סדרה 2 — בינוני · מודלים קוויים ומעריכיים · כיתה י״א

עשר שאלות בדרגה בינונית, מכל חלקי הפרק: נקודת שוויון ומספרים שלמים, קריאת גרף של שני ישרים, תקציב, ומודל קווי מול מעריכי. רוב השאלות דורשות שניים או שלושה צעדים.

בכל שאלת «מאיזה מספר» בדקו שני מספרים שלמים סביב נקודת השוויון. ובכל שאלת תקציב, עגלו כלפי מטה.

תרגילים

תרגיל 1

חבילת טלוויזיה א: $90$ ש״ח לחודש. חבילה ב: $300$ ש״ח דמי חיבור, ועוד $60$ ש״ח לחודש. השלימו.

המחיר הכולל שווה אחרי ____ חודשים , והוא: ____ ש״ח

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המחיר הכולל שווה אחרי 10 חודשים , והוא: 900 ש״ח

הפתרון:

90x = 300 + 60x

משווים

\begin{aligned}30x &= 300 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

פותרים

90 \cdot 10 = 900

המחיר

אחרי $10$ חודשים שתי החבילות עלו $900$ ש״ח. מי שמתכנן להישאר יותר מ- $10$ חודשים — חבילה ב משתלמת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

השכרת רכב א: $200$ ש״ח ליום. השכרה ב: $350$ ש״ח ביטוח חד-פעמי, ועוד $150$ ש״ח ליום. מאיזה מספר ימים שלמים השכרה ב זולה יותר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}200x &= 350 + 150x \ \Rightarrow \ x \\ &= 7\end{aligned}

נקודת השוויון

\begin{aligned}x &= 7: \ 1400 \\ &= 1400\end{aligned}

ב-7 ימים המחיר שווה

x = 8: \ 1600 > 1550

ב-8 ימים ב זולה

השכרה ב זולה יותר מ- $8$ ימים. ב- $7$ ימים המחיר שווה, ולכן $7$ אינו תשובה ל«זולה יותר».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

שתי הצעות לשיעורי גיטרה

הצעה I
הצעה II

בגרף המחיר של שתי הצעות לשיעורי גיטרה, לפי מספר השיעורים. איזו משוואה מתאימה להצעה I?

$y = 50 + 10x$
$y = 100 + 10x$
$y = 50 + 20x$
$y = 20 + 50x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $y = 50 + 20x$

הפתרון:

b = 50

הישר מתחיל ב-50

\begin{aligned}m &= \frac{150 - 50}{5 - 0} \\ &= 20\end{aligned}

עובר דרך (5, 150)

הנכונה: $y=50+20x$ . $y=50+10x$ לוקחת את נקודת ההתחלה הנכונה ואת השיפוע של הישר השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

שתי הצעות לשיעורי גיטרה

הצעה I
הצעה II

בגרף המחיר של שתי הצעות לשיעורי גיטרה, לפי מספר השיעורים. הצעה II היא $y = 100 + 10x$ . כמה עולים $8$ שיעורים בהצעה II?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 180

הפתרון:

100 + 10 \cdot 8 = 180

מציבים x = 8

$8$ שיעורים בהצעה II עולים $180$ ש״ח. בהצעה I הם עולים $210$ : אחרי $5$ שיעורים הצעה II זולה יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שתי הצעות לשיעורי גיטרה

הצעה I
הצעה II

בגרף המחיר של שתי הצעות לשיעורי גיטרה, לפי מספר השיעורים. טענה: למי שלוקח $3$ שיעורים, הצעה I זולה יותר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

50 + 20 \cdot 3 = 110

הצעה I

100 + 10 \cdot 3 = 130

הצעה II

הטענה נכונה: $110<130$ . בגרף: משמאל לנקודה $(5,\,150)$ ישר I נמוך יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

שתי הצעות לשיעורי גיטרה

הצעה I
הצעה II

בגרף המחיר של שתי הצעות לשיעורי גיטרה, לפי מספר השיעורים. לאורי יש $400$ ש״ח, והוא בוחר בהצעה I ( $y=50+20x$ ). כמה שיעורים לכל היותר הוא יכול לקנות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 17

הפתרון:

\begin{aligned}50 + 20x &= 400 \ \Rightarrow \ x \\ &= 17.5\end{aligned}

פותרים

50 + 20 \cdot 17 = 390 \leq 400

17 שיעורים בתקציב

$17$ שיעורים לכל היותר. $18$ שיעורים עולים $410$ ש״ח, יותר מהתקציב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בחיסכון א מפקידים $5000$ ש״ח, והסכום עולה ב- $300$ ש״ח בכל שנה. בחיסכון ב מפקידים $5000$ ש״ח, והסכום עולה ב- $5\%$ בכל שנה. מה ההפרש בין שני החסכונות אחרי $4$ שנים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 122.47

הפתרון:

5000 + 300 \cdot 4 = 6200

חיסכון א

5000 \cdot 1.05^4 \approx 6077.53

חיסכון ב

6200 - 6077.53 = 122.47

ההפרש

ההפרש $122.47$ ש״ח, לטובת חיסכון א. $5\%$ מ- $5000$ הם $250$ , פחות מ- $300$ , ולכן בשנים הראשונות המודל הקווי מוביל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ערכו של טרקטור ירד בשנתיים מ- $50000$ ש״ח ל- $40500$ ש״ח, באותו אחוז בכל שנה. בכמה אחוזים ירד ערכו בכל שנה?

$19\%$
$9.5\%$
$10\%$
$81\%$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $10\%$

הפתרון:

50000 \cdot q^2 = 40500

שתי שנים

\begin{aligned}q^2 &= 0.81 \ \Rightarrow \ q \\ &= 0.9\end{aligned}

שורש

100 - 90 = 10

ירידה של 10%

הנכונה: $10\%$ . $19\%$ היא הירידה של שתי השנים. $81\%$ הוא מה שנשאר אחרי שתי שנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

התאימו לכל מצב את הביטוי שלו ( $t$ — שנים).

רכב שערכו יורד ב-10% בכל שנה
רכב שערכו יורד ב-8000 ש״ח בכל שנה
חיסכון שעולה ב-10% בכל שנה
חיסכון שעולה ב-8000 ש״ח בכל שנה

$y = 80000 - 8000t$
$y = 80000 \cdot 0.9^t$
$y = 80000 \cdot 1.1^t$
$y = 80000 + 8000t$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: רכב שערכו יורד ב-10% בכל שנה — $y = 80000 \cdot 0.9^t$ · רכב שערכו יורד ב-8000 ש״ח בכל שנה — $y = 80000 - 8000t$ · חיסכון שעולה ב-10% בכל שנה — $y = 80000 \cdot 1.1^t$ · חיסכון שעולה ב-8000 ש״ח בכל שנה — $y = 80000 + 8000t$

הפתרון:

80000 \cdot 0.1 = 8000

בשנה הראשונה 10% ו-8000 זהים

בשנה הראשונה כל זוג נותן את אותו ערך, כי $10\%$ מ- $80000$ הם $8000$ . המילה מכריעה: «אחוז» הוא כפל, «ש״ח» הוא הוספה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חוג א עולה $25$ ש״ח לשיעור. חוג ב עולה $150$ ש״ח רישום, ועוד $10$ ש״ח לשיעור. תלמידה חיפשה את נקודת השוויון. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

25x = 150 + 10x

35x = 150

x = \frac{150}{35}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $35x = 150$ → $15x = 150$

הפתרון:

25x - 10x = 150

מעבירים את 10x לאגף שמאל, עם סימן הפוך

\begin{aligned}15x &= 150 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

פותרים

נקודת השוויון $x=10$ . כשמעבירים $10x$ לאגף השני מחסרים, לא מחברים. תוצאה לא שלמה כמו $\frac{150}{35}$ היא סימן לבדוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev