תוחלת

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בהגרלה יש כרטיסים של 50 שקלים (אחד מכל עשרה), כרטיסים של 10 שקלים (שלושה מכל עשרה), והשאר — כלום. כמה «שווה» כרטיס אחד? לא 50 ולא 0: אם נקנה הרבה כרטיסים, מה נקבל בממוצע לכרטיס? המספר הזה נקרא תוחלת.

E=50⋅110+10⋅310+0⋅610=5+3+0=8\begin{aligned}E &= 50 \cdot \frac{1}{10} + 10 \cdot \frac{3}{10} + 0 \cdot \frac{6}{10} \\ &= 5 + 3 + 0 \\ &= 8\end{aligned}

כל פרס כפול ההסתברות שלו, והכול מחובר. כרטיס «שווה» 8 שקלים.

שימו לב מה התוחלת איננה: אף כרטיס לא נותן 8 שקלים. התוחלת היא לא ניבוי של המקרה הבא — היא הממוצע של הרבה מאוד מקרים. זו בדיוק הסיבה שחברת ביטוח מרוויחה ושחקן קזינו מפסיד: שניהם חיים לאורך זמן, והתוחלת מנצחת תמיד לאורך זמן.

כרטיס בהגרלה שלנו עולה 10 שקלים. משתלם לקנות?

להציג את התשובה והפתרון

לא. משלמים 10 ומקבלים בממוצע 8 — הפסד ממוצע של 2 שקלים לכרטיס. מי שקונה אלף כרטיסים יפסיד בערך אלפיים שקלים.

משחק הוגן

משחק נקרא הוגן כשתוחלת הרווח היא בדיוק אפס: בממוצע לא מרוויחים ולא מפסידים. ברווח נספור גם את מה ששילמנו — פרס 50 בכרטיס שעלה 10 הוא רווח של 40, וכרטיס ריק הוא רווח של מינוס 10.

באיזה מחיר כרטיס ההגרלה שלנו הופך את המשחק להוגן?

להציג את התשובה והפתרון

במחיר 8 — בדיוק התוחלת. אז תוחלת הרווח היא 8−8=08 - 8 = 0.

שתי מלכודות של תוחלת.

E=50+10+03=20\begin{aligned}E &= \frac{50 + 10 + 0}{3} \\ &= 20\end{aligned}
E=∑x⋅p=8\begin{aligned}E &= \sum x \cdot p \\ &= 8\end{aligned}

ממוצע פשוט של הפרסים מתעלם מההסתברויות — כאילו פרס נדיר שכיח כמו פרס נפוץ.

p1+p2+p3=0.9p_1 + p_2 + p_3 = 0.9
∑p=1\sum p = 1

לפני כל חישוב, בדקו שההסתברויות מסתכמות ל-1. אם לא — חסרה תוצאה, או שיש טעות.

תרגילים

תרגיל 1

בהגרלה: פרס של 50 שקלים בהסתברות 110\frac{1}{10}, פרס של 10 שקלים בהסתברות 310\frac{3}{10}, ואפס אחרת. מהי התוחלת (בשקלים)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

E=50⋅110+10⋅310E = 50 \cdot \frac{1}{10} + 10 \cdot \frac{3}{10}

האפס לא תורם

E=5+3=8\begin{aligned}E &= 5 + 3 \\ &= 8\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בהגרלה אחרת: 100 שקלים בהסתברות 120\frac{1}{20}, 20 שקלים בהסתברות 14\frac{1}{4}, ואפס אחרת. מהי התוחלת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

E=100⋅120+20⋅14E = 100 \cdot \frac{1}{20} + 20 \cdot \frac{1}{4}
E=5+5=10\begin{aligned}E &= 5 + 5 \\ &= 10\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מטילים קובייה הוגנת ומקבלים בשקלים את המספר שיצא. מהי תוחלת הזכייה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.5

הפתרון:

E=1+2+3+4+5+66E = \frac{1+2+3+4+5+6}{6}

כל תוצאה בהסתברות 16\frac{1}{6}

E=216=3.5\begin{aligned}E &= \frac{21}{6} \\ &= 3.5\end{aligned}

עוד דוגמה שהתוחלת לא חייבת להיות תוצאה אפשרית: אין פאה של 3.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשחק: בהסתברות 0.3 מרוויחים 20 שקלים, בהסתברות 0.7 מפסידים 10. מהי תוחלת הרווח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

E=20⋅0.3+(−10)⋅0.7E = 20 \cdot 0.3 + (-10) \cdot 0.7

הפסד נכנס עם סימן מינוס

E=6−7=−1\begin{aligned}E &= 6 - 7 \\ &= -1\end{aligned}

תוחלת שלילית: לאורך זמן המשחק הזה מפסיד שקל למשחק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו משחק הוגן?

  1. משחק שמנצחים בו חצי מהפעמים
  2. משחק בלי הפסדים
  3. משחק שהפרסים בו שווים
  4. משחק שתוחלת הרווח בו 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד משחק שתוחלת הרווח בו 0

הפתרון:

E=0E = 0

הוגנות היא עניין של תוחלת, לא של תדירות: אפשר לנצח לעיתים רחוקות סכום גדול — וזה עדיין הוגן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בהגרלת בית הספר כרטיס עולה 5 שקלים, והפרס היחיד — 40 שקלים — יוצא בהסתברות 110\frac{1}{10}. מהי תוחלת הרווח של קונה כרטיס?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

E=(40−5)⋅110+(−5)⋅910E = (40 - 5) \cdot \frac{1}{10} + (-5) \cdot \frac{9}{10}

זוכה: רווח 35 ; מפסיד: מינוס 5

E=3.5−4.5=−1\begin{aligned}E &= 3.5 - 4.5 \\ &= -1\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

משתנה מקבל את הערך 4 בהסתברות pp ואת הערך 10 בהסתברות 1−p1-p. ידוע שהתוחלת היא 6. מהו pp? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.667

הפתרון:

4p+10(1−p)=64p + 10(1 - p) = 6
10−6p=610 - 6p = 6
p=46=23≈0.67\begin{aligned}p &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3} \approx 0.67\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בהגרלה: 14\frac{1}{4} לזכות ב-12 שקלים, 14\frac{1}{4} לזכות ב-4 שקלים, והשאר — כלום. באיזה מחיר כרטיס (בשקלים) המשחק הוגן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

E=12⋅14+4⋅14=3+1=4\begin{aligned}E &= 12 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 3 + 1 \\ &= 4\end{aligned}

מחיר הוגן = התוחלת

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מכונה מייצרת חלק תקין בהסתברות 0.9. חלק תקין מכניס 8 שקלים, פגום עולה 12 שקלים (רווח שלילי). מהי תוחלת הרווח לחלק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

E=8⋅0.9+(−12)⋅0.1E = 8 \cdot 0.9 + (-12) \cdot 0.1
E=7.2−1.2=6\begin{aligned}E &= 7.2 - 1.2 \\ &= 6\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בקופסה שני פתקים: על אחד רשום 30 ועל השני 0. מוציאים פתק אחד. כמה הגרלות כאלה בממוצע נדרשות כדי שסך הזכיות יגיע ל-60?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

E=30⋅12=15\begin{aligned}E &= 30 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 15\end{aligned}

תוחלת להגרלה אחת

6015=4\frac{60}{15} = 4

בממוצע כל הגרלה «שווה» 15, ולכן ארבע הגרלות מצטברות ל-60.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת