התפלגות שכיחויות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרים תלמידים נבחנו, ומישהו רשם את כל העשרים: 8, 6, 7, 8, 9... רשימה כזאת היא רעש. טבלת שכיחויות מקפלת אותה לחמש שורות: ליד כל ציון — כמה פעמים הוא הופיע. המספר הזה נקרא שכיחות, וסכום כל השכיחויות חייב להיות מספר התלמידים.

0246836578839110
עשרים הציונים של הכיתה, שורה לכל ציון. שימו לב שהעמודה הגבוהה ביותר — 8 — היא השכיח.

הממוצע המשוקלל

אי אפשר לחשב 6+7+8+9+105\frac{6+7+8+9+10}{5} — זה מתייחס לכל ציון כאילו הופיע פעם אחת. הציון 8 הופיע שמונה פעמים, ומגיע לו משקל של שמונה. לכן כופלים כל ציון בשכיחות שלו:

xˉ=6⋅3+7⋅5+8⋅8+9⋅3+10⋅120=15420=7.7\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{6 \cdot 3 + 7 \cdot 5 + 8 \cdot 8 + 9 \cdot 3 + 10 \cdot 1}{20} \\ &= \frac{154}{20} \\ &= 7.7\end{aligned}

המונה הוא סכום כל עשרים הציונים; המכנה — מספר התלמידים, לא מספר השורות.

מדוע המכנה הוא 20 ולא 5?

להציג את התשובה והפתרון

כי מחלקים במספר התצפיות — עשרים תלמידים — ולא במספר השורות בטבלה. חמש השורות הן רק דרך מקוצרת לכתוב עשרים מספרים.

חציון ושכיח

השכיח הוא הציון עם השכיחות הגבוהה ביותר — כאן 8. החציון הוא הערך האמצעי כשמסדרים את כל העשרים בשורה: בין המקום העשירי לאחד-עשר. סופרים לאורך הטבלה: שלושה ציוני 6, ועוד חמישה — שמונה תצפיות עד סוף ה-7. המקומות 9 עד 16 כולם ציון 8, ולכן החציון הוא 8.

בטבלה שלנו — האם ייתכן שהחציון והשכיח שווים והממוצע שונה משניהם?

להציג את התשובה והפתרון

כן, וזה בדיוק המצב: חציון 8, שכיח 8, ממוצע 7.7. הממוצע רגיש לערכים הקיצוניים (שלושת ציוני ה-6 מושכים אותו מטה), החציון לא.

הטעות הקבועה של הפרק.

xˉ=6+7+8+9+105=8\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{6+7+8+9+10}{5} \\ &= 8\end{aligned}
xˉ=∑x⋅f20=7.7\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{\sum x \cdot f}{20} \\ &= 7.7\end{aligned}

בלי המשקלות, ציון שהופיע פעם אחת שווה לציון שהופיע שמונה פעמים. הטבלה מקפלת עשרים מספרים — צריך לפרוש אותה בחזרה.

תרגילים

תרגיל 1

בכיתה 20 תלמידים. הציון 6 הופיע 3 פעמים, 7 הופיע 5, 8 הופיע 8, 9 הופיע 3, ו-10 הופיע פעם אחת. מהו הממוצע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.7

הפתרון:

6⋅3+7⋅5+8⋅8+9⋅3+1020\frac{6 \cdot 3 + 7 \cdot 5 + 8 \cdot 8 + 9 \cdot 3 + 10}{20}

כופלים כל ציון בשכיחותו

15420=7.7\frac{154}{20} = 7.7
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותה טבלה — מהו השכיח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

f(8)=8f(8) = 8

השכיחות הגבוהה ביותר

השכיח הוא הציון שחוזר הכי הרבה — לא השכיחות שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

באותה טבלה — מהו החציון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

3+5=83 + 5 = 8

עד סוף ציוני ה-7 — שמונה תצפיות

9≤10,11≤169 \le 10, 11 \le 16

המקומות 10 ו-11 שניהם בתוך גוש ה-8

מסדרים את עשרים הציונים; האמצע — בין העשירי לאחד-עשר — נופל בתוך שמונת ציוני ה-8.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

באותה טבלה — כמה תלמידים קיבלו לפחות 9?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

3+1=43 + 1 = 4

ציון 9 ומעלה: שלושה תשיעיות ועשירייה אחת

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

באותה טבלה — איזה אחוז מהתלמידים קיבל בדיוק 8? (באחוזים)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

820=0.4\frac{8}{20} = 0.4
0.4=40%0.4 = 40\%
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במדידת נעליים בחנות: מידה 4 נמכרה 3 פעמים, מידה 5 נמכרה 5 פעמים, מידה 6 נמכרה פעמיים. מהו ממוצע המידות שנמכרו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.9

הפתרון:

4⋅3+5⋅5+6⋅210\frac{4 \cdot 3 + 5 \cdot 5 + 6 \cdot 2}{10}

עשר מכירות בסך הכול

12+25+1210=4910=4.9\begin{aligned}\frac{12 + 25 + 12}{10} &= \frac{49}{10} \\ &= 4.9\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בטבלת שכיחויות: הערך 5 הופיע 4 פעמים, הערך 6 הופיע xx פעמים, הערך 7 הופיע 6 פעמים. ידוע שבסך הכול 15 תצפיות. מהו xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

4+x+6=154 + x + 6 = 15

סכום השכיחויות = מספר התצפיות

x=5x = 5
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

כל תלמיד בכיתה קיבל תוספת של נקודה אחת לציונו. מה קורה לממוצע?

  1. עולה ב-1
  2. עולה ב-20
  3. אי אפשר לדעת
  4. אינו משתנה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א עולה ב-1

הפתרון:

∑(x+1)f20=∑xf+2020=xˉ+1\begin{aligned}\frac{\sum (x+1) f}{20} &= \frac{\sum x f + 20}{20} \\ &= \bar{x} + 1\end{aligned}

כל אחד מעשרים הציונים גדל ב-1, ולכן הסכום גדל ב-20 והממוצע — ב-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מהו החציון של הרשימה: 2, 3, 3, 7, 9, 10?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

3+72=5\frac{3 + 7}{2} = 5

שש תצפיות — ממצעים את שתי האמצעיות

כשמספר התצפיות זוגי, החציון הוא ממוצע שתי האמצעיות — והוא בכלל לא חייב להופיע ברשימה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ממוצע של 9 תצפיות הוא 6. הצטרפה תצפית עשירית בערך 16. מהו הממוצע החדש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

9⋅6=549 \cdot 6 = 54

סכום תשע הראשונות

54+1610=7010=7\begin{aligned}\frac{54 + 16}{10} &= \frac{70}{10} \\ &= 7\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת