יחס ופרופורציה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בחומוסייה קטנה מכינים חומוס מגרגרים ומטחינה, שלוש כוסות גרגרים לכל כוס טחינה. ביום רגיל שמים 6 כוסות גרגרים ו-2 כוסות טחינה. ביום שישי שמים 30 כוסות גרגרים ו-10 כוסות טחינה. הכמויות שונות לגמרי, והטעם זהה. מה שנשמר הוא לא הכמות, אלא היחס: 6:26 : 2 ו-30:1030 : 10 הם שניהם 3:13 : 1.

לפי האנימציה: כמה שווה חלק אחד, ולמה מחלקים את 450 ב-9 ולא ב-4 או ב-5?

להציג את התשובה והפתרון

חלק אחד שווה 50 שקלים. הסכום כולו מורכב מ-4+5=94+5=9 חלקים שווים. נועה מקבלת 4⋅50=2004 \cdot 50=200 ואיתי 5⋅50=2505 \cdot 50=250. בדיקה: 200+250=450200+250=450 ✓

יחס הוא השוואה בחילוק

a:b=aba : b = \frac{a}{b}

היחס לא משתנה כשכופלים או מחלקים את שני האיברים באותו מספר.

לכן מצמצמים יחס כמו שמצמצמים שבר. ויש כלל אחד שאסור לשכוח: משווים רק כמויות באותן יחידות. לפני שמצמצמים ס״מ ומטרים, או דקות ושעות, ממירים ליחידה אחת.

36:48=3:436 : 48 = 3 : 4

מחלקים את שני האיברים ב-12

0.5:2=1:40.5 : 2 = 1 : 4

כופלים את שני האיברים ב-2 ומקבלים מספרים שלמים

40 ס״מ:2 מ׳=40:200=1:5\begin{aligned}40 \text{ ס״מ} : 2 \text{ מ׳} &= 40 : 200 \\ &= 1 : 5\end{aligned}

קודם ממירים את המטרים לס״מ

12:18:30=2:3:512 : 18 : 30 = 2 : 3 : 5

יחס של שלוש כמויות: מחלקים את שלושתן ב-6

צמצמו את היחס בין 45 דקות לבין שעתיים.

להציג את התשובה והפתרון

שעתיים הן 120 דקות. 45:120=3:845 : 120 = 3 : 8 (מחלקים ב-15). מי שכתב 45:245 : 2 השווה דקות לשעות.

חלוקה ביחס: שלושה צעדים

11

סופרים את מספר החלקים: מחברים את איברי היחס

22

מחלקים את הכמות במספר החלקים: זה הערך של חלק אחד

33

כופלים את הערך של חלק אחד במספר החלקים של כל אחד

פרס של שלושה

שלושה חברים זכו בפרס של 1,200 שקלים ומחלקים אותו ביחס 2:3:52 : 3 : 5. כמה מקבל כל אחד?

2+3+5=102+3+5=10

10 חלקים

1200:10=1201200 : 10 = 120

חלק אחד שווה 120 שקלים

2⋅120=2403⋅120=3605⋅120=600\begin{aligned}2 \cdot 120 &= 240 \\ \quad 3 \cdot 120 &= 360 \\ \quad 5 \cdot 120 &= 600\end{aligned}

כל אחד לפי מספר החלקים שלו

240+360+600=1200240+360+600=1200

בדיקה ✓

פרופורציה ומכפלה בהצלבה

פרופורציה היא שוויון בין שני יחסים. כשאחד מארבעת המספרים חסר, מוצאים אותו במכפלה בהצלבה. כך פותרים גם בעיות של ערך משולש: שתי כמויות שגדלות יחד באותו יחס. פי 2 מזה, פי 2 מזה.

ab=cd  ⟺  a⋅d=b⋅c\begin{aligned}\frac{a}{b} &= \frac{c}{d} \iff a \cdot d \\ &= b \cdot c\end{aligned}

דלק לאילת

מכונית צורכת 8 ליטר דלק לכל 100 ק״מ. כמה ליטר תצרוך בנסיעה של 350 ק״מ?

8100=x350\frac{8}{100}=\frac{x}{350}

ליטרים למעלה, קילומטרים למטה, בשני הצדדים

100x=8⋅350=2800\begin{aligned}100x &= 8 \cdot 350 \\ &= 2800\end{aligned}

מכפלה בהצלבה

x=28x = 28

28 ליטר

מתכון לעוגה ל-4 אנשים דורש 300 גרם קמח. כמה קמח צריך ל-10 אנשים?

להציג את התשובה והפתרון

3004=x10\frac{300}{4}=\frac{x}{10}, ולכן x=750x=750 גרם. דרך אחרת: לאדם אחד 75 גרם, ול-10 אנשים 750750.

לפני שכותבים פרופורציה, בודקים שהכמויות באמת גדלות יחד. קמח ואנשים: כן. פועלים וזמן עבודה: לא, יותר פועלים מסיימים מהר יותר, וזו כבר לא פרופורציה ישרה.

שלוש הטעויות של יחס.

450:4 ו- 450:5450 : 4 \ \text{ו-} \ 450 : 5
450:(4+5)=50450 : (4+5) = 50

מחלקים את הסכום במספר החלקים כולו, לא בכל איבר לחוד.

40 ס״מ:2 מ׳=20:140 \text{ ס״מ} : 2 \text{ מ׳} = 20 : 1
40:200=1:540 : 200 = 1 : 5

השוו ס״מ למטרים. קודם ממירים ליחידה אחת.

2:3=12:x⇒x=8\begin{aligned}2 : 3 &= 12 : x \Rightarrow x \\ &= 8\end{aligned}
x=18x = 18

הסדר הוחלף. אם 2 הם 12, כל חלק הוא 6, ו-3 חלקים הם 18.

תרגילים

תרגיל 1

צמצמו את היחס 36:6036 : 60.

  1. 5:35 : 3
  2. 2:32 : 3
  3. 3:53 : 5
  4. 4:54 : 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 3:53 : 5

הפתרון:

36:12=360:12=5\begin{aligned}36 : 12 &= 3 \\ \quad 60 : 12 &= 5\end{aligned}

מחלקים את שני האיברים ב-12, המחלק המשותף הגדול

הנכונה: 3:53 : 5. 5:35 : 3 הופך את הסדר: האיבר הראשון שייך לכמות הראשונה. 2:32 : 3 שווה ל-40:6040 : 60, לא ל-36:6036 : 60.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

דנה ורון מחלקים 840 שקלים ביחס 3:43 : 4 (דנה : רון). כמה שקלים מקבל רון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 480

הפתרון:

3+4=73+4=7

7 חלקים

840:7=120840 : 7 = 120

חלק אחד

4⋅120=4804 \cdot 120 = 480

לרון 4 חלקים

מי שחילק 840:4=210840 : 4 = 210 שכח שהסכום כולו הוא 7 חלקים, לא 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בחוג רובוטיקה היחס בין הבנים לבנות הוא 5:75 : 7. בחוג 15 בנים. כמה בנות בחוג?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 21

הפתרון:

15:5=315 : 5 = 3

חלק אחד: 3 ילדים

7⋅3=217 \cdot 3 = 21

לבנות 7 חלקים

כאן ידוע חלק מהכמות, לא הסכום. מחלקים את 15 ב-5, מספר החלקים של הבנים, ולא ב-12.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מצאו את xx: x12=1520\frac{x}{12}=\frac{15}{20}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

20x=15⋅12=180\begin{aligned}20x &= 15 \cdot 12 \\ &= 180\end{aligned}

מכפלה בהצלבה

x=9x = 9

מחלקים ב-20

אפשר גם לצמצם קודם: 1520=34\frac{15}{20}=\frac{3}{4}, ו-912=34\frac{9}{12}=\frac{3}{4} ✓. הטעות הנפוצה היא לכפול 15⋅2015 \cdot 20, כלומר בקו ישר ולא בהצלבה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מכונית צורכת 8 ליטר דלק לכל 100 ק״מ. הנסיעה מתל אביב לקריית שמונה היא 175 ק״מ. כמה ליטר דלק תצרוך המכונית?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

8100=x175\frac{8}{100}=\frac{x}{175}

פרופורציה: ליטרים לקילומטרים

x=8⋅175100=14\begin{aligned}x &= \frac{8 \cdot 175}{100} \\ &= 14\end{aligned}

מכפלה בהצלבה

בדיקת היגיון: 175 ק״מ הם קצת פחות מפי 2 מ-100 ק״מ, ולכן גם הדלק קצת פחות מפי 2 מ-8.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

תערובת בטון מכילה מלט, חול וחצץ ביחס 2:3:52 : 3 : 5. מכינים 60 ק״ג תערובת. השלימו.

מלט: ____ ק״ג , חול: ____ ק״ג , חצץ: ____ ק״ג

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מלט: 12 ק״ג , חול: 18 ק״ג , חצץ: 30 ק״ג

הפתרון:

2+3+5=102+3+5=10

10 חלקים

60:10=660 : 10 = 6

חלק אחד: 6 ק״ג

12+18+30=6012+18+30=60

בדיקה ✓

ביחס של שלוש כמויות סופרים את שלושת האיברים. מי שחילק ב-5 או ב-8 השמיט אחת מהכמויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

איזה יחס שווה ליחס בין 40 ס״מ לבין 1.2 מטר?

  1. 1:31 : 3
  2. 1:301 : 30
  3. 10:310 : 3
  4. 3:13 : 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 1:31 : 3

הפתרון:

1.2 מ׳=120 ס״מ1.2 \text{ מ׳} = 120 \text{ ס״מ}

ממירים ליחידה אחת

40:120=1:340 : 120 = 1 : 3

מצמצמים ב-40

הנכונה: 1:31 : 3. 10:310 : 3 מתקבל מ-40:1240 : 12, כלומר בהמרה של 1.21.2 מטר ל-12 במקום ל-120. 3:13 : 1 הופך את הסדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: אם מוסיפים 2 לשני האיברים של היחס 2:32 : 3, מתקבל יחס שווה לו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

2:3 → 4:52 : 3 \ \to \ 4 : 5

מוסיפים 2 לכל איבר

23≈0.67≠45=0.8\frac{2}{3} \approx 0.67 \neq \frac{4}{5} = 0.8

היחסים שונים

הטענה לא נכונה. יחס נשמר בכפל ובחילוק, לא בחיבור. 4:64 : 6 היה שווה ל-2:32 : 3, אבל 4:54 : 5 אינו שווה לו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

היחס בין החסכונות של מאיה לחסכונות של טל הוא 5:35 : 3. למאיה יש 240 שקלים יותר מלטל. כמה שקלים חסכה מאיה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 600

הפתרון:

5−3=25-3=2

ההפרש הוא 2 חלקים

240:2=120240 : 2 = 120

חלק אחד

5⋅120=6005 \cdot 120 = 600

למאיה 5 חלקים

600−360=240600-360=240

בדיקה: לטל 360 ✓

כאן נתון ההפרש, לא הסכום. לכן מחלקים ב-5−3=25-3=2 ולא ב-5+3=85+3=8.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מכינים מיץ פטל ביחס 1:41 : 4 (תרכיז : מים). כמה מיליליטר תרכיז יש ב-2 ליטר משקה מוכן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 400

הפתרון:

2 ליטר=2000 מ״ל2 \text{ ליטר} = 2000 \text{ מ״ל}

ממירים למיליליטר

1+4=51+4=5

5 חלקים במשקה

2000:5=4002000 : 5 = 400

התרכיז הוא חלק אחד

המשקה המוכן הוא תרכיז ועוד מים, 5 חלקים. מי שחילק 2000 ב-4 קיבל 500, כאילו המים לבדם הם 2 ליטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת