הסתברות מטבלה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

סקר בשכבה של 100 תלמידים: מתוך 60 הבנים, 24 רשומים לחוג ספורט; מתוך 40 הבנות — 26 רשומות. סך הכול 50 רשומים. מהמספרים האלה אפשר לענות על שאלות שנשמעות דומות — אבל שונות לגמרי.

P(sport)=50100=0.5\begin{aligned}P(\text{sport}) &= \frac{50}{100} \\ &= 0.5\end{aligned}

בחרנו תלמיד אקראי מכל השכבה — המכנה הוא 100.

ועכשיו עם תנאי

«בחרנו בת אקראית. מה ההסתברות שהיא בחוג?» — המילה «בת» צמצמה את העולם: כבר לא 100 תלמידים אלא 40 בנות. המכנה מתחלף, וזו כל התורה של הסתברות מותנית.

P(sport∣fille)=2640=0.65\begin{aligned}P(\text{sport} \mid \text{fille}) &= \frac{26}{40} \\ &= 0.65\end{aligned}

רק שורת הבנות: 26 רשומות מתוך 40.

ומה ההסתברות שתלמיד רשום לחוג הוא בת?

להציג את התשובה והפתרון

עכשיו העולם הוא 50 הרשומים, והשאלה כמה מהם בנות: 2650=0.52\frac{26}{50} = 0.52. אותם 26 במונה — מכנה אחר לגמרי.

שימו לב: P(sport∣fille)=0.65P(\text{sport} \mid \text{fille}) = 0.65 אבל P(fille∣sport)=0.52P(\text{fille} \mid \text{sport}) = 0.52. הסדר בתנאי משנה את התשובה. «מבין הבנות, כמה בחוג» ו«מבין החוג, כמה בנות» הן שתי שאלות שונות.

מה ההסתברות שבן אקראי אינו רשום לחוג?

להציג את התשובה והפתרון

מתוך 60 הבנים, 60−24=3660 - 24 = 36 לא רשומים: 3660=0.6\frac{36}{60} = 0.6.

המלכודת של הפרק — לבלבל בין שני הכיוונים.

P(A∣B)=P(B∣A)P(A \mid B) = P(B \mid A)
P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

המונה משותף — החיתוך — אבל המכנה הוא התנאי. תנאי אחר, מכנה אחר, תשובה אחרת.

תרגילים

תרגיל 1

בשכבה 100 תלמידים: 60 בנים שמתוכם 24 בחוג ספורט, ו-40 בנות שמתוכן 26 בחוג. מה ההסתברות שתלמיד אקראי מהשכבה רשום לחוג? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

24+26=5024 + 26 = 50

כל הרשומים

50100=0.5\frac{50}{100} = 0.5
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותם נתונים: בחרו בן אקראי. מה ההסתברות שהוא בחוג? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4

הפתרון:

2460=0.4\frac{24}{60} = 0.4

העולם הצטמצם ל-60 הבנים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

באותם נתונים: בחרו בת אקראית. מה ההסתברות שהיא בחוג? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.65

הפתרון:

2640=0.65\frac{26}{40} = 0.65
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

באותם נתונים: בחרו תלמיד רשום לחוג. מה ההסתברות שזו בת? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.52

הפתרון:

2650=0.52\frac{26}{50} = 0.52

המכנה הוא 50 הרשומים — לא 40 הבנות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

באותם נתונים: מה ההסתברות שתלמיד אקראי הוא בן וגם רשום לחוג? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.24

הפתרון:

24100=0.24\frac{24}{100} = 0.24

«וגם» — בלי תנאי: המכנה נשאר 100

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מדוע P(חוג∣בת)≠P(בת∣חוג)P(\text{חוג} \mid \text{בת}) \ne P(\text{בת} \mid \text{חוג})?

  1. כי יש יותר בנים
  2. המונים שונים
  3. המכנים שונים
  4. הן תמיד שוות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג המכנים שונים

הפתרון:

2640≠2650\frac{26}{40} \ne \frac{26}{50}

אותו מונה, מכנה אחר

בשתיהן המונה 26 — הבנות שבחוג. אבל תנאי «בת» נותן מכנה 40, ותנאי «חוג» נותן מכנה 50.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בבית ספר 200 תלמידים: 120 לומדים צרפתית, ומתוכם 90 גם אנגלית. בחרו לומד צרפתית אקראי — מה ההסתברות שהוא לומד גם אנגלית? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

90120=0.75\frac{90}{120} = 0.75

המכנה: לומדי הצרפתית בלבד

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בכיתה 30 תלמידים, 18 מהם בנות. 10 בנות ו-6 בנים מגיעים באופניים. בחרו רוכב אופניים אקראי — מה ההסתברות שזו בת? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.63

הפתרון:

10+6=1610 + 6 = 16

כל הרוכבים

1016=0.625≈0.63\frac{10}{16} = 0.625 \approx 0.63
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

באותה כיתה: בחרו בן אקראי. מה ההסתברות שהוא מגיע באופניים? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

30−18=1230 - 18 = 12

מספר הבנים

612=0.5\frac{6}{12} = 0.5
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מפעל: מכונה א' מייצרת 70 חלקים ביום ו-7 מהם פגומים; מכונה ב' — 30 חלקים ו-6 פגומים. נמצא חלק פגום. מה ההסתברות שהוא ממכונה ב'? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.46

הפתרון:

7+6=137 + 6 = 13

כל הפגומים

613≈0.46\frac{6}{13} \approx 0.46

אף שמכונה ב' מייצרת פחות, כמעט מחצית הפגומים שלה — כי אחוז הפגומים שלה גבוה פי שלושה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת