משווים קבוצות ומשנים נתונים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שתי כיתות יא נבחנו באותו מבחן. בכל כיתה בחרנו שבעה תלמידים וסימנו את הציונים שלהם. הפעם גם הממוצע שונה, וגם הפיזור.

שבעה ציונים בכל כיתה
x̄ = 78x̄ = 745055606570758085909503ציון
  • יא1
  • יא2
הממוצע של יא1 הוא 7878 וסטיית התקן 4.904.90. הממוצע של יא2 הוא 7474 וסטיית התקן 11.3811.38.

באיזו כיתה ההישגים גבוהים יותר? ובאיזו כיתה הציונים אחידים יותר?

להציג את התשובה והפתרון

ב-יא1 בשתי השאלות: הממוצע גבוה יותר (78>7478>74), וסטיית התקן קטנה יותר (4.90<11.384.90<11.38). אלה שתי שאלות נפרדות, וכל אחת נענית במדד אחר.

מסקנה בשני חלקים

xˉ\bar{x}

מדד המרכז: באיזו קבוצה הערכים גבוהים יותר, בממוצע

SS

מדד הפיזור: באיזו קבוצה הערכים קרובים יותר לממוצע, כלומר הקבוצה הומוגנית יותר

כותבים מסקנה כמו בבחינה

השוו בין הכיתות לפי הממוצע ולפי סטיית התקן, וכתבו מסקנה.

78>7478 > 74

הממוצע ב-יא1 גבוה יותר: ההישגים בה גבוהים יותר, בממוצע

4.90<11.384.90 < 11.38

סטיית התקן ב-יא1 קטנה יותר: הציונים בה הומוגניים יותר

יא1\text{יא1}

מסקנה: ב-יא1 הציונים גבוהים יותר וגם אחידים יותר

הציון הגבוה ביותר, 8888, נמצא דווקא ב-יא2. האם זה סותר את המסקנה?

להציג את התשובה והפתרון

לא. פיזור גדול פירושו ציונים רחוקים מהממוצע לשני הכיוונים: גם 5555 וגם 8888. סטיית תקן גדולה לא אומרת «טוב» או «רע», היא אומרת «לא אחיד».

מוסיפים נתון אחד

בשאלות בגרות רבות מוסיפים נתון ושואלים: האם סטיית התקן גדלה, קטנה או לא משתנה? התשובה תלויה במרחק של הנתון החדש מהממוצע.

שלושה עובדים, ואז ארבעה

המשכורות של שלושה עובדים, באלפי ש״ח: 8, 10, 128,\ 10,\ 12. הממוצע 1010 וסטיית התקן בערך 1.631.63. מה קורה אם מצטרף עובד רביעי?

8 10 12 10:xˉ=10  S=84≈1.41\begin{aligned}8 \\ \ 10 \\ \ 12 \\ \ 10 : \quad \bar{x} &= 10 \\ \ \ S &= \sqrt{\frac{8}{4}} \approx 1.41\end{aligned}

נתון שווה לממוצע: הממוצע לא זז, וסטיית התקן קטנה. סכום הריבועים נשאר 88, ומחלקים ב-44 במקום ב-33

8 10 12 20:xˉ=12.5  S≈4.56\begin{aligned}8 \\ \ 10 \\ \ 12 \\ \ 20 : \quad \bar{x} &= 12.5 \\ \ \ S \approx 4.56\end{aligned}

נתון רחוק מהממוצע: הממוצע עולה, וסטיית התקן גדלה

כשכל הנתונים משתנים יחד

חמישה ציונים, לפני ואחרי תוספת של 5 נקודות
556065707580859003ציון
  • לפני
  • אחרי
כל הנקודות זזו ימינה ב-55 יחד. הממוצע זז ב-55, אבל המרחקים בין הנקודות לא השתנו, ולכן גם סטיית התקן לא השתנתה.
x→x+cx \to x + c

מוסיפים (או מחסירים) אותו מספר לכל נתון: הממוצע משתנה ב-cc, סטיית התקן לא משתנה

x→k⋅xx \to k \cdot x

מכפילים כל נתון במספר חיובי kk: גם הממוצע וגם סטיית התקן מוכפלים ב-kk

במפעל, ממוצע המשכורות 9,0009{,}000 ש״ח וסטיית התקן 1,5001{,}500 ש״ח. כל עובד מקבל העלאה של 10%10\%. מהם הממוצע וסטיית התקן החדשים? ומה אם במקום זה כל עובד מקבל תוספת של 500500 ש״ח?

להציג את התשובה והפתרון

העלאה של 10%10\% היא כפל ב-1.11.1: ממוצע 9,9009{,}900 ש״ח, סטיית תקן 1,6501{,}650 ש״ח. תוספת קבועה של 500500: ממוצע 9,5009{,}500 ש״ח, סטיית התקן נשארת 1,5001{,}500 ש״ח.

בתוכנית 3 יח״ל מופיעים גם מדדי מיקום יחסי: רבעונים ועשירונים. בשנת הלימודים תשפ״ז הם אינם נלמדים, ולכן אין עליהם שאלות בפרק הזה.

שלוש טעויות בהשוואה ובשינוי.

S→S+5S \to S + 5
S→SS \to S

תוספת קבועה מזיזה את כל הנתונים יחד. המרחקים מהממוצע לא משתנים.

S1>S2 ⇒ טובהS_1 > S_2 \ \Rightarrow \ \text{טובה}
S1>S2 ⇒ הטרוגניתS_1 > S_2 \ \Rightarrow \ \text{הטרוגנית}

סטיית התקן לא מודדת הצלחה. היא מודדת פיזור בלבד.

xˉ1>xˉ2 ⇒ הומוגנית\bar{x}_1 > \bar{x}_2 \ \Rightarrow \ \text{הומוגנית}
S1<S2 ⇒ הומוגניתS_1 < S_2 \ \Rightarrow \ \text{הומוגנית}

הומוגניות נקבעת לפי סטיית התקן, לא לפי הממוצע.

תרגילים

תרגיל 1

בשתי כיתות נמדד זמן הריצה של 2 ק״מ. בכיתה א: ממוצע 1212 דקות, סטיית תקן 1.51.5 דקות. בכיתה ב: ממוצע 1212 דקות, סטיית תקן 3.23.2 דקות. מה נכון?

  1. בכיתה ב רצו מהר יותר, כי סטיית התקן שלה גדולה יותר
  2. אי אפשר להשוות, כי הממוצעים שווים
  3. בשתי הכיתות אותו ממוצע, וזמני הריצה בכיתה ב אחידים יותר
  4. בשתי הכיתות אותו ממוצע, וזמני הריצה בכיתה א אחידים יותר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד בשתי הכיתות אותו ממוצע, וזמני הריצה בכיתה א אחידים יותר

הפתרון:

xˉA=xˉB=12\begin{aligned}\bar{x}_A &= \bar{x}_B \\ &= 12\end{aligned}

מדד המרכז: אין הבדל

1.5<3.21.5 < 3.2

מדד הפיזור: כיתה א הומוגנית יותר

הנכונה: כיתה א אחידה יותר. סטיית תקן גדולה אינה «מהר יותר»: היא אומרת שהזמנים מפוזרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

שתי מאפיות מכינות לחמניות. במאפייה א: משקל ממוצע 7070 גרם, סטיית תקן 44 גרם. במאפייה ב: משקל ממוצע 7676 גרם, סטיית תקן 44 גרם. מה המסקנה?

  1. אין הבדל בין המאפיות, כי סטיית התקן שווה
  2. הלחמניות במאפייה א אחידות יותר, כי הממוצע שלהן קטן יותר
  3. הלחמניות במאפייה ב כבדות יותר בממוצע, ומשקלן אחיד יותר
  4. הלחמניות במאפייה ב כבדות יותר בממוצע, והפיזור במשקל זהה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הלחמניות במאפייה ב כבדות יותר בממוצע, והפיזור במשקל זהה

הפתרון:

76>7076 > 70

מדד המרכז: ב כבדות יותר

SA=SB=4\begin{aligned}S_A &= S_B \\ &= 4\end{aligned}

מדד הפיזור: זהה

הנכונה: כבדות יותר, אותו פיזור. ממוצע קטן יותר אינו «אחיד יותר». הומוגניות נקבעת רק לפי סטיית התקן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בבחינה, ממוצע הציונים היה 7171 וסטיית התקן 9.59.5. המורה הוסיפה 66 נקודות לכל תלמיד. מהי סטיית התקן החדשה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9.5

הפתרון:

x→x+6x \to x + 6

תוספת קבועה לכל נתון

S→S=9.5S \to S = 9.5

המרחקים מהממוצע לא השתנו

סטיית התקן נשארת 9.59.5. הממוצע, לעומת זאת, עלה ל-7777. מי שענה 15.515.5 הוסיף את ה-66 גם לסטיית התקן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בחברת הייטק קטנה, ממוצע המשכורות הוא 8,0008{,}000 ש״ח וסטיית התקן 1,2001{,}200 ש״ח. כל העובדים קיבלו העלאה של 10%10\%. השלימו (בש״ח).

הממוצע החדש: ____ , סטיית התקן החדשה: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הממוצע החדש: 8800 , סטיית התקן החדשה: 1320

הפתרון:

x→1.1⋅xx \to 1.1 \cdot x

העלאה של 10%10\% היא כפל ב-1.11.1

xˉ=1.1⋅8000=8800\begin{aligned}\bar{x} &= 1.1 \cdot 8000 \\ &= 8800\end{aligned}

הממוצע מוכפל

S=1.1⋅1200=1320\begin{aligned}S &= 1.1 \cdot 1200 \\ &= 1320\end{aligned}

גם סטיית התקן מוכפלת

באחוזים, כל משכורת גדלה בסכום אחר: מי שהרוויח יותר קיבל יותר. לכן המרחקים גדלים, וסטיית התקן גדלה פי 1.11.1. מי שהשאיר 1,2001{,}200 טיפל בהעלאה כאילו היא תוספת קבועה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לקבוצה של 1010 נתונים הממוצע 4040 וסטיית התקן 66. מוסיפים לקבוצה נתון אחד, 4040. מה קורה לממוצע ולסטיית התקן?

  1. הממוצע לא משתנה, סטיית התקן לא משתנה
  2. הממוצע לא משתנה, סטיית התקן קטנה
  3. הממוצע גדל, סטיית התקן קטנה
  4. הממוצע לא משתנה, סטיית התקן גדלה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב הממוצע לא משתנה, סטיית התקן קטנה

הפתרון:

xˉ=400+4011=40\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{400 + 40}{11} \\ &= 40\end{aligned}

הממוצע נשאר

∑(x−xˉ)2=10⋅36=360\begin{aligned}\sum (x-\bar{x})^2 &= 10 \cdot 36 \\ &= 360\end{aligned}

סכום הריבועים לא השתנה: הסטייה של הנתון החדש 00

S=36011≈5.72<6S = \sqrt{\frac{360}{11}} \approx 5.72 < 6

אותו סכום, מחולק ביותר נתונים

הנכונה: הממוצע לא משתנה, סטיית התקן קטנה. נתון שיושב בדיוק על הממוצע «מדלל» את הפיזור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

לקבוצת נתונים יש ממוצע וסטיית תקן. מיינו כל שינוי: האם סטיית התקן משתנה?

  • סטיית התקן משתנה
  • סטיית התקן לא משתנה
  • מוסיפים 55 לכל נתון
  • מוסיפים נתון השווה לממוצע
  • מחליפים את הנתון הגדול בנתון גדול עוד יותר
  • מחסירים 33 מכל נתון
  • מכפילים כל נתון ב-22
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מכפילים כל נתון ב-22 — סטיית התקן משתנה · מוסיפים נתון השווה לממוצע — סטיית התקן משתנה · מחליפים את הנתון הגדול בנתון גדול עוד יותר — סטיית התקן משתנה · מוסיפים 55 לכל נתון — סטיית התקן לא משתנה · מחסירים 33 מכל נתון — סטיית התקן לא משתנה

הפתרון:

x→x±c ⇒ S→Sx \to x \pm c \ \Rightarrow \ S \to S

הזזה של כל הנתונים

x→2x ⇒ S→2Sx \to 2x \ \Rightarrow \ S \to 2S

כפל

רק הזזה של כל הנתונים באותו מספר שומרת על סטיית התקן. שינוי של נתון אחד, או הוספת נתון, משנה אותה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

שני שליחים רשמו את זמני המשלוח שלהם (בדקות) בחמישה ימים. שליח א: 20, 25, 30, 35, 4020,\ 25,\ 30,\ 35,\ 40. שליח ב: 26, 28, 30, 32, 3426,\ 28,\ 30,\ 32,\ 34. לשניהם ממוצע 3030 דקות. מצאו את סטיית התקן של כל אחד. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

SA=S_A= ____ , SB=S_B= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: SA=S_A= 7.07 , SB=S_B= 2.83

הפתרון:

SA=100+25+0+25+1005=50≈7.07\begin{aligned}S_A &= \sqrt{\frac{100+25+0+25+100}{5}} \\ &= \sqrt{50} \approx 7.07\end{aligned}

שליח א

SB=16+4+0+4+165=8≈2.83\begin{aligned}S_B &= \sqrt{\frac{16+4+0+4+16}{5}} \\ &= \sqrt{8} \approx 2.83\end{aligned}

שליח ב

2.83<7.072.83 < 7.07

שליח ב הומוגני יותר

אותו ממוצע, ושליח ב אחיד יותר: עליו אפשר לסמוך כשצריך לדעת מתי המשלוח יגיע. הסטיות של א כפולות משל ב פי 2.52.5, וגם סטיית התקן גדולה פי 2.52.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נכון או לא נכון: אם סטיית התקן של קבוצה א גדולה מזו של קבוצה ב, אז גם הממוצע של א גדול מהממוצע של ב.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

10 20 30: xˉ=20 S≈8.16\begin{aligned}10 \\ \ 20 \\ \ 30 : \ \bar{x} &= 20 \\ \ S \approx 8.16\end{aligned}

דוגמה נגדית: קבוצה א

49 50 51: xˉ=50 S≈0.82\begin{aligned}49 \\ \ 50 \\ \ 51 : \ \bar{x} &= 50 \\ \ S \approx 0.82\end{aligned}

קבוצה ב

לא נכון. ממוצע וסטיית תקן מודדים דברים שונים. בדוגמה הנגדית ל-א סטיית תקן גדולה וממוצע קטן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

המשכורות של ארבעה עובדים, באלפי ש״ח: 6, 8, 10, 126,\ 8,\ 10,\ 12. הממוצע 99 וסטיית התקן בערך 2.242.24. עובד חמישי שמשכורתו 99 אלפי ש״ח הצטרף. מהי סטיית התקן החדשה, באלפי ש״ח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

9+1+1+9=209 + 1 + 1 + 9 = 20

סכום ריבועי הסטיות של הארבעה

xˉ=36+95=9\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{36 + 9}{5} \\ &= 9\end{aligned}

הממוצע לא השתנה

S=20+05=4=2\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{20 + 0}{5}} \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

הסטייה של הנתון החדש 00

סטיית התקן קטנה מ-2.242.24 ל-22. נתון על הממוצע לא מוסיף לסכום הריבועים, אבל מגדיל את nn.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במהלך חודש, הטמפרטורה הממוצעת בעיר הייתה 2020 מעלות צלזיוס, וסטיית התקן 33 מעלות. כדי להמיר לפרנהייט כופלים כל נתון ב-1.81.8 ומוסיפים 3232. מהם הממוצע וסטיית התקן בפרנהייט?

  1. ממוצע 3636, סטיית תקן 5.45.4
  2. ממוצע 6868, סטיית תקן 33
  3. ממוצע 6868, סטיית תקן 37.437.4
  4. ממוצע 6868, סטיית תקן 5.45.4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד ממוצע 6868, סטיית תקן 5.45.4

הפתרון:

xˉ=1.8⋅20+32=68\begin{aligned}\bar{x} &= 1.8 \cdot 20 + 32 \\ &= 68\end{aligned}

הממוצע עובר את שני השלבים

S=1.8⋅3=5.4\begin{aligned}S &= 1.8 \cdot 3 \\ &= 5.4\end{aligned}

סטיית התקן מושפעת רק מהכפל

הנכונה: 6868 ו-5.45.4. 37.437.4 מתקבל כשמוסיפים את ה-3232 גם לסטיית התקן. 33 מתקבל כששוכחים את הכפל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת