המרת יחידות אורך, שטח ונפח · יחס וקנה מידה · כיתה י״א

רוצים לרצף רצפה של 4 מטר על 3 מטר באריחים של 50 ס״מ על 50 ס״מ. שטח הרצפה 12 מ״ר, ושטח אריח $50 \cdot 50 = 2500$ סמ״ר. מי שממיר «12 מ״ר הם 1,200 סמ״ר» מקבל $1200 : 2500$ , פחות מחצי אריח לכל החדר. משהו בהמרה נשבר. בפרק הזה נראה מה.

כמה ס״מ יש במטר אחד? וכמה ריבועים של 1 ס״מ על 1 ס״מ נכנסים בריבוע של 1 מטר על 1 מטר?

להציג את התשובה והפתרון

במטר 100 ס״מ. בריבוע של מטר על מטר נכנסות 100 שורות של 100 ריבועים: 10,000. לכן $1 \text{ מ״ר} = 10{,}000 \text{ סמ״ר}$ , ולא 100.

אורך, שטח, נפח: היחס בחזקה

1 \text{ מ׳} = 100 \text{ ס״מ}

אורך: היחס פעם אחת

\begin{aligned}1 \text{ מ״ר} &= 100^2 \\ &= 10{,}000 \text{ סמ״ר}\end{aligned}

שטח: היחס בריבוע, כי לשטח שני כיוונים

\begin{aligned}1 \text{ מ״ק} &= 100^3 \\ &= 1{,}000{,}000 \text{ סמ״ק}\end{aligned}

נפח: היחס בחזקת 3, כי לנפח שלושה כיוונים

1 \text{ דונם} = 1000 \text{ מ״ר}

יחידת קרקע נפוצה בישראל

\begin{aligned}1 \text{ קמ״ר} &= 1000^2 \\ &= 1{,}000{,}000 \text{ מ״ר}\end{aligned}

אלף דונם

1 \text{ ליטר} = 1000 \text{ סמ״ק}

קובייה של 10 ס״מ על 10 ס״מ על 10 ס״מ

1 \text{ מ״ק} = 1000 \text{ ליטר}

קובייה של מטר על מטר על מטר

כמה מ״ר הם 35,000 סמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

מחלקים ב-10,000: $3.5$ מ״ר. מי שחילק ב-100 קיבל 350 מ״ר, שטח של דירה גדולה.

כמה אריחים?

חוזרים לרצפה של 4 מטר על 3 מטר ולאריחים של 50 ס״מ על 50 ס״מ.

\begin{aligned}12 \text{ מ״ר} &= 12 \cdot 10{,}000 \\ &= 120{,}000 \text{ סמ״ר}\end{aligned}

שטח הרצפה בסמ״ר

120{,}000 : 2500 = 48

48 אריחים

\begin{aligned}(400 : 50) \cdot (300 : 50) &= 8 \cdot 6 \\ &= 48\end{aligned}

בדיקה בדרך השנייה: שורות כפול עמודות ✓

הדרך הבטוחה: ממירים את האורכים לפני שכופלים. 4 מטר הם 400 ס״מ, 3 מטר הם 300 ס״מ, ומשם הכפל כבר נותן סמ״ר. כך אין צורך לזכור אם זה פי 100 או פי 10,000.

מיכל מים על הגג

מיכל בצורת תיבה, 1.2 מטר על 80 ס״מ, וגובהו 50 ס״מ. כמה ליטר מים הוא מכיל?

1.2 \text{ מ׳} = 120 \text{ ס״מ}

כל האורכים בס״מ

\begin{aligned}V &= 120 \cdot 80 \cdot 50 \\ &= 480{,}000 \text{ סמ״ק}\end{aligned}

נפח תיבה: אורך כפול רוחב כפול גובה

480{,}000 : 1000 = 480 \text{ ליטר}

בליטר 1000 סמ״ק

שלוש הטעויות של המרה.

1 \text{ מ״ר} = 100 \text{ סמ״ר}

1 \text{ מ״ר} = 10{,}000 \text{ סמ״ר}

יחס האורך הועתק כמו שהוא. בשטח הוא נכנס פעמיים: $100 \cdot 100$ .

1 \text{ מ״ק} = 1000 \text{ סמ״ק}

1 \text{ מ״ק} = 1{,}000{,}000 \text{ סמ״ק}

1000 סמ״ק הם ליטר. במטר מעוקב אלף ליטרים.

1.2 \cdot 80 \cdot 50 = 4800

120 \cdot 80 \cdot 50 = 480{,}000

כפלו מטרים בס״מ. מערבבים יחידות, ומקבלים מספר שאינו בשום יחידה.

תרגילים

תרגיל 1

שביל אופניים ארוך 2.4 ק״מ. כמה מטרים אורכו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2400

הפתרון:

1 \text{ ק״מ} = 1000 \text{ מ׳}

יחס האורך

2.4 \cdot 1000 = 2400

מיחידה גדולה לקטנה: כופלים

מיחידה גדולה ליחידה קטנה המספר גדל. מי שחילק קיבל $0.0024$ מטר, פחות משלושה מילימטרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

שטח מרפסת הוא 7 מ״ר. כמה סמ״ר זה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 70000

הפתרון:

\begin{aligned}1 \text{ מ״ר} &= 100^2 \\ &= 10{,}000 \text{ סמ״ר}\end{aligned}

יחס האורך בריבוע

7 \cdot 10{,}000 = 70{,}000

כופלים

מי שכתב 700 כפל ב-100, יחס האורך. בשטח היחס נכנס פעמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

שטח של לוח מודעות הוא 45,000 סמ״ר. כמה מ״ר זה?

$4.5$
$450$
$0.45$
$45$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $4.5$

הפתרון:

45{,}000 : 10{,}000 = 4.5

מיחידה קטנה לגדולה: מחלקים ב-10,000

הנכונה: $4.5$ מ״ר. $450$ מתקבל מחילוק ב-100 בלבד. $45$ מחילוק ב-1000, יחס שאין לו מקום בשטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

שטח חלקה חקלאית במושב הוא 3.2 דונם. כמה מ״ר זה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3200

הפתרון:

1 \text{ דונם} = 1000 \text{ מ״ר}

הגדרת הדונם

3.2 \cdot 1000 = 3200

כופלים

דונם הוא 1000 מ״ר, לא 100 ולא 10,000. אין כאן ריבוע של יחס: הדונם מוגדר ישירות במ״ר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

אקווריום בצורת תיבה, 60 ס״מ על 40 ס״מ, וגובהו 50 ס״מ. כמה ליטר מים הוא מכיל כשהוא מלא?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

\begin{aligned}V &= 60 \cdot 40 \cdot 50 \\ &= 120{,}000 \text{ סמ״ק}\end{aligned}

נפח התיבה

120{,}000 : 1000 = 120

בליטר 1000 סמ״ק

מי שחילק ב-1,000,000 עבר למ״ק ( $0.12$ מ״ק), לא לליטרים. שתי התשובות מתארות אותו נפח, אבל השאלה ביקשה ליטרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בבור מים יש $0.3$ מ״ק מים. כמה ליטר זה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 300

הפתרון:

1 \text{ מ״ק} = 1000 \text{ ליטר}

מטר מעוקב הוא אלף ליטרים

0.3 \cdot 1000 = 300

כופלים

1,000,000 הוא מספר הסמ״ק במ״ק, לא מספר הליטרים. ליטר הוא כבר 1000 סמ״ק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

התאימו לכל יחידה את הערך השווה לה.

$1$ מ״ר
$1$ מ״ק
$1$ ליטר
$1$ דונם
$1$ קמ״ר

$1{,}000{,}000$ מ״ר
$1{,}000{,}000$ סמ״ק
$10{,}000$ סמ״ר
$1000$ מ״ר
$1000$ סמ״ק

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $1$ מ״ר — $10{,}000$ סמ״ר · $1$ מ״ק — $1{,}000{,}000$ סמ״ק · $1$ ליטר — $1000$ סמ״ק · $1$ דונם — $1000$ מ״ר · $1$ קמ״ר — $1{,}000{,}000$ מ״ר

הפתרון:

100^2 = 10{,}000

מטר לס״מ, בשטח

100^3 = 1{,}000{,}000

מטר לס״מ, בנפח

1000^2 = 1{,}000{,}000

ק״מ למטר, בשטח

שני הזוגות של «מיליון» נראים דומים ושונים לגמרי: $100^3$ בנפח ו- $1000^2$ בשטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

רצפת החדר ABCD

רצפה של חדר ABCD היא 4.8 מטר על 3.6 מטר. מרצפים אותה באריחים של 40 ס״מ על 40 ס״מ. כמה אריחים צריך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 108

הפתרון:

480 \cdot 360 = 172{,}800 \text{ סמ״ר}

ממירים לס״מ לפני הכפל

40 \cdot 40 = 1600 \text{ סמ״ר}

שטח אריח

172{,}800 : 1600 = 108

מספר האריחים

12 \cdot 9 = 108

בדיקה: $480 : 40 = 12$ , $360 : 40 = 9$ ✓

מי שכתב $17.28 \text{ מ״ר} = 1728 \text{ סמ״ר}$ קיבל פחות מאריח וחצי. ההמרה של השטח היא פי 10,000.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הוכיחו או הפריכו: מטר מרובע אחד שווה ל-100 סנטימטרים מרובעים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

1 \text{ מ״ר} = 100 \cdot 100 \text{ סמ״ר}

שתי הצלעות מומרות

= 10{,}000 \text{ סמ״ר}

ולא 100

הטענה לא נכונה. 100 סמ״ר הם ריבוע של 10 ס״מ על 10 ס״מ, בגודל של כף יד. מטר מרובע גדול ממנו פי 100.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בריכת שחייה בצורת תיבה: אורכה 25 מטר, רוחבה 10 מטר ועומקה 1.6 מטר. כמה ליטר מים יש בבריכה מלאה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 400000

הפתרון:

\begin{aligned}V &= 25 \cdot 10 \cdot 1.6 \\ &= 400 \text{ מ״ק}\end{aligned}

כל האורכים במטרים, ולכן הנפח במ״ק

400 \cdot 1000 = 400{,}000

במ״ק 1000 ליטר

כאן כל המידות כבר במטרים, ולכן אין לערבב. הטעות האפשרית היא בסוף: מ״ק לליטר הוא פי 1000, לא פי 1,000,000.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

אורך, שטח, נפח: היחס בחזקה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev