פותרים יחד · יחס וקנה מידה · כיתה י״א

ארבע שאלות בסגנון הבגרות של אשכול ההתמצאות במישור ובמרחב, אחת לכל רעיון של הפרק: מפת טיולים, חלוקה ביחס, תוכנית דירה, ודגם. כל שאלה נפתרת יחד, סעיף אחרי סעיף. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

בכל סעיף כתבו יחידות ליד כל מספר. בשאלות של קנה מידה כמעט כל טעות היא טעות של יחידות, וכך רואים אותה מיד.

1 — מפת טיולים: מרחק, זמן ושטח

פעילות אינטראקטיבית

מפת טיולים בקנה מידה $1 : 50{,}000$ . א. במפה, המרחק בין החניון לתצפית הוא 9 ס״מ. מהו המרחק במציאות, בק״מ? ב. מטיילת הולכת במהירות קבועה של 3 קמ״ש. כמה דקות תימשך ההליכה? ג. שטחה של שמורת טבע במפה הוא 12 סמ״ר. מהו שטחה במציאות, בדונם?

\begin{aligned}1 : 50{,}000 \\ \quad d &= 9 \text{ ס״מ} \\ \quad v &= 3 \\ \quad S &= 12 \text{ סמ״ר}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». בסעיף א עוברים ממפה למציאות, בסעיף ג עושים זאת בשטח.

א.

9 \cdot 50{,}000 = 450{,}000 \text{ ס״מ}

מהמפה למציאות: כופלים ב- $n$ . התוצאה בס״מ.

א. המרה

450{,}000 \text{ ס״מ} = 4.5 \text{ ק״מ}

בק״מ $100{,}000$ ס״מ.

ב.

\begin{aligned}t &= \frac{4.5}{3} \\ &= 1.5 \text{ שעות}\end{aligned}

זמן = דרך חלקי מהירות.

ב. המרה

1.5 \cdot 60 = 90 \text{ דקות}

השאלה ביקשה דקות.

ג. ס״מ אחד

1 \text{ ס״מ} \to 500 \text{ מ׳}

לפי סעיף א: $50{,}000$ ס״מ הם 500 מטר.

ג. סמ״ר אחד

1 \text{ סמ״ר} \to 500^2 = 250{,}000 \text{ מ״ר}

בשטח היחס בריבוע.

ג.

\begin{aligned}12 \cdot 250{,}000 &= 3{,}000{,}000 \text{ מ״ר} \\ &= 3000 \text{ דונם}\end{aligned}

בדונם 1000 מ״ר.

שני המקומות שבהם השאלה «תופסת»: ההמרה משעות לדקות בסעיף ב, והריבוע של יחס האורך בסעיף ג.

לעשות את הפעילות ב-elev

בסעיף ג, מה הייתה התשובה של מי שכופל $12 \cdot 50{,}000$ וממיר למ״ר? למה היא שגויה?

להציג את התשובה והפתרון

$12 \cdot 50{,}000 = 600{,}000$ , ואם קוראים את זה כסמ״ר מקבלים 60 מ״ר, שטח של דירה קטנה. זה שטח שגדל ביחס האורך. בשטח היחס נכנס פעמיים: $50{,}000^2$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — חלוקה ביחס של שלושה

פעילות אינטראקטיבית

רווח של שלושה שותפים

שלושה שותפים בעסק קטן מחלקים רווח של 42,000 שקלים ביחס $2 : 3 : 5$ . כמה מקבל השותף שחלקו הגדול ביותר?

21,000 שקלים

8,400 שקלים

14,000 שקלים

4,200 שקלים

מה הצעד הראשון?

סופרים את מספר החלקים

להציג את התשובה והפתרון

הרווח כולו מורכב מחלקים שווים.

מחלקים את 42,000 ב-5

להציג את התשובה והפתרון

5 הוא רק מספר החלקים של שותף אחד.

2+3+5=10

10 חלקים

כמה שווה חלק אחד?

להציג את התשובה והפתרון

$42{,}000 : 10$

להציג את התשובה והפתרון

זה חילוק ב-3, מספר השותפים, ולא במספר החלקים.

42{,}000 : 10 = 4200

חלק אחד

ומה מקבל השותף הגדול?

$5 \cdot 4200$

להציג את התשובה והפתרון

לו 5 חלקים.

$2 \cdot 4200$

להציג את התשובה והפתרון

זה השותף הקטן.

5 \cdot 4200 = 21{,}000

בדיקה: $8400+12{,}600+21{,}000=42{,}000$ ✓

להציג את התשובה והפתרון

21,000 שקלים. 8,400 הוא חלקו של השותף הקטן. 14,000 מתקבל מחלוקה שווה בין שלושה. 4,200 הוא רק חלק אחד.

לעשות את הפעילות ב-elev

השותף הקטן רוצה לקבל לפחות רבע מהרווח. האם היחס $2 : 3 : 5$ נותן לו את זה?

להציג את התשובה והפתרון

לא. חלקו $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ מהרווח, כלומר 8,400 שקלים, פחות מרבע ( $10{,}500$ ).

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — תוכנית דירה: מידות, שטח ואריחים

פעילות אינטראקטיבית

בתוכנית של דירה בקנה מידה $1 : 50$ , המטבח הוא 8 ס״מ על 6.4 ס״מ. א. מהן מידות המטבח במציאות, במטרים? ב. מהו שטח המטבח במציאות, במ״ר? ג. מרצפים את המטבח באריחים של 40 ס״מ על 40 ס״מ. כמה אריחים צריך? ד. הראו שיחס השטחים הוא $50^2$ .

1 : 50 ,\quad 8 \times 6.4 \text{ ס״מ} ,\quad 40 \times 40 \text{ ס״מ}

לחצו «להתחיל». ממירים קודם את הצלעות, ורק אחר כך מחשבים שטח.

א.

\begin{aligned}8 \cdot 50 &= 400 \text{ ס״מ} \\ &= 4 \text{ מ׳} \\ \quad 6.4 \cdot 50 &= 320 \text{ ס״מ} \\ &= 3.2 \text{ מ׳}\end{aligned}

כל צלע כופלים ב-50.

ב.

4 \cdot 3.2 = 12.8 \text{ מ״ר}

שטח מלבן: אורך כפול רוחב.

ג.

\begin{aligned}400 : 40 &= 10 \\ \quad 320 : 40 &= 8\end{aligned}

כמה אריחים בכל כיוון.

ג.

10 \cdot 8 = 80 \text{ אריחים}

בדיקה: $128{,}000 : 1600 = 80$ ✓

ד.

8 \cdot 6.4 = 51.2 \text{ סמ״ר}

השטח בתוכנית.

ד.

\begin{aligned}128{,}000 : 51.2 &= 2500 \\ &= 50^2\end{aligned}

$12.8$ מ״ר הם $128{,}000$ סמ״ר.

סעיף ד הוא הכלל של הפרק במספרים: האורך פי 50, השטח פי $50^2 = 2500$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

אם האריחים היו 80 ס״מ על 80 ס״מ, כמה אריחים היו נדרשים? למה לא בדיוק חצי?

להציג את התשובה והפתרון

שטח האריח גדל פי $2^2 = 4$ , ולכן צריך רבע: $80 : 4 = 20$ אריחים ( $5 \cdot 4$ ). לא חצי, כי הצלע גדלה פי 2 אבל השטח פי 4.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — דגם: גובה ושטח

פעילות אינטראקטיבית

דגם של בניין

אדריכלית בונה דגם של בניין בקנה מידה $1 : 200$ . גובה הדגם 30 ס״מ, ושטח הגג בדגם 150 סמ״ר. מה גובה הבניין ומה שטח הגג במציאות?

60 מ׳ ו-600 מ״ר

60 מ׳ ו-3 מ״ר

6 מ׳ ו-600 מ״ר

600 מ׳ ו-6,000 מ״ר

איך מוצאים את הגובה?

$30 \cdot 200$ ס״מ

להציג את התשובה והפתרון

גובה הוא אורך: היחס פעם אחת.

$30 \cdot 200^2$ ס״מ

להציג את התשובה והפתרון

בריבוע מעלים רק שטח.

\begin{aligned}30 \cdot 200 &= 6000 \text{ ס״מ} \\ &= 60 \text{ מ׳}\end{aligned}

גובה הבניין

ואיך מוצאים את שטח הגג?

$150 \cdot 200^2$ סמ״ר

להציג את התשובה והפתרון

שטח: היחס בריבוע.

$150 \cdot 200$ סמ״ר

להציג את התשובה והפתרון

זה יחס האורך, והתוצאה קטנה פי 200.

150 \cdot 40{,}000 = 6{,}000{,}000 \text{ סמ״ר}

שטח הגג בסמ״ר

כמה מ״ר זה?

מחלקים ב-10,000

להציג את התשובה והפתרון

$1 \text{ מ״ר} = 10{,}000 \text{ סמ״ר}$

מחלקים ב-100

להציג את התשובה והפתרון

זו המרה של אורך, לא של שטח.

6{,}000{,}000 : 10{,}000 = 600 \text{ מ״ר}

שטח הגג

להציג את התשובה והפתרון

60 מ׳ ו-600 מ״ר. «3 מ״ר» כופל את השטח ביחס האורך. «6 מ׳» ו-«600 מ׳» הם טעויות בהמרה מס״מ למטרים.

לעשות את הפעילות ב-elev

נפח הדגם הוא 4,500 סמ״ק. פי כמה גדול נפח הבניין?

להציג את התשובה והפתרון

פי $200^3 = 8{,}000{,}000$ . אורך פי $k$ , שטח פי $k^2$ , נפח פי $k^3$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. ושאלה 5 שואלת את השאלה ההפוכה: מהשטחים אל קנה המידה.

תרגילים

תרגיל 1

מפת טיולים בקנה מידה $1 : 25{,}000$ . במפה, אורך השביל מהחניון לעין הוא 14 ס״מ. מטייל הולך במהירות קבועה של 5 קמ״ש. שטחו של יער במפה הוא 8 סמ״ר. השלימו.

אורך השביל: ____ ק״מ , זמן ההליכה: ____ דקות , שטח היער: ____ דונם

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אורך השביל: 3.5 ק״מ , זמן ההליכה: 42 דקות , שטח היער: 500 דונם

הפתרון:

\begin{aligned}14 \cdot 25{,}000 &= 350{,}000 \text{ ס״מ} \\ &= 3.5 \text{ ק״מ}\end{aligned}

מהמפה למציאות

\begin{aligned}\frac{3.5}{5} &= 0.7 \text{ שעות} \\ &= 42 \text{ דקות}\end{aligned}

זמן = דרך חלקי מהירות

1 \text{ ס״מ} \to 250 \text{ מ׳} \ \Rightarrow \ 1 \text{ סמ״ר} \to 62{,}500 \text{ מ״ר}

שטח: בריבוע

\begin{aligned}8 \cdot 62{,}500 &= 500{,}000 \text{ מ״ר} \\ &= 500 \text{ דונם}\end{aligned}

לדונם

$0.7$ שעות הן 42 דקות, לא 70. ובשטח: $8 \cdot 250 = 2000$ מ״ר הוא שטח שגדל רק ביחס האורך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

36,000 שקלים מתחלקים בין שלוש אחיות ביחס $1 : 3 : 5$ . כמה מקבלת האחות שחלקה הקטן ביותר?

4,000 שקלים
7,200 שקלים
12,000 שקלים
36,000 שקלים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 4,000 שקלים

הפתרון:

1+3+5=9

9 חלקים

36{,}000 : 9 = 4000

חלק אחד, וזה בדיוק חלקה של הקטנה

הנכונה: 4,000 שקלים. 12,000 הוא חלוקה שווה בין שלוש. 7,200 הוא חילוק ב-5 במקום ב-9.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חדר השינה ABCD

בתוכנית בקנה מידה $1 : 50$ , חדר שינה הוא 9 ס״מ על 7.2 ס״מ. מרצפים אותו באריחים של 45 ס״מ על 45 ס״מ. השלימו.

שטח החדר במציאות: ____ מ״ר , מספר האריחים: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שטח החדר במציאות: 16.2 מ״ר , מספר האריחים: 80

הפתרון:

\begin{aligned}9 \cdot 50 &= 450 \text{ ס״מ} \\ \quad 7.2 \cdot 50 &= 360 \text{ ס״מ}\end{aligned}

המידות במציאות

4.5 \cdot 3.6 = 16.2 \text{ מ״ר}

שטח המלבן

\begin{aligned}(450 : 45) \cdot (360 : 45) &= 10 \cdot 8 \\ &= 80\end{aligned}

אריחים בכל כיוון

בדיקה בדרך השנייה: $162{,}000 : 2025 = 80$ ✓. מי שהמיר $16.2$ מ״ר ל-1,620 סמ״ר קיבל פחות מאריח אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: בדגם בקנה מידה $1 : 200$ , סמ״ר אחד בדגם מייצג 4 מ״ר במציאות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

1 \text{ ס״מ} \to 200 \text{ ס״מ} = 2 \text{ מ׳}

אורך

1 \text{ סמ״ר} \to 2^2 = 4 \text{ מ״ר}

שטח: בריבוע

הטענה נכונה. ריבוע של 1 ס״מ על 1 ס״מ בדגם הוא ריבוע של 2 מ׳ על 2 מ׳ במציאות. מי שענה «2 מ״ר» לא העלה בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שטח דירה במציאות הוא 80 מ״ר, ובתוכנית הוא 20 סמ״ר. קנה המידה של התוכנית הוא $1 : n$ . מצאו את $n$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 200

הפתרון:

80 \text{ מ״ר} = 800{,}000 \text{ סמ״ר}

אותן יחידות

\begin{aligned}k^2 &= 800{,}000 : 20 \\ &= 40{,}000\end{aligned}

יחס השטחים

\begin{aligned}k &= \sqrt{40{,}000} \\ &= 200\end{aligned}

שורש: יחס האורכים

יחס השטחים הוא $k^2$ , לא $k$ . מי שענה 40,000 שכח את השורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — מפת טיולים: מרחק, זמן ושטח

2 — חלוקה ביחס של שלושה

3 — תוכנית דירה: מידות, שטח ואריחים

4 — דגם: גובה ושטח

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev