סדרה 2 — בינוני · סטטיסטיקה והסתברות · כיתה י״א

עשר שאלות בינוניות על כל הפרק: חציון מתוך טבלה, שכיחות לא ידועה, נתון שנוסף, השפעה על הממוצע ועל החציון, ממוצע מתוך דיאגרמה עגולה, וטבלה דו-ממדית עם «מבין». כל שאלה דורשת שניים או שלושה צעדים.

כשנתון שנוסף משנה את הממוצע, עובדים עם סכומים: ממוצע כפול מספר הנתונים. בטבלה דו-ממדית, המילה אחרי «מבין» היא המכנה.

תרגילים

תרגיל 1

מספר החוגים של כל תלמיד

מספר חוגים	1	2	3	4	5
מספר תלמידים	3	5	7	4	1

בטבלה: בכמה חוגים משתתף כל תלמיד בכיתה. מהו החציון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

n = 20 \ \Rightarrow \ \frac{x_{10}+x_{11}}{2}

שני האמצעיים

3 \ ,\ 8 \ ,\ 15

שכיחות מצטברת

\begin{aligned}x_{10} &= x_{11} \\ &= 3\end{aligned}

המקומות $9$ עד $15$ שייכים לערך $3$

החציון $3$ . «הערך האמצעי בשורה» ( $3$ מתוך $1$ עד $5$ ) יוצא כאן נכון במקרה. סופרים שכיחויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מספר חיות מחמד בבית

מספר חיות	1	2	3
מספר משפחות	5	8	$x$

בטבלה: מספר חיות המחמד בבתים של משפחות בשכונה. מספר המשפחות עם $3$ חיות לא ידוע. מספר החיות הממוצע למשפחה הוא $2.1$ . מצאו את $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

\frac{1 \cdot 5+2 \cdot 8+3x}{13+x} = 2.1

הממוצע

21+3x = 27.3+2.1x

כופלים במכנה

\begin{aligned}0.9x &= 6.3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 7\end{aligned}

פותרים

$x = 7$ . בדיקה: $\frac{5+16+21}{20} = 2.1$ ✓. $x$ נמצא גם במכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הממוצע של $5$ מחירים הוא $40$ ש״ח. הוסיפו מחיר שישי, והממוצע של $6$ המחירים הוא $42$ ש״ח. מהו המחיר השישי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 52

הפתרון:

5 \cdot 40 = 200

סכום חמשת המחירים

6 \cdot 42 = 252

סכום ששת המחירים

252 - 200 = 52

ההפרש הוא המחיר החדש

המחיר השישי $52$ ש״ח. מי שעונה $42$ מניח שהנתון החדש שווה לממוצע החדש. אבל כדי להעלות את הממוצע ב- $2$ , הוא צריך להיות גדול ממנו: $42 + 5 \cdot 2 = 52$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הנתונים: $3,\ 5,\ 6,\ 8,\ 13$ . הוסיפו את הנתון $7$ . מה קרה לממוצע ולחציון?

הממוצע והחציון גדלו
הממוצע לא השתנה, והחציון גדל
הממוצע והחציון לא השתנו
הממוצע גדל, והחציון לא השתנה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב הממוצע לא השתנה, והחציון גדל

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{35}{5} \\ &= 7\end{aligned}

הממוצע לפני

\frac{42}{6} = 7

הממוצע אחרי: לא השתנה

Me: \ 6 \ \rightarrow \ \frac{6+7}{2} = 6.5

החציון גדל

הנכונה: הממוצע לא השתנה, והחציון גדל. נתון ששווה לממוצע לא מזיז אותו. אבל $7$ גדול מהחציון $6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מספר השערים בכל משחק בעונה

בדיאגרמה: מספר השערים בכל משחק של קבוצה בעונה. מהו מספר השערים הממוצע במשחק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.05

הפתרון:

\begin{aligned}n &= 2+5+6+4+3 \\ &= 20\end{aligned}

מספר המשחקים

0 \cdot 2+1 \cdot 5+2 \cdot 6+3 \cdot 4+4 \cdot 3 = 41

סך כל השערים

\frac{41}{20} = 2.05

הממוצע

הממוצע $2.05$ שערים. המשחקים בלי שערים נכנסים למכנה, גם אם הם לא מוסיפים למונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הציונים בעבודה בהיסטוריה

ציון 7025%
ציון 8040%
ציון 9020%
ציון 10015%

הדיאגרמה מתארת את הציונים של תלמידי השכבה בעבודה. מהו הציון הממוצע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 82.5

הפתרון:

0.25 \cdot 70+0.4 \cdot 80+0.2 \cdot 90+0.15 \cdot 100

האחוזים הם המשקלות

17.5+32+18+15 = 82.5

הממוצע

הממוצע $82.5$ . לא צריך לדעת כמה תלמידים יש. $\frac{70+80+90+100}{4} = 85$ מתעלם מהאחוזים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

לקוחות של חנות ספרים

	אשראי	מזומן	סך הכול
באתר	63	7	70
בחנות	30	20	50
סך הכול	93	27	120

בטבלה: לקוחות של חנות ספרים ביום אחד, לפי מקום הקנייה ולפי דרך התשלום. איזה אחוז מבין הלקוחות שקנו בחנות שילמו במזומן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

\frac{20}{50} = 0.4

שורת החנות: המכנה $50$

0.4 = 40\%

באחוזים

$40\%$ . $\frac{20}{120}$ הוא האחוז מכל הלקוחות, ו- $\frac{20}{27}$ הוא האחוז מבין המשלמים במזומן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

לקוחות של חנות ספרים

	אשראי	מזומן	סך הכול
באתר	63	7	70
בחנות	30	20	50
סך הכול	93	27	120

בטבלה: לקוחות של חנות ספרים ביום אחד, לפי מקום הקנייה ולפי דרך התשלום. בוחרים באקראי לקוח ששילם באשראי. מה ההסתברות שהוא קנה באתר? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.68

הפתרון:

63+30 = 93

המשלמים באשראי

\frac{63}{93} \approx 0.68

מתוכם, קנו באתר

ההסתברות $0.68$ . $\frac{63}{70} = 0.9$ עונה על שאלה אחרת: מבין הקונים באתר, כמה שילמו באשראי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בכיתה: $2$ תלמידים קיבלו $10$ נקודות בבוחן, $5$ קיבלו $20$ ו- $3$ קיבלו $30$ . יונתן חישב את הממוצע. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\bar{x} = \frac{10+20+30}{3}

\bar{x} = 20

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\bar{x} = \frac{10+20+30}{3}$ → $\bar{x} = \frac{10 \cdot 2+20 \cdot 5+30 \cdot 3}{10} = 21$

הפתרון:

10 \cdot 2+20 \cdot 5+30 \cdot 3 = 210

כל ציון כפול השכיחות

\frac{210}{10} = 21

חלקי $10$ תלמידים

יונתן חישב ממוצע של שלושה ציונים, כאילו כל ציון הופיע פעם אחת. הממוצע הנכון $21$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בקבוצה א $10$ אנשים, והגיל הממוצע $80$ . בקבוצה ב $30$ אנשים, והגיל הממוצע $60$ . טענה: הגיל הממוצע של כל $40$ האנשים הוא $70$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

10 \cdot 80+30 \cdot 60 = 2600

סכום כל הגילים

\frac{2600}{40} = 65

הממוצע המשותף

הטענה לא נכונה. הממוצע $65$ . $70$ הוא ממוצע של שני הממוצעים, והוא נכון רק כששתי הקבוצות באותו גודל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev