פותרים יחד · סטטיסטיקה והסתברות · כיתה י״א

ארבע שאלות בנוסח שאלת הסטטיסטיקה בבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: דיאגרמת עמודות ונתונים שנוספים, דיאגרמה עגולה עם חלק חסר, שכיחות לא ידועה שמוצאים מהממוצע, וטבלה דו-ממדית. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

בכל שאלה, לפני כל חישוב: כמה נתונים יש בסך הכול? המספר הזה הוא המכנה של הממוצע, והוא קובע איפה נמצא החציון.

1 — דיאגרמת עמודות, ושני נתונים שנוספים

מספר הספרים שקראו

25

תלמידים בחופש

פעילות אינטראקטיבית

בדיאגרמה: מספר הספרים שקרא כל תלמיד בחופש. א. כמה תלמידים יש בכיתה? ב. מצאו את מספר הספרים הממוצע. ג. מצאו את החציון. ד. שני תלמידים חדשים, שקראו $4$ ספרים כל אחד, הצטרפו לכיתה. האם הממוצע גדל, קטן או לא השתנה? והחציון?

\bar{x} = \frac{\sum x \cdot f}{n}

לחצו «להתחיל». גובה כל עמודה הוא שכיחות: כמה תלמידים קראו את מספר הספרים שמתחתיה.

א.

\begin{aligned}n &= 3+6+8+5+3 \\ &= 25\end{aligned}

סכום גובהי העמודות.

ב. מונה

0 \cdot 3+1 \cdot 6+2 \cdot 8+3 \cdot 5+4 \cdot 3 = 49

כל ערך כפול השכיחות שלו.

ב.

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{49}{25} \\ &= 1.96\end{aligned}

מחלקים במספר התלמידים, לא במספר העמודות.

ג. המקום

\frac{25+1}{2} = 13

החציון הוא הנתון ה- $13$ בסדר עולה.

ג.

\begin{aligned}3 \ \\ \ 3+6 &= 9 \ \\ \ 9+8 &= 17 \ \Rightarrow \ Me \\ &= 2\end{aligned}

המקומות $10$ עד $17$ שייכים לערך $2$ .

ד. ממוצע

\frac{49+8}{27} = \frac{57}{27} \approx 2.11 > 1.96

הממוצע גדל: שני הנתונים החדשים גדולים ממנו.

ד. חציון

\begin{aligned}\frac{27+1}{2} &= 14 \ \Rightarrow \ Me \\ &= 2\end{aligned}

הנתון ה- $14$ עדיין בין $10$ ל- $17$ : החציון לא השתנה.

הממוצע מושפע מכל נתון. החציון זז רק אם מספיק נתונים עוברים לצד אחד שלו.

לעשות את הפעילות ב-elev

בסעיף ד — כמה תלמידים שקראו $4$ ספרים צריכים להצטרף, כדי שהחציון ישתנה?

להציג את התשובה והפתרון

$9$ תלמידים. עם $34$ תלמידים החציון הוא ממוצע הנתונים ה- $17$ וה- $18$ : $\frac{2+3}{2} = 2.5$ . עם $8$ תלמידים חדשים ( $33$ תלמידים) הנתון האמצעי הוא ה- $17$ , והוא עדיין $2$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה. שאלה 5 חוזרת על סעיף ד, בחישוב.

2 — דיאגרמה עגולה עם חלק חסר

איך מגיעים

400

התלמידים לבית הספר

אוטובוס45%
הליכה30%
אופניים ורכב?

פעילות אינטראקטיבית

חלק חסר בדיאגרמה עגולה

בבית ספר $400$ תלמידים. הדיאגרמה מתארת איך הם מגיעים לבית הספר. מספר התלמידים שמגיעים באופניים שווה למספר התלמידים שמגיעים ברכב. כמה תלמידים מגיעים באופניים?

$50$

$100$

$12.5$

$25$

איזה אחוז מהתלמידים מגיע באופניים או ברכב?

$100\% - 45\% - 30\% = 25\%$

להציג את התשובה והפתרון

כל העיגול הוא $100\%$ .

$45\% - 30\% = 15\%$

להציג את התשובה והפתרון

החלק החסר הוא מה שחסר עד $100\%$ , לא ההפרש בין שני החלקים.

100 - 45 - 30 = 25

$25\%$ לשתי הקבוצות יחד

איזה אחוז מגיע באופניים?

$12.5\%$

להציג את התשובה והפתרון

שתי קבוצות שוות: מחלקים את $25\%$ לשניים.

$25\%$

להציג את התשובה והפתרון

$25\%$ הם אופניים ורכב יחד.

25 : 2 = 12.5

$12.5\%$ באופניים

כמה תלמידים זה?

$0.125 \cdot 400 = 50$

להציג את התשובה והפתרון

אחוז מתוך כל התלמידים.

להציג את התשובה והפתרון

זה האחוז. השאלה שואלת על מספר תלמידים.

0.125 \cdot 400 = 50

$50$ תלמידים

להציג את התשובה והפתרון

$50$ תלמידים. $100$ הם התלמידים שמגיעים באופניים או ברכב. $12.5$ הוא האחוז, ולא מספר התלמידים.

לעשות את הפעילות ב-elev

כמה מעלות יש בגזרה של ההולכים ברגל?

להציג את התשובה והפתרון

$108^{\circ}$ . $30\%$ מ- $360^{\circ}$ : $0.3 \cdot 360 = 108$ . כל אחוז בעיגול שווה $3.6^{\circ}$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — שכיחות לא ידועה, מתוך הממוצע

מחירי הכרטיסים שנמכרו להצגה

מחיר כרטיס (ש״ח)	20	40	60
מספר כרטיסים	10	$x$	5

פעילות אינטראקטיבית

בטבלה: מחירי הכרטיסים שנמכרו להצגה. מספר הכרטיסים שנמכרו ב- $40$ ש״ח לא ידוע. המחיר הממוצע של כרטיס היה $35$ ש״ח. א. מצאו את $x$ . ב. מצאו את החציון של מחירי הכרטיסים.

\frac{20 \cdot 10+40x+60 \cdot 5}{10+x+5} = 35

לחצו «להתחיל». כותבים את הממוצע כרגיל, עם $x$ במונה ובמכנה.

א. מונה

200+40x+300 = 500+40x

סכום כל המחירים.

א. מכנה

10+x+5 = 15+x

מספר הכרטיסים כולל את $x$ .

א. משוואה

\begin{aligned}500+40x &= 35(15+x) \\ &= 525+35x\end{aligned}

כופלים במכנה.

א.

\begin{aligned}5x &= 25 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

נמכרו $5$ כרטיסים ב- $40$ ש״ח.

ב. המקום

\begin{aligned}n &= 20 \ \Rightarrow \ \text{Me} \\ &= \frac{x_{10}+x_{11}}{2}\end{aligned}

מספר זוגי: ממוצע של שני האמצעיים.

ב.

\frac{20+40}{2} = 30

הנתון ה- $10$ הוא $20$ , והנתון ה- $11$ הוא $40$ .

החציון, $30$ ש״ח, אינו אחד המחירים. כשמספר הנתונים זוגי, זה קורה.

לעשות את הפעילות ב-elev

מי ששוכח את $x$ במכנה כותב $\frac{500+40x}{15} = 35$ . מה הוא מקבל, ואיך רואים שזה לא הגיוני?

להציג את התשובה והפתרון

הוא מקבל $x = 0.625$ : לא מספר שלם של כרטיסים. זה סימן בטוח לטעות. המכנה הוא כל הכרטיסים, גם אלה שמספרם לא ידוע.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — טבלה דו-ממדית: «מבין» משנה את המכנה

מבקרים במוזיאון ביום אחד

	עם סיור מודרך	בלי סיור	סך הכול
מבוגרים	45	75	120
ילדים	50	30	80
סך הכול	95	105	200

פעילות אינטראקטיבית

בטבלה: המבקרים במוזיאון ביום אחד. א. איזה אחוז מהמבקרים הצטרפו לסיור מודרך? ב. איזה אחוז מבין הילדים הצטרפו לסיור? ג. בוחרים באקראי מבקר שהצטרף לסיור. מה ההסתברות שזה ילד? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

n = 200

לחצו «להתחיל». בכל סעיף שאלו: מתוך מי? התשובה היא המכנה.

א.

\begin{aligned}\frac{95}{200} &= 0.475 \\ &= 47.5\%\end{aligned}

מתוך כל $200$ המבקרים.

ב.

\begin{aligned}\frac{50}{80} &= 0.625 \\ &= 62.5\%\end{aligned}

רק שורת הילדים: המכנה $80$ .

ג.

\frac{50}{95} \approx 0.53

רק עמודת הסיור: המכנה $95$ .

אותו מונה, $50$ , בסעיפים ב ו-ג. המכנה משתנה לפי המילים «מבין הילדים» ו«מבקר שהצטרף לסיור».

לעשות את הפעילות ב-elev

איזה אחוז מבין המבוגרים הצטרפו לסיור? האם ילדים הצטרפו יותר מהמבוגרים?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{45}{120} = 37.5\%$ . כן, $62.5\% > 37.5\%$ . מספר המבוגרים בסיור ( $45$ ) קרוב למספר הילדים ( $50$ ), אבל רק השוואה של אחוזים מתאימה כשהקבוצות בגדלים שונים.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

מספר האחים של

25

תלמידים

בדיאגרמה: מספר האחים של כל תלמיד בכיתה. השלימו.

מספר התלמידים: ____ ; מספר האחים הממוצע: ____ ; החציון: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מספר התלמידים: 25 ; מספר האחים הממוצע: 2.04 ; החציון: 2

הפתרון:

\begin{aligned}n &= 2+8+6+5+4 \\ &= 25\end{aligned}

סכום השכיחויות

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{0 \cdot 2+1 \cdot 8+2 \cdot 6+3 \cdot 5+4 \cdot 4}{25} \\ &= \frac{51}{25} \\ &= 2.04\end{aligned}

ממוצע משוקלל

\begin{aligned}2 \ \\ \ 10 \ \\ \ 16 \ \Rightarrow \ x_{13} &= 2\end{aligned}

הנתון ה- $13$

מי שמחלק ב- $5$ (מספר העמודות) מקבל $10.2$ אחים לתלמיד, וזה לא הגיוני. המכנה הוא מספר התלמידים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מאיפה

600

תושבים שומעים חדשות

אינטרנט35%
טלוויזיה25%
רדיו ועיתון?

בסקר השתתפו $600$ תושבים. הדיאגרמה מתארת מאיפה הם שומעים חדשות. מספר השומעים ברדיו שווה למספר הקוראים בעיתון. כמה תושבים שומעים חדשות ברדיו?

$120$
$240$
$60$
$20$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $120$

הפתרון:

100 - 35 - 25 = 40

רדיו ועיתון יחד: $40\%$

40 : 2 = 20

רדיו: $20\%$

0.2 \cdot 600 = 120

מספר התושבים

הנכונה: $120$ . $240$ הם רדיו ועיתון יחד, ו- $20$ הוא האחוז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

שעות ספורט בשבוע

שעות בשבוע	2	6	9
מספר תלמידים	6	$x$	4

בטבלה: מספר שעות הספורט בשבוע של תלמידי שכבה. מספר התלמידים שמתאמנים $6$ שעות לא ידוע. מספר השעות הממוצע הוא $5.5$ . מצאו את $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

\frac{2 \cdot 6+6x+9 \cdot 4}{10+x} = 5.5

הממוצע, עם $x$ גם במכנה

48+6x = 55+5.5x

כופלים במכנה

\begin{aligned}0.5x &= 7 \ \Rightarrow \ x \\ &= 14\end{aligned}

פותרים

$x = 14$ . בדיקה: $\frac{12+84+36}{24} = \frac{132}{24} = 5.5$ ✓. בלי $x$ במכנה מתקבלת תשובה שאינה מספר שלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

עובדים בחברה

	מגיעים באופניים	לא באופניים	סך הכול
גברים	30	90	120
נשים	32	48	80
סך הכול	62	138	200

בטבלה: העובדים בחברה, לפי מגדר ולפי הדרך שבה הם מגיעים לעבודה. השלימו. את ההסתברות עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

אחוז העובדים שמגיעים באופניים: ____ % ; האחוז מבין הנשים: ____ % ; בוחרים באקראי עובד שמגיע באופניים — ההסתברות שזו אישה: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אחוז העובדים שמגיעים באופניים: 31 % ; האחוז מבין הנשים: 40 % ; בוחרים באקראי עובד שמגיע באופניים — ההסתברות שזו אישה: 0.52

הפתרון:

\frac{62}{200} = 31\%

מתוך כל העובדים

\frac{32}{80} = 40\%

שורת הנשים

\frac{32}{62} \approx 0.52

עמודת האופניים

שלוש שאלות, שלושה מכנים: $200$ , $80$ ו- $62$ . $\frac{32}{200} = 0.16$ עונה על «אישה וגם מגיעה באופניים», ולא על השאלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בכיתה $24$ תלמידים, והציון הממוצע במבחן הוא $76$ . שני תלמידים חדשים נבחנו וקיבלו $88$ ו- $94$ . מהו הציון הממוצע של כל $26$ התלמידים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 77.15

הפתרון:

24 \cdot 76 = 1824

סכום הציונים הישנים

1824+88+94 = 2006

הסכום החדש

\frac{2006}{26} \approx 77.15

הממוצע החדש

הממוצע גדל, כי שני הציונים החדשים גדולים מ- $76$ . $\frac{76+88+94}{3} = 86$ נותן לכל הכיתה משקל של תלמיד אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — דיאגרמת עמודות, ושני נתונים שנוספים

2 — דיאגרמה עגולה עם חלק חסר

3 — שכיחות לא ידועה, מתוך הממוצע

4 — טבלה דו-ממדית: «מבין» משנה את המכנה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev