begin{aligned}y_A &= 45x \qquad y_B \\ &= 180 + 25x\end{aligned}

לחצו «להתחיל». סעיף א הוא חימום: הוא בודק שהבנתם את הסיפור לפני שכותבים ביטוי.

א.

\begin{aligned}45 \cdot 6 &= 270 \qquad 180 + 25 \cdot 6 \\ &= 330\end{aligned}

ב-6 שיעורים אפשרות א זולה יותר.

ב.

\begin{aligned}y &= 45x \qquad y \\ &= 180 + 25x\end{aligned}

דמי הרישום הם הערך ההתחלתי; המחיר לשיעור הוא השיפוע.

ג. משווים

\begin{aligned}45x &= 180 + 25x \ \Rightarrow \ 20x \\ &= 180 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

נקודת השוויון.

ג. מחיר

\begin{aligned}45 \cdot 9 &= 405 \\ &= 180 + 25 \cdot 9\end{aligned}

ב-9 שיעורים שתי האפשרויות עולות 405 ש״ח.

ד.

\begin{aligned}45 \cdot 12 &= 540 \qquad 180 + 25 \cdot 12 \\ &= 480\end{aligned}

12 שיעורים: אפשרות ב זולה יותר.

ד. מסקנה

540 - 480 = 60

דנה תבחר באפשרות ב ותחסוך 60 ש״ח.

סעיף ד נפתר גם בלי חישוב: $12>9$ , ואחרי נקודת השוויון משתלמת האפשרות עם המחיר הקטן לשיעור. החישוב נדרש בשביל כמה חוסכים.

לעשות את הפעילות ב-elev

בשנה הבאה המחיר לשיעור באפשרות ב יעלה ל- $30$ ש״ח. נקודת השוויון תתקרב או תתרחק?

להציג את התשובה והפתרון

תתרחק: $45x=180+30x$ נותן $x=12$ . ההפרש בין המחירים לשיעור קטן, ולכן צריך יותר שיעורים כדי «להחזיר» את דמי הרישום. ב- $12$ שיעורים דנה כבר לא תחסוך.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה. שאלה 5 מוסיפה לה סעיף של סכום כולל.

2 — שלוש הצעות: מתי האמצעית היא הזולה?

פעילות אינטראקטיבית

שלוש הצעות להדפסת חוברות

מכון העתקות מציע שלוש הצעות להדפסת $x$ חוברות. I: $y=4x$ . II: $y=60+2x$ . III: $y=150+x$ . לאילו מספרי חוברות הצעה II היא הזולה ביותר?

$30 < x < 90$

$x > 30$

$x < 90$

$30 < x < 150$

מה משווים קודם?

את II עם I, ואחר כך את II עם III

להציג את התשובה והפתרון

הצעה II צריכה להיות זולה משתי האחרות: שני תנאים.

את I עם III

להציג את התשובה והפתרון

ההשוואה הזאת לא אומרת דבר על הצעה II.

60 + 2x < 4x \ \Rightarrow \ 60 < 2x \ \Rightarrow \ x > 30

II זולה מ-I כשמדפיסים יותר מ-30 חוברות.

ומתי II זולה מ-III?

$60+2x<150+x$ , כלומר $x<90$

להציג את התשובה והפתרון

למעלה מ-90 חוברות הצעה III, עם המחיר הקטן לחוברת, זולה יותר.

$60+2x>150+x$ , כלומר $x>90$

להציג את התשובה והפתרון

זה התנאי ש-II יקרה מ-III.

60 + 2x < 150 + x \ \Rightarrow \ x < 90

II זולה מ-III עד 90 חוברות.

איך מחברים את שני התנאים?

שניהם יחד: $30<x<90$

להציג את התשובה והפתרון

«הזולה ביותר» פירושו זולה מ-I וגם מ-III.

לוקחים רק את $x>30$

להציג את התשובה והפתרון

ב-100 חוברות הצעה II עולה 260 והצעה III עולה 250.

30 < x < 90

בדיקה ב-x=50: I עולה 200, II עולה 160, III עולה 200 ✓

להציג את התשובה והפתרון

$30<x<90$ . במילים: כשמדפיסים יותר מ- $30$ ופחות מ- $90$ חוברות, הצעה II היא הזולה ביותר. ב- $x=30$ וב- $x=90$ היא שווה לאחת האחרות, ולכן הקצוות לא נכללים.

לעשות את הפעילות ב-elev

ואיזו הצעה היא הזולה ביותר ל- $20$ חוברות?

להציג את התשובה והפתרון

הצעה I: $80$ ש״ח, מול $100$ ב-II ו- $170$ ב-III. בכמות קטנה משתלמת ההצעה בלי תשלום קבוע.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — מודל קווי מול מודל מעריכי

פעילות אינטראקטיבית

לשני אתרים יש היום $5000$ מנויים כל אחד. באתר א מספר המנויים עולה ב- $400$ בכל חודש. באתר ב מספר המנויים עולה ב- $6\%$ בכל חודש. א. כמה מנויים יהיו בכל אתר אחרי $3$ חודשים? ב. כתבו ביטוי למספר המנויים בכל אתר אחרי $t$ חודשים. ג. באיזה חודש לראשונה יהיו באתר ב יותר מנויים?

\begin{aligned}y_A &= 5000 + 400t \qquad y_B \\ &= 5000 \cdot 1.06^t\end{aligned}

לחצו «להתחיל». המודל של כל אתר נקבע במשפט אחד: «עולה ב-400» מוסיף, «עולה ב-6%» כופל.

א. אתר א

5000 + 400 \cdot 3 = 6200

מוסיפים 400 שלוש פעמים.

א. אתר ב

5000 \cdot 1.06^3 \approx 5955

כופלים ב-1.06 שלוש פעמים. מעגלים למספר שלם: מנויים.

ב.

\begin{aligned}y_A &= 5000 + 400t \qquad y_B \\ &= 5000 \cdot 1.06^t\end{aligned}

קווי ומעריכי.

ג. ניסוי

t = 10: \ 9000 \ \text{vs} \ 8954

בחודש 10 אתר א עדיין מוביל.

ג. ניסוי

t = 11: \ 9400 \ \text{vs} \ 9492

בחודש 11 אתר ב מוביל.

ג. מסקנה

t = 11

בחודש ה-11 יהיו לראשונה באתר ב יותר מנויים.

שתי שורות הניסוי, $t=10$ ו- $t=11$ , הן ההוכחה שחודש $11$ הוא הראשון. שורה אחת בלבד לא מספיקה.

לעשות את הפעילות ב-elev

$6\%$ מ- $5000$ הם $300$ , פחות מ- $400$ . אז איך אתר ב עוקף בכלל?

להציג את התשובה והפתרון

כי ה- $6\%$ נלקחים כל חודש ממספר גדול יותר. אחרי $10$ חודשים הם כבר כ- $537$ מנויים בחודש, יותר מ- $400$ . התוספת של המודל המעריכי גדלה; של הקווי קבועה.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — כמות שיורדת מול כמות שעולה

פעילות אינטראקטיבית

בקופה א של ועד הכיתה יש $1200$ ש״ח, ובכל שבוע מוציאים ממנה $80$ ש״ח. בקופה ב יש $300$ ש״ח, ובכל שבוע מכניסים אליה $70$ ש״ח. א. כתבו ביטוי לסכום בכל קופה אחרי $x$ שבועות. ב. אחרי כמה שבועות יהיה סכום שווה בשתי הקופות, ומהו? ג. אחרי כמה שבועות תתרוקן קופה א?

\begin{aligned}y_A &= 1200 - 80x \qquad y_B \\ &= 300 + 70x\end{aligned}

לחצו «להתחיל». מוציאים — השיפוע שלילי. מכניסים — חיובי.

א.

\begin{aligned}y_A &= 1200 - 80x \qquad y_B \\ &= 300 + 70x\end{aligned}

קופה א יורדת, קופה ב עולה.

ב. משווים

\begin{aligned}1200 - 80x &= 300 + 70x \ \Rightarrow \ 900 \\ &= 150x \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

מעבירים x לאגף אחד ומספרים לשני.

ב. סכום

\begin{aligned}1200 - 80 \cdot 6 &= 720 \\ &= 300 + 70 \cdot 6\end{aligned}

אחרי 6 שבועות בכל קופה 720 ש״ח.

ג.

\begin{aligned}1200 - 80x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 15\end{aligned}

קופה א תתרוקן אחרי 15 שבועות.

בשבוע $6$ הקופות מתחלפות: לפניו בקופה א יותר, אחריו בקופה ב. ההפרש קטן ב- $80+70=150$ ש״ח בכל שבוע, ולכן $900:150=6$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

כמה כסף יהיה בקופה ב בשבוע שבו קופה א מתרוקנת?

להציג את התשובה והפתרון

$1350$ ש״ח: $300+70 \cdot 15=1350$ . אחרי השבוע ה- $15$ הביטוי של קופה א נותן מספר שלילי, ולכן הוא כבר לא מתאר את הקופה.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

בבריכה שתי אפשרויות. א: $35$ ש״ח לכל כניסה. ב: מנוי של $150$ ש״ח, ועוד $20$ ש״ח לכל כניסה. השלימו.

המחיר שווה ב-____ כניסות , המחיר אז: ____ ש״ח , ב-15 כניסות אפשרות ב חוסכת ____ ש״ח

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המחיר שווה ב-10 כניסות , המחיר אז: 350 ש״ח , ב-15 כניסות אפשרות ב חוסכת 75 ש״ח

הפתרון:

\begin{aligned}35x &= 150 + 20x \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

נקודת השוויון

35 \cdot 10 = 350

המחיר

\begin{aligned}35 \cdot 15 &= 525 \qquad 150 + 20 \cdot 15 \\ &= 450\end{aligned}

15 כניסות

525 - 450 = 75

החיסכון

מסקנה: ביותר מ- $10$ כניסות אפשרות ב משתלמת, וב- $15$ כניסות היא חוסכת $75$ ש״ח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מדפסת תלת-ממד בספרייה מציעה שלוש הצעות להדפסת $x$ חלקים. I: $y=5x$ . II: $y=40+3x$ . III: $y=100+2x$ . לאילו מספרי חלקים הצעה II היא הזולה ביותר?

$20 < x < 60$
$20 < x < 100$
$x > 20$
$x < 60$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $20 < x < 60$

הפתרון:

40 + 3x < 5x \ \Rightarrow \ x > 20

II זולה מ-I

40 + 3x < 100 + 2x \ \Rightarrow \ x < 60

II זולה מ-III

20 < x < 60

שני התנאים יחד

הנכונה: $20<x<60$ . « $x>20$ » שוכחת את הצעה III: ב- $70$ חלקים II עולה $250$ ו-III עולה $240$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בחנות א יש היום $2000$ מבקרים בחודש, והמספר עולה ב- $200$ בכל חודש. בחנות ב יש היום $2000$ מבקרים בחודש, והמספר עולה ב- $8\%$ בכל חודש. באיזה חודש ( $t$ שלם) לראשונה יהיו בחנות ב יותר מבקרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

2000 + 200t \qquad 2000 \cdot 1.08^t

שני המודלים

t = 6: \ 3200 \ \text{vs} \ 3173.7

חנות א עדיין מובילה

t = 7: \ 3400 \ \text{vs} \ 3427.6

חנות ב מובילה

בחודש $7$ . שתי שורות, חודש $6$ וחודש $7$ , מוכיחות שזה החודש הראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במיכל א יש $900$ ליטר מים, והוא מתרוקן ב- $30$ ליטר בכל שעה. במיכל ב יש $150$ ליטר, והוא מתמלא ב- $20$ ליטר בכל שעה. השלימו.

הכמות שווה אחרי ____ שעות , בכל מיכל אז: ____ ליטר

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הכמות שווה אחרי 15 שעות , בכל מיכל אז: 450 ליטר

הפתרון:

900 - 30x = 150 + 20x

משווים

\begin{aligned}750 &= 50x \ \Rightarrow \ x \\ &= 15\end{aligned}

פותרים

900 - 450 = 450

הכמות

אחרי $15$ שעות בכל מיכל $450$ ליטר. מי שכתב $900+30x$ שכח שמיכל א מתרוקן, ולא מצא נקודת שוויון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חוג הציור מהשאלה הראשונה: אפשרות א $45x$ , אפשרות ב $180+25x$ . דנה נרשמה לאפשרות א ועמית לאפשרות ב. שתיהן לקחו אותו מספר שיעורים, ויחד שילמו $1160$ ש״ח. כמה שיעורים לקחה כל אחת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

45x + (180 + 25x) = 1160

מחברים את שני החשבונות

\begin{aligned}70x &= 980 \ \Rightarrow \ x \\ &= 14\end{aligned}

פותרים

630 + 530 = 1160

בדיקה

כל אחת לקחה $14$ שיעורים. בסעיף של סכום כולל מחברים את הביטויים, לא משווים ביניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — שתי הצעות ונקודת השוויון

2 — שלוש הצעות: מתי האמצעית היא הזולה?

3 — מודל קווי מול מודל מעריכי

4 — כמות שיורדת מול כמות שעולה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev