סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בדרגה בינונית: «בדיוק אחד» בשני מסלולים, הוצאה בלי החזרה בשני סדרים, נוסחת האיחוד לכיוון ההפוך, בדיקת תלות, ומעבר מעץ באחוזים לטבלה.

לפני שכופלים, ציירו את העץ ורשמו על כל ענף את ההסתברות שלו. בסוף בדקו: סכום הקצוות 1.

תרגילים

תרגיל 1

הסוללה של טלפון תקינה בהסתברות 0.9, והמטען תקין בהסתברות 0.95, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות שבדיוק אחד מהשניים תקין?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.14

הפתרון:

0.9⋅0.05=0.0450.9 \cdot 0.05 = 0.045

סוללה תקינה, מטען לא

0.1⋅0.95=0.0950.1 \cdot 0.95 = 0.095

סוללה לא, מטען תקין

0.045+0.095=0.140.045 + 0.095 = 0.14

שני מסלולים

«בדיוק אחד» הם שני מסלולים. בכל אחד מהם צריך גם את ההסתברות של הכישלון של השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בכיתה 20 תלמידים: 12 בנים ו-8 בנות. מגרילים שני תלמידים שונים. מה ההסתברות שייבחרו בן אחד ובת אחת? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.505263

הפתרון:

1220⋅819=96380\frac{12}{20} \cdot \frac{8}{19} = \frac{96}{380}

בן ואז בת

820⋅1219=96380\frac{8}{20} \cdot \frac{12}{19} = \frac{96}{380}

בת ואז בן

192380≈0.51\frac{192}{380} \approx 0.51

מחברים

שני המסלולים שווים, ולכן אפשר לכפול מסלול אחד ב-2. מי שענה 0.25 חישב סדר אחד בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון P(A)=0.5P(A)=0.5, P(B)=0.6P(B)=0.6 ו-P(A∪B)=0.8P(A \cup B)=0.8. מהי P(A∩B)P(A \cap B)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3

הפתרון:

0.8=0.5+0.6−P(A∩B)0.8 = 0.5 + 0.6 - P(A \cap B)

נוסחת האיחוד

P(A∩B)=1.1−0.8=0.3\begin{aligned}P(A \cap B) &= 1.1 - 0.8 \\ &= 0.3\end{aligned}

מבודדים

0.5+0.6=1.10.5 + 0.6 = 1.1 גדול מ-1: זה סימן לכך שיש חיתוך, והוא לפחות 0.10.1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

באותם נתונים (P(A)=0.5P(A)=0.5, P(B)=0.6P(B)=0.6, P(A∪B)=0.8P(A \cup B)=0.8): מה ההסתברות ש-AA קרה ו-BB לא קרה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2

הפתרון:

P(A∩B)=0.3P(A \cap B) = 0.3

מהשאלה הקודמת

0.5−0.3=0.20.5 - 0.3 = 0.2

מ-AA מורידים את החלק המשותף

הטעות: 0.5⋅0.4=0.20.5 \cdot 0.4 = 0.2. כאן היא נותנת במקרה אותו מספר, אבל היא מניחה אי-תלות שלא נאמרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון P(A)=0.4P(A)=0.4, P(B)=0.5P(B)=0.5 ו-P(A∩B)=0.2P(A \cap B)=0.2. מה נכון?

  1. אי אפשר לדעת
  2. AA ו-BB תלויים
  3. AA ו-BB בלתי תלויים
  4. AA ו-BB לא יכולים לקרות יחד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג AA ו-BB בלתי תלויים

הפתרון:

0.4⋅0.5=0.2=P(A∩B)\begin{aligned}0.4 \cdot 0.5 &= 0.2 \\ &= P(A \cap B)\end{aligned}

המכפלה שווה לחיתוך

הנכונה: בלתי תלויים. «לא יכולים לקרות יחד» היה דורש חיתוך 0, וכאן הוא 0.2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בחדר שתי נורות. נורה א׳ נשרפת השנה בהסתברות 0.3, ונורה ב׳ בהסתברות 0.2, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות שלפחות נורה אחת לא תישרף?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.94

הפתרון:

0.3⋅0.2=0.060.3 \cdot 0.2 = 0.06

המשלים: שתיהן נשרפות

1−0.06=0.941 - 0.06 = 0.94

לפחות אחת נשארת

המשלים של «לפחות אחת לא נשרפת» הוא «שתיהן נשרפות». הטעות: 1−0.7⋅0.81 - 0.7 \cdot 0.8, שהוא «לפחות אחת נשרפת».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בסקר 500 משתתפים, 40% מהם צעירים. מבין הצעירים 70% מעדיפים קניות ברשת, ומבין המבוגרים 30%. השלימו.

צעירים שמעדיפים ברשת: ____ ; מבוגרים שמעדיפים ברשת: ____ ; ההסתברות שמשתתף אקראי מעדיף ברשת: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: צעירים שמעדיפים ברשת: 140 ; מבוגרים שמעדיפים ברשת: 90 ; ההסתברות שמשתתף אקראי מעדיף ברשת: 0.46

הפתרון:

500⋅0.4=200200⋅0.7=140\begin{aligned}500 \cdot 0.4 &= 200 \\ \quad 200 \cdot 0.7 &= 140\end{aligned}

שורת הצעירים

500−200=300300⋅0.3=90\begin{aligned}500 - 200 &= 300 \\ \quad 300 \cdot 0.3 &= 90\end{aligned}

שורת המבוגרים

140+90500=0.46\frac{140 + 90}{500} = 0.46

העמודה כולה

0.4⋅0.7+0.6⋅0.3=0.28+0.18=0.46\begin{aligned}0.4 \cdot 0.7 + 0.6 \cdot 0.3 &= 0.28 + 0.18 \\ &= 0.46\end{aligned}

בדיקה בעץ ✓

30% הם מתוך 300 המבוגרים, לא מתוך 500. הממוצע 70%+30%2=50%\frac{70\% + 30\%}{2} = 50\% שגוי: בקבוצות גדלים שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

AA ו-BB בלתי תלויים, P(A)=0.3P(A)=0.3 ו-P(B)=0.5P(B)=0.5. מחשבים את P(A∪B)P(A \cup B). שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

P(A∩B)=0.3⋅0.5=0.15\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.3 \cdot 0.5 \\ &= 0.15\end{aligned}
P(A∪B)=0.3+0.5=0.8\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.3 + 0.5 \\ &= 0.8\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: P(A∪B)=0.3+0.5=0.8P(A \cup B) = 0.3 + 0.5 = 0.8 → P(A∪B)=0.3+0.5−0.15=0.65P(A \cup B) = 0.3 + 0.5 - 0.15 = 0.65

הפתרון:

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

נוסחת האיחוד

החיתוך חושב נכון בשורה הראשונה, ואז נשכח. חיבור בלבד מתאים רק למאורעות שלא קורים יחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מיינו: האם שני המאורעות תלויים או בלתי תלויים?

  • תלויים
  • בלתי תלויים
  • בחירת שני תלמידים שונים לוועד
  • הטלת קובייה פעמיים
  • שתי גולות משקית, בלי החזרה
  • שתי גולות משקית, עם החזרה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שתי גולות משקית, בלי החזרה — תלויים · שתי גולות משקית, עם החזרה — בלתי תלויים · הטלת קובייה פעמיים — בלתי תלויים · בחירת שני תלמידים שונים לוועד — תלויים

הפתרון:

35→24\frac{3}{5} \to \frac{2}{4}

בלי החזרה: השלב השני משתנה

35→35\frac{3}{5} \to \frac{3}{5}

עם החזרה: השלב השני זהה

השאלה היא תמיד: האם התוצאה של השלב הראשון משנה את ההסתברויות בשלב השני?

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

לנועה 6 מפתחות, ו-2 מהם פותחים את המחסן. היא מנסה שני מפתחות שונים באקראי. מה ההסתברות שלפחות אחד מהשניים יפתח את המחסן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.6

הפתרון:

46⋅35=1230=0.4\begin{aligned}\frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} &= \frac{12}{30} \\ &= 0.4\end{aligned}

המשלים: שני המפתחות לא מתאימים, בלי החזרה

1−0.4=0.61 - 0.4 = 0.6

לפחות אחד פותח

משלים וגם בלי החזרה: המסלול «לא, לא» הוא 46⋅35\frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5}, ולא (46)2\left(\frac{4}{6}\right)^2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת