סדרה 3 — לקראת הבגרות · דמיון משולשים · כיתה י״א

ארבע שאלות בנוסח שאלון 35371, מפורקות לסעיפים: כל סעיף הוא תרגיל, ואותה פתיחה חוזרת בכל סעיפי השאלה. בבחינה עצמה התשובה של סעיף אחד משמשת בסעיף הבא.

כתבו כמו בבחינה: שתי זוויות עם סיבה ואחריהן «משפט ז.ז», אחר כך $k$ , ורק אז החישוב. בדקו יחידות: ס״מ ומטרים, סמ״ר ומ״ר.

תרגילים

תרגיל 1

שני מדפי קיר הם משולשים שווי שוקיים דומים. במדף הקטן $ABC$ השוקיים $AB = AC = 20$ ס״מ והבסיס $BC = 24$ ס״מ. המדף הגדול $DEF$ דומה לו, ויחס הצלעות $5:4$ . א. חשבו את הגובה $AH$ של המדף הקטן, בס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

BH = 12

הגובה לבסיס חוצה אותו

\begin{aligned}AH &= \sqrt{20^2 - 12^2} \\ &= \sqrt{256} \\ &= 16\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABH$

$AH = 16$ ס״מ. חצי הבסיס, $12$ , ולא כולו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

שני מדפי קיר הם משולשים שווי שוקיים דומים. במדף הקטן $ABC$ השוקיים $AB = AC = 20$ ס״מ והבסיס $BC = 24$ ס״מ. המדף הגדול $DEF$ דומה לו, ויחס הצלעות $5:4$ . ב. חשבו את ההיקף של המדף הגדול, בס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 80

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{5}{4} \\ &= 1.25\end{aligned}

מהקטן לגדול

\begin{aligned}DE &= DF \\ &= 25 \\ \quad EF &= 30\end{aligned}

כל צלע פי $1.25$

\begin{aligned}P &= 25 + 25 + 30 \\ &= 80\end{aligned}

$80$ ס״מ. דרך קצרה: $64 \cdot 1.25 = 80$ , כי ההיקף פי $k$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

שני מדפי קיר הם משולשים שווי שוקיים דומים. במדף הקטן $ABC$ השוקיים $AB = AC = 20$ ס״מ והבסיס $BC = 24$ ס״מ. המדף הגדול $DEF$ דומה לו, ויחס הצלעות $5:4$ . ג. חשבו את השטח של המדף הגדול, בסמ״ר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 300

הפתרון:

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{24 \cdot 16}{2} \\ &= 192\end{aligned}

\begin{aligned}S_{DEF} &= 192 \cdot \frac{25}{16} \\ &= 300\end{aligned}

השטחים ביחס $k^2$

$300$ סמ״ר. בדיקה: גובה הגדול $20$ ובסיסו $30$ , ו- $\frac{30 \cdot 20}{2} = 300$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נגה רוצה לדעת את גובה בניין המגורים שלה. היא מניחה מראה $M$ על הקרקע, $25$ מטר מבסיס הבניין, ונסוגה עד שהיא רואה במראה את הגג, כשהיא עומדת $1.5$ מטר מהמראה. העיניים שלה בגובה $1.8$ מטר. א. מדוע $\triangle EFM \sim \triangle TBM$ ? ( $EF$ נגה, $TB$ הבניין.)

$EF = TB$ ו- $FM = BM$
יחס הצלעות שווה
הזוויות ב- $M$ קודקודיות
$\angle F = \angle B = 90^\circ$ וזווית הפגיעה שווה לזווית ההחזרה: משפט ז.ז

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\angle F = \angle B = 90^\circ$ וזווית הפגיעה שווה לזווית ההחזרה: משפט ז.ז

הפתרון:

\begin{aligned}\angle F &= \angle B \\ &= 90^\circ\end{aligned}

נגה והבניין מאונכים לקרקע

\angle EMF = \angle TMB

זווית פגיעה שווה לזווית החזרה

\triangle EFM \sim \triangle TBM

משפט ז.ז

הזוויות ב- $M$ אינן קודקודיות: הן משני צדי הנורמל, על אותו צד של הקרקע. הסיבה היא חוק ההחזרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{TB}{EF} &= \frac{BM}{FM} \\ &= \frac{25}{1.5}\end{aligned}

צלעות מתאימות

\begin{aligned}TB &= 1.8 \cdot \frac{25}{1.5} \\ &= 30\end{aligned}

$30$ מטר. המרחק $25$ הוא מהבניין עד המראה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נגה רוצה לדעת את גובה בניין המגורים שלה. היא מניחה מראה $M$ על הקרקע, $25$ מטר מבסיס הבניין, ונסוגה עד שהיא רואה במראה את הגג, כשהיא עומדת $1.5$ מטר מהמראה. העיניים שלה בגובה $1.8$ מטר. ג. מעלית עולה מהקרקע עד הגג במהירות $2.5$ מטר לשנייה. כמה שניות נמשכת העלייה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

TB = 30

מסעיף ב

\begin{aligned}t &= \frac{30}{2.5} \\ &= 12\end{aligned}

זמן = דרך חלקי מהירות

$12$ שניות. $30 \cdot 2.5 = 75$ אינו זמן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

AC

המדרגות,

BC

הגובה.

מדרגות נעות $AC$ עולות לגובה $BC = 7$ מטר, לאורך מרחק אופקי $AB = 24$ מטר. א. חשבו את אורך המדרגות $AC$ , במטרים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{24^2 + 7^2} \\ &= \sqrt{625} \\ &= 25\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABC$

$AC = 25$ מטר. היתר הוא הצלע הארוכה: מחברים ריבועים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מדרגות נעות $AC$ עולות לגובה $BC = 7$ מטר, לאורך מרחק אופקי $AB = 24$ מטר. ב. נוסע עלה $10$ מטר לאורך המדרגות מ- $A$ , עד הנקודה $E$ . $D$ היא הנקודה על הרצפה שמתחת ל- $E$ . באיזה גובה $DE$ נמצא הנוסע, במטרים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.8

הפתרון:

\triangle ADE \sim \triangle ABC

זווית $A$ משותפת ו- $\angle D = \angle B = 90^\circ$ : משפט ז.ז

\begin{aligned}\frac{DE}{BC} &= \frac{AE}{AC} \\ &= \frac{10}{25}\end{aligned}

צלעות מתאימות

\begin{aligned}DE &= 7 \cdot 0.4 \\ &= 2.8\end{aligned}

$2.8$ מטר. $AE$ מתאימה ל- $AC$ (היתרים), לא ל- $AB$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

גינה ציבורית היא משולש $ABC$ ששטחו $250$ מ״ר. שביל ישר $DE$ מקביל לצלע $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ), ו- $AD : DB = 2 : 3$ . א. מהו שטח המשולש $ADE$ , במ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

\triangle ADE \sim \triangle ABC

זווית משותפת וזוויות מתאימות בין ישרים מקבילים: משפט ז.ז

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{2}{5}\end{aligned}

חלק מול שלם

\begin{aligned}S_{ADE} &= 250 \cdot \frac{4}{25} \\ &= 40\end{aligned}

$40$ מ״ר. עם $\frac{2}{3}$ במקום $\frac{2}{5}$ יוצא יותר מ- $100$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

גינה ציבורית היא משולש $ABC$ ששטחו $250$ מ״ר. שביל ישר $DE$ מקביל לצלע $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ), ו- $AD : DB = 2 : 3$ . ב. את הטרפז $DBCE$ מכסים בדשא, במחיר $30$ ₪ למ״ר. כמה שקלים עולה הדשא?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6300

הפתרון:

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 250 - 40 \\ &= 210\end{aligned}

מסעיף א

210 \cdot 30 = 6300

$6300$ ₪. הדשא על הטרפז, לא על המשולש $ADE$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev