שטח ונפח בקנה מידה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בתוכנית של דירה בקנה מידה 1:1001 : 100, הסלון הוא 6 ס״מ על 4 ס״מ: 24 סמ״ר על הנייר. האם גם במציאות שטחו פי 100, כלומר 2,400 סמ״ר? זה פחות מרבע מ״ר, שטח של שולחן קטן. במציאות הסלון 6 מטר על 4 מטר, כלומר 24 מ״ר, ושטח זה גדול פי 10,000 מהשטח בתוכנית.

ABCDEF
תוכנית של דירה בצורת האות L. בכל פינה זווית ישרה, ולכן חותכים אותה לשני מלבנים ומחברים את השטחים.

אם כל הצלעות גדלות פי 3, פי כמה גדל השטח? ופי כמה גדל הנפח של גוף?

להציג את התשובה והפתרון

השטח גדל פי 32=93^2 = 9: שטח הוא אורך כפול אורך. הנפח גדל פי 33=273^3 = 27: שלושה כיוונים.

הכלל: אורך פי k, שטח פי k², נפח פי k³

L′=k⋅LS′=k2⋅SV′=k3⋅V\begin{aligned}L' &= k \cdot L \qquad S' \\ &= k^2 \cdot S \qquad V' \\ &= k^3 \cdot V\end{aligned}

L,S,VL, S, V הם אורך, שטח ונפח בשרטוט, והמסומנים בגרש הם במציאות. בקנה מידה 1:n1 : n, היחס הוא k=nk = n.

במפות גדולות k2k^2 הוא מספר עצום, ולכן יש דרך נוחה יותר: ממירים קודם ס״מ אחד של המפה למטרים, ורק אז מעלים בריבוע.

אגם במפה

במפה בקנה מידה 1:25,0001 : 25{,}000 שטחו של אגם הוא 8 סמ״ר. מהו שטחו במציאות, בדונם?

1 ס״מ→25,000 ס״מ=250 מ׳1 \text{ ס״מ} \to 25{,}000 \text{ ס״מ} = 250 \text{ מ׳}

ס״מ אחד במפה

1 סמ״ר→2502=62,500 מ״ר1 \text{ סמ״ר} \to 250^2 = 62{,}500 \text{ מ״ר}

ריבוע של 1 ס״מ על 1 ס״מ הוא ריבוע של 250 מ׳ על 250 מ׳

8⋅62,500=500,000 מ״ר8 \cdot 62{,}500 = 500{,}000 \text{ מ״ר}

שמונה ריבועים כאלה

500,000:1000=500 דונם500{,}000 : 1000 = 500 \text{ דונם}

בדונם 1000 מ״ר

במפה בקנה מידה 1:10,0001 : 10{,}000: כמה מ״ר במציאות מייצג סמ״ר אחד במפה?

להציג את התשובה והפתרון

ס״מ אחד הוא 10,00010{,}000 ס״מ, כלומר 100 מטר. סמ״ר אחד הוא 1002=10,000100^2 = 10{,}000 מ״ר, 10 דונם.

מהשטחים אל קנה המידה

מהו קנה המידה?

שטח חדר במציאות הוא 20 מ״ר, ובתוכנית הוא 20 סמ״ר. מהו קנה המידה של התוכנית?

20 מ״ר=200,000 סמ״ר20 \text{ מ״ר} = 200{,}000 \text{ סמ״ר}

אותן יחידות

k2=200,000:20=10,000\begin{aligned}k^2 &= 200{,}000 : 20 \\ &= 10{,}000\end{aligned}

יחס השטחים הוא k2k^2

k=10,000=100\begin{aligned}k &= \sqrt{10{,}000} \\ &= 100\end{aligned}

מוציאים שורש

1:1001 : 100

קנה המידה

יחס השטחים הוא לא קנה המידה. אחרי החילוק תמיד מוציאים שורש. בדיקה מהירה: k2k^2 יוצא ריבוע של מספר שלם כמו 100100, 400400 או 10,00010{,}000.

דגמים ונפחים

דגם של מכולה

דגם של מכולת מים בקנה מידה 1:201 : 20 מחזיק חצי ליטר. כמה מים מחזיקה המכולה האמיתית?

k3=203=8000\begin{aligned}k^3 &= 20^3 \\ &= 8000\end{aligned}

נפח: היחס בחזקת 3

0.5⋅8000=4000 ליטר0.5 \cdot 8000 = 4000 \text{ ליטר}

הנפח במציאות

4000 ליטר=4 מ״ק4000 \text{ ליטר} = 4 \text{ מ״ק}

במ״ק 1000 ליטר

שלוש הטעויות של שטח ונפח בקנה מידה.

S′=100⋅SS' = 100 \cdot S
S′=1002⋅SS' = 100^2 \cdot S

בקנה מידה 1:1001 : 100 השטח גדל פי 10,000. פי 100 נכון רק לאורכים.

k=200,000:20=10,000\begin{aligned}k &= 200{,}000 : 20 \\ &= 10{,}000\end{aligned}
k=10,000=100\begin{aligned}k &= \sqrt{10{,}000} \\ &= 100\end{aligned}

יחס השטחים הוא k2k^2. שכחו להוציא שורש.

V′=202⋅VV' = 20^2 \cdot V
V′=203⋅VV' = 20^3 \cdot V

לנפח שלושה כיוונים, ולכן החזקה היא 3.

תרגילים

תרגיל 1

ABCD
חדר העבודה ABCD בתוכנית

בתוכנית של דירה בקנה מידה 1:1001 : 100, חדר העבודה ABCD הוא 5 ס״מ על 3 ס״מ. מהו שטחו במציאות, במ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

5 ס״מ→5 מ׳,3 ס״מ→3 מ׳5 \text{ ס״מ} \to 5 \text{ מ׳} ,\quad 3 \text{ ס״מ} \to 3 \text{ מ׳}

בקנה מידה 1:1001 : 100, ס״מ אחד הוא מטר אחד

5⋅3=155 \cdot 3 = 15

שטח המלבן, במ״ר

ממירים את הצלעות לפני הכפל, וכך אין צורך לזכור פי כמה גדל השטח. מי שכפל 15⋅10015 \cdot 100 קיבל 15001500 סמ״ר, פחות ממ״ר אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במפה בקנה מידה 1:50,0001 : 50{,}000: כמה מ״ר במציאות מייצג סמ״ר אחד במפה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 250000

הפתרון:

1 ס״מ→50,000 ס״מ=500 מ׳1 \text{ ס״מ} \to 50{,}000 \text{ ס״מ} = 500 \text{ מ׳}

אורך

5002=250,000500^2 = 250{,}000

שטח: היחס בריבוע

250,000250{,}000 מ״ר הם 250 דונם. מי שענה 500 שכח שסמ״ר הוא ריבוע, ולא קטע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מגדילים שרטוט כך שכל אורך גדל פי 3. פי כמה גדל שטח של כל צורה בשרטוט?

  1. 33
  2. 99
  3. 66
  4. 2727
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 99

הפתרון:

k=3k = 3

יחס האורכים

k2=9k^2 = 9

יחס השטחים

הנכונה: 9. 6=2⋅36 = 2 \cdot 3 מכפיל ב-2 במקום להעלות בריבוע. 27=3327 = 3^3 הוא יחס הנפחים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במפה בקנה מידה 1:20,0001 : 20{,}000 שטחו של פארק הוא 6 סמ״ר. מהו שטח הפארק במציאות, בדונם?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 240

הפתרון:

1 ס״מ→200 מ׳1 \text{ ס״מ} \to 200 \text{ מ׳}

ס״מ אחד במפה

1 סמ״ר→2002=40,000 מ״ר1 \text{ סמ״ר} \to 200^2 = 40{,}000 \text{ מ״ר}

סמ״ר אחד במפה

6⋅40,000=240,000 מ״ר=240 דונם\begin{aligned}6 \cdot 40{,}000 &= 240{,}000 \text{ מ״ר} \\ &= 240 \text{ דונם}\end{aligned}

שישה סמ״ר, ואז לדונם

הטעות הנפוצה: 6⋅200=12006 \cdot 200 = 1200 מ״ר. זה כופל שטח ביחס האורך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שטח מרפסת במציאות הוא 48 מ״ר, ובתוכנית הוא 12 סמ״ר. קנה המידה של התוכנית הוא 1:n1 : n. מצאו את nn.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 200

הפתרון:

48 מ״ר=480,000 סמ״ר48 \text{ מ״ר} = 480{,}000 \text{ סמ״ר}

אותן יחידות

k2=480,000:12=40,000\begin{aligned}k^2 &= 480{,}000 : 12 \\ &= 40{,}000\end{aligned}

יחס השטחים

k=40,000=200\begin{aligned}k &= \sqrt{40{,}000} \\ &= 200\end{aligned}

שורש

מי שענה 40,000 עצר ביחס השטחים. קנה המידה הוא יחס של אורכים, ולכן מוציאים שורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

דגם של מיכל דלק בקנה מידה 1:501 : 50. נפח הדגם 60 סמ״ק. מה נפח המיכל האמיתי, בליטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7500

הפתרון:

k3=503=125,000\begin{aligned}k^3 &= 50^3 \\ &= 125{,}000\end{aligned}

נפח: היחס בחזקת 3

60⋅125,000=7,500,000 סמ״ק60 \cdot 125{,}000 = 7{,}500{,}000 \text{ סמ״ק}

הנפח האמיתי

7,500,000:1000=75007{,}500{,}000 : 1000 = 7500

בליטר 1000 סמ״ק

מי שכפל ב-50250^2 קיבל 150 ליטר, כאילו לנפח שני כיוונים בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוכיחו או הפריכו: בתוכנית בקנה מידה 1:1001 : 100, שטח של חדר במציאות גדול פי 100 משטחו בתוכנית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

k=100k = 100

יחס האורכים

k2=10,000k^2 = 10{,}000

יחס השטחים

הטענה לא נכונה. השטח גדל פי 10,000. פי 100 נכון רק לאורך, לרוחב ולהיקף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCDEF

בתוכנית בקנה מידה 1:2001 : 200 מופיעה דירה ABCDEF, וכל זוויותיה ישרות (ראו שרטוט). בתוכנית: AB = 6 ס״מ, BC = 3 ס״מ, EF = 4 ס״מ, AF = 5 ס״מ. מהו שטח הדירה במציאות, במ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 104

הפתרון:

CD=6−4=2DE=5−3=2\begin{aligned}CD &= 6 - 4 \\ &= 2 \\ \quad DE &= 5 - 3 \\ &= 2\end{aligned}

צלעות נגדיות במלבן שוות

6⋅3+4⋅2=26 סמ״ר6 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 26 \text{ סמ״ר}

השטח בתוכנית: שני מלבנים

1 ס״מ→2 מ׳ ⇒ 1 סמ״ר→4 מ״ר1 \text{ ס״מ} \to 2 \text{ מ׳} \ \Rightarrow \ 1 \text{ סמ״ר} \to 4 \text{ מ״ר}

ס״מ אחד הוא 200 ס״מ

26⋅4=10426 \cdot 4 = 104

השטח במציאות

מי שכפל 26⋅2=5226 \cdot 2 = 52 השתמש ביחס האורך. הדרך הבטוחה: ממירים כל צלע למטרים (12, 6, 8, 10) ומחשבים 12⋅6+8⋅4=10412 \cdot 6 + 8 \cdot 4 = 104.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בתוכנית בקנה מידה 1:501 : 50 שטח מטבח הוא 30 סמ״ר. תלמידה חישבה את שטחו במציאות. שורה אחת שגויה, מצאו אותה.

k=50k = 50
S′=30⋅50=1500 סמ״ר\begin{aligned}S' &= 30 \cdot 50 \\ &= 1500 \text{ סמ״ר}\end{aligned}
1500 סמ״ר=0.15 מ״ר1500 \text{ סמ״ר} = 0.15 \text{ מ״ר}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: S′=30⋅50=1500 סמ״רS' = 30 \cdot 50 = 1500 \text{ סמ״ר} → S′=30⋅502=75,000 סמ״רS' = 30 \cdot 50^2 = 75{,}000 \text{ סמ״ר}

הפתרון:

S′=30⋅2500=75,000 סמ״ר\begin{aligned}S' &= 30 \cdot 2500 \\ &= 75{,}000 \text{ סמ״ר}\end{aligned}

שטח: היחס בריבוע

75,000:10,000=7.5 מ״ר75{,}000 : 10{,}000 = 7.5 \text{ מ״ר}

המרה למ״ר

המטבח 7.57.5 מ״ר. מטבח של 0.150.15 מ״ר הוא בגודל של מגש: בדיקת היגיון תופסת את הטעות כבר בשורה השנייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במפה בקנה מידה 1:10,0001 : 10{,}000 שטחה של חורשה הוא 18 סמ״ר. מה יהיה שטחה, בסמ״ר, במפה בקנה מידה 1:30,0001 : 30{,}000?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

30,000:10,000=330{,}000 : 10{,}000 = 3

המפה השנייה מוקטנת פי 3 באורך

32=93^2 = 9

ולכן פי 9 בשטח

18:9=218 : 9 = 2

השטח במפה השנייה

מי שחילק ב-3 קיבל 6 סמ״ר. בין שתי מפות, כמו בין מפה למציאות, השטח משתנה ביחס בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת