קנה מידה במפה ובתוכנית · יחס וקנה מידה · כיתה י״א

במפת טיולים של הגליל כתוב בפינה: $1 : 50{,}000$ . מהחניון אל המעיין מודדים בסרגל 7 ס״מ. כמה צריך ללכת באמת? לפני כל נוסחה, עברו על החישוב צעד אחרי צעד.

מה אומר $1 : 50{,}000$ בשפה של מטיילים? כמה מטרים בשטח מייצג סנטימטר אחד במפה?

להציג את התשובה והפתרון

ס״מ אחד במפה הוא $50{,}000$ ס״מ בשטח, כלומר 500 מטר, חצי קילומטר. לכן 7 ס״מ הם $3.5$ ק״מ.

קנה מידה הוא יחס

1 : n \ = \ d : D

$d$ הוא המרחק על המפה ו- $D$ המרחק במציאות, באותן יחידות. המספר הראשון שייך תמיד לשרטוט.

D = d \cdot n

מהמפה למציאות: כופלים ב- $n$

d = D : n

מהמציאות למפה: מחלקים ב- $n$

n = D : d

מוצאים את קנה המידה: מחלקים את המציאות במפה, אחרי שממירים לס״מ

עובדים בס״מ עד הסוף, וממירים רק בתשובה: $1 \text{ מ׳} = 100 \text{ ס״מ}$ , $1 \text{ ק״מ} = 100{,}000 \text{ ס״מ}$ . במפה של $1 : 100{,}000$ , ס״מ אחד הוא בדיוק קילומטר אחד.

מהו קנה המידה של התוכנית?

בתוכנית של דירה, הסלון ארוך 12 ס״מ. במציאות אורכו 6 מטר. מהו קנה המידה?

6 \text{ מ׳} = 600 \text{ ס״מ}

קודם ממירים ליחידה אחת

12 : 600

היחס: שרטוט ראשון, מציאות שנייה

= 1 : 50

מחלקים את שני האיברים ב-12

איזו מפה מראה יותר פרטים של אותו אזור: $1 : 25{,}000$ או $1 : 100{,}000$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$1 : 25{,}000$ . בה ס״מ מייצג רק 250 מטר, ולכן כל שביל מצויר ארוך פי 4. המספר $n$ הגדול יותר נותן מפה מוקטנת יותר.

גם הגדלה היא קנה מידה

דגם של בניין מוקטן, אבל שרטוט של חרק או של בורג קטן מוגדל. קנה מידה $5 : 1$ פירושו: 5 ס״מ בשרטוט הם ס״מ אחד במציאות. הסדר לא משתנה: השרטוט ראשון, המציאות שנייה.

אותו שביל בשתי מפות

במפה בקנה מידה $1 : 100{,}000$ אורך שביל הוא 3 ס״מ. מה יהיה אורכו במפה בקנה מידה $1 : 25{,}000$ ?

3 \cdot 100{,}000 = 300{,}000 \text{ ס״מ}

האורך האמיתי: 3 ק״מ

300{,}000 : 25{,}000 = 12

מהמציאות אל המפה השנייה

d = 12 \text{ ס״מ}

ובקיצור: $100{,}000 : 25{,}000 = 4$ , השביל ארוך פי 4

שלוש הטעויות של קנה מידה.

7 \cdot 50{,}000 = 350{,}000 \text{ ק״מ}

350{,}000 \text{ ס״מ} = 3.5 \text{ ק״מ}

התוצאה של הכפל היא בס״מ, כמו המדידה במפה. ההמרה היא צעד נפרד.

12 \text{ ס״מ} : 6 \text{ מ׳} = 2 : 1

12 : 600 = 1 : 50

קנה מידה משווה את אותן יחידות. בלי המרה יוצא יחס חסר משמעות.

1 : 100{,}000

1 : 25{,}000

איזו מפה מפורטת יותר? לא זו עם המספר הגדול. ככל ש- $n$ גדול יותר, כל ס״מ מכסה שטח גדול יותר, והפרטים קטנים יותר.

תרגילים

תרגיל 1

במפת טיולים בקנה מידה $1 : 50{,}000$ המרחק בין החניון לתצפית הוא 7 ס״מ. מהו המרחק במציאות, במטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3500

הפתרון:

7 \cdot 50{,}000 = 350{,}000 \text{ ס״מ}

מהמפה למציאות: כופלים

350{,}000 : 100 = 3500 \text{ מ׳}

מס״מ למטרים

3,500 מטר הם $3.5$ ק״מ. מי שענה 350,000 שכח שהתוצאה עדיין בס״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המרחק בין שני יישובים הוא 12 ק״מ. מה יהיה המרחק ביניהם במפה בקנה מידה $1 : 200{,}000$ , בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

12 \text{ ק״מ} = 1{,}200{,}000 \text{ ס״מ}

ממירים לס״מ

1{,}200{,}000 : 200{,}000 = 6

מהמציאות למפה: מחלקים

מקבלים 6 ס״מ, מספר סביר למפה. מספר ענק או זעיר על המפה הוא סימן שההמרה נשכחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בתוכנית בקנה מידה $1 : 50$ אורך חדר הוא 9 ס״מ. תלמיד חישב את אורכו במציאות. שורה אחת שגויה, מצאו אותה.

9 \cdot 50 = 450

450 \text{ ס״מ} = 45 \text{ מ׳}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $450 \text{ ס״מ} = 45 \text{ מ׳}$ → $450 \text{ ס״מ} = 4.5 \text{ מ׳}$

הפתרון:

9 \cdot 50 = 450 \text{ ס״מ}

הכפל נכון

450 : 100 = 4.5

במטר 100 ס״מ, לא 10

החדר ארוך $4.5$ מטר. חדר של 45 מטר הוא אולם ספורט: בדיקת היגיון תופסת את הטעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מרחק של 2 ק״מ במציאות מופיע במפה כקטע של 4 ס״מ. קנה המידה של המפה הוא $1 : n$ . מצאו את $n$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50000

הפתרון:

2 \text{ ק״מ} = 200{,}000 \text{ ס״מ}

ממירים לס״מ

4 : 200{,}000 = 1 : 50{,}000

מחלקים ב-4

$n = D : d$ אחרי המרה. מי שחילק $2 : 4$ קיבל חצי, מספר שאינו קנה מידה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ארבע מפות מראות את אותה שמורת טבע. באיזו מהן השמורה מצוירת הכי גדולה?

$1 : 50{,}000$
$1 : 10{,}000$
$1 : 100{,}000$
$1 : 250{,}000$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $1 : 10{,}000$

הפתרון:

1 : 10{,}000 \ \Rightarrow \ 1 \text{ ס״מ} = 100 \text{ מ׳}

כל ס״מ מכסה מעט שטח

1 : 250{,}000 \ \Rightarrow \ 1 \text{ ס״מ} = 2.5 \text{ ק״מ}

כל ס״מ מכסה הרבה שטח

הנכונה: $1 : 10{,}000$ . ה- $n$ הקטן ביותר נותן את הציור הגדול ביותר. מי שבחר $1 : 250{,}000$ חשב שמספר גדול פירושו ציור גדול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בונים דגם של בניין מגורים בקנה מידה $1 : 200$ . גובה הבניין 36 מטר. מה גובה הדגם, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

36 \text{ מ׳} = 3600 \text{ ס״מ}

ממירים לס״מ

3600 : 200 = 18

מהמציאות לדגם

דגם של 18 ס״מ נכנס על שולחן. מי שחילק $36 : 200$ בלי המרה קיבל $0.18$ ס״מ, פחות משני מילימטרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בחוברת הוראות, בורג משורטט בקנה מידה $5 : 1$ . אורך הבורג בשרטוט 3 ס״מ. מהו אורכו במציאות, במילימטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

5 : 1 = 3 : x

השרטוט ראשון, המציאות שנייה

\begin{aligned}x &= 3 : 5 \\ &= 0.6 \text{ ס״מ}\end{aligned}

זו הגדלה, ולכן המציאות קטנה יותר

0.6 \text{ ס״מ} = 6 \text{ מ״מ}

ממירים

בהגדלה מחלקים כדי לעבור למציאות. מי שכפל $3 \cdot 5 = 15$ ס״מ קיבל בורג גדול מהשרטוט, וזה הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

שביל מופיע במפה בקנה מידה $1 : 100{,}000$ כקטע של 4 ס״מ. השלימו.

אורך השביל במציאות: ____ ק״מ , אורכו במפה בקנה מידה $1 : 25{,}000$ : ____ ס״מ

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אורך השביל במציאות: 4 ק״מ , אורכו במפה בקנה מידה $1 : 25{,}000$ : 16 ס״מ

הפתרון:

\begin{aligned}4 \cdot 100{,}000 &= 400{,}000 \text{ ס״מ} \\ &= 4 \text{ ק״מ}\end{aligned}

האורך האמיתי

400{,}000 : 25{,}000 = 16

במפה השנייה

המפה השנייה מפורטת פי 4 ( $100{,}000 : 25{,}000$ ), ולכן השביל ארוך בה פי 4. מי שכפל ב-4 את קנה המידה ולא את האורך התבלבל בכיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הוכיחו או הפריכו: במפה בקנה מידה $1 : 20{,}000$ , כל ס״מ במפה מייצג 2 ק״מ במציאות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

1 \text{ ס״מ} \to 20{,}000 \text{ ס״מ}

לפי קנה המידה

20{,}000 \text{ ס״מ} = 200 \text{ מ׳}

ממירים

הטענה לא נכונה. ס״מ אחד מייצג 200 מטר. 2 ק״מ הם $200{,}000$ ס״מ: כאן חולק ב-10 ולא ב-100 בהמרה לק״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במפה בקנה מידה $1 : 50{,}000$ אורך מסלול הליכה הוא 16 ס״מ. מטיילים הולכים במהירות קבועה של 4 קמ״ש. כמה שעות יימשך המסלול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}16 \cdot 50{,}000 &= 800{,}000 \text{ ס״מ} \\ &= 8 \text{ ק״מ}\end{aligned}

אורך המסלול

\begin{aligned}t &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}

זמן = דרך חלקי מהירות

זו שאלה של שני שלבים: קודם קנה מידה, אחר כך דרך-מהירות-זמן. לנוסחה $t = \frac{s}{v}$ צריך ק״מ, לא ס״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

קנה מידה הוא יחס

גם הגדלה היא קנה מידה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev