סטיית תקן מטבלת שכיחויות · סטיית תקן · כיתה י״א

עשרים תלמידים בשכבת יא ספרו כמה ספרים קראו בחופש הגדול. במקום רשימה של עשרים מספרים, התוצאות מסוכמות בדיאגרמה: מעל כל מספר ספרים, כמה תלמידים קראו בדיוק כך.

העמודה מעל

3

בגובה

9

: תשעה תלמידים קראו שלושה ספרים. רוב העמודות הגבוהות צמודות ל-

3

, ולכן הפיזור כאן קטן.

כמה תלמידים יש בסך הכול? ומהו מספר הספרים הממוצע?

להציג את התשובה והפתרון

$1+5+9+3+2=20$ תלמידים. הממוצע המשוקלל: $\frac{1 \cdot 1+2 \cdot 5+3 \cdot 9+4 \cdot 3+5 \cdot 2}{20}=\frac{60}{20}=3$ ספרים.

הנוסחה עם שכיחויות

בטבלת שכיחויות, כל ערך $x$ מופיע $f$ פעמים (השכיחות). לכן גם ריבוע הסטייה שלו נספר $f$ פעמים: מכפילים אותו בשכיחות. ומחלקים ב- $n$ , מספר כל הנתונים, שהוא סכום השכיחויות.

S = \sqrt{\frac{f_1(x_1-\bar{x})^2+f_2(x_2-\bar{x})^2+\dots+f_k(x_k-\bar{x})^2}{n}}

גם זו בנוסחאון. $k$ הוא מספר הערכים השונים, ו- $n=f_1+f_2+\dots+f_k$ .

הדרך הבטוחה היא להוסיף לטבלה שורות: סטייה, ריבוע הסטייה, ושכיחות כפול ריבוע. בסוף מחברים את השורה האחרונה.

טבלת העבודה, עם

\bar{x}=3

מספר ספרים $x$	1	2	3	4	5	סכום
שכיחות $f$	1	5	9	3	2	20
$x-\bar{x}$	-2	-1	0	1	2
$(x-\bar{x})^2$	4	1	0	1	4
$f \cdot (x-\bar{x})^2$	4	5	0	3	8	20

סטיית התקן של הספרים

ממשיכים מטבלת העבודה.

1 \cdot 4 + 5 \cdot 1 + 9 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 20

סכום השורה האחרונה

\frac{20}{20} = 1

מחלקים ב- $n=20$ , מספר התלמידים

\begin{aligned}S &= \sqrt{1} \\ &= 1\end{aligned}

סטיית התקן: ספר אחד

למה מחלקים ב- $20$ ולא ב- $5$ , מספר העמודות?

להציג את התשובה והפתרון

כי יש עשרים נתונים, תלמיד אחד לכל נתון. חמש העמודות הן רק דרך קצרה לכתוב אותם. חלוקה ב- $5$ הייתה נותנת $\sqrt{4}=2$ : פיזור כפול מהאמיתי.

שתי בדיקות מהירות: סכום השכיחויות שווה ל- $n$ , וסכום שכיחות כפול סטייה הוא $0$ . כאן $1 \cdot (-2)+5 \cdot (-1)+0+3 \cdot 1+2 \cdot 2=0$ . אם לא יצא $0$ , הממוצע שגוי.

שלוש טעויות בטבלה.

S = \sqrt{\frac{4+1+0+1+4}{5}}

S = \sqrt{\frac{1 \cdot 4+5 \cdot 1+9 \cdot 0+3 \cdot 1+2 \cdot 4}{20}}

שכחו את השכיחויות: כל תלמיד נספר פעם אחת בלבד, במקום לפי מספר התלמידים.

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{20}{5}} \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{20}{20}} \\ &= 1\end{aligned}

מחלקים במספר הנתונים, לא במספר העמודות.

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{1+2+3+4+5}{5} \\ &= 3\end{aligned}

\bar{x} = \frac{1 \cdot 1+2 \cdot 5+3 \cdot 9+4 \cdot 3+5 \cdot 2}{20}

כאן יצא אותו מספר במקרה. בטבלה אחרת הממוצע בלי משקלות שגוי, וכל סטיית התקן נבנית עליו.

תרגילים

תרגיל 1

שערים במשחק

מספר שערים	0	1	2	3	4
מספר משחקים	3	5	6	4	2

בטבלה: מספר השערים שהבקיעה קבוצת כדורגל בכל משחק במשך עונה. מהו מספר השערים הממוצע למשחק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.85

הפתרון:

\begin{aligned}n &= 3+5+6+4+2 \\ &= 20\end{aligned}

מספר המשחקים

0 \cdot 3+1 \cdot 5+2 \cdot 6+3 \cdot 4+4 \cdot 2 = 37

סכום כל השערים

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{37}{20} \\ &= 1.85\end{aligned}

הממוצע

הממוצע $1.85$ שערים. מי שחילק ב- $5$ חילק במספר הערכים ולא במספר המשחקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ילדים במשפחה

מספר ילדים	1	2	3	4	5
מספר משפחות	2	3	9	5	1

בטבלה: מספר הילדים ב-20 משפחות בשכונה. הממוצע הוא $3$ ילדים. מצאו את סטיית התקן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

x-\bar{x}:\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2

הסטיות

2 \cdot 4+3 \cdot 1+9 \cdot 0+5 \cdot 1+1 \cdot 4 = 20

שכיחות כפול ריבוע הסטייה

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{20}{20}} \\ &= 1\end{aligned}

חלוקה ב- $20$ ושורש

סטיית התקן $1$ ילד. מי שחילק ב- $5$ קיבל $2$ : פיזור כפול מהאמיתי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

שעות לימוד ביום

מספר שעות	1	2	3	4
מספר תלמידים	4	6	6	4

בטבלה: מספר שעות הלימוד ביום של 20 תלמידים לפני בחינה. מצאו את הממוצע ואת סטיית התקן, וכתבו את סטיית התקן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.02

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{1 \cdot 4+2 \cdot 6+3 \cdot 6+4 \cdot 4}{20} \\ &= \frac{50}{20} \\ &= 2.5\end{aligned}

הממוצע

4 \cdot 2.25+6 \cdot 0.25+6 \cdot 0.25+4 \cdot 2.25 = 21

הסטיות $\pm 1.5$ ו- $\pm 0.5$ , בריבוע, כפול השכיחות

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{21}{20}} \\ &= \sqrt{1.05} \approx 1.02\end{aligned}

חלוקה ושורש

$S \approx 1.02$ שעות. ממוצע לא שלם לא מפריע: הסטיות יוצאות עשרוניות, והשיטה זהה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בטבלת שכיחויות יש $6$ ערכים שונים, וסכום השכיחויות הוא $30$ . כשכופלים כל סטייה בחזקת 2 בשכיחות שלה ומחברים, מקבלים $120$ . מהי סטיית התקן?

$4$
$\sqrt{20}$
$2$
$20$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $2$

הפתרון:

n = 30

מספר הנתונים הוא סכום השכיחויות

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{120}{30}} \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

הנכונה: $2$ . $\sqrt{20}$ מתקבל מחלוקה ב- $6$ , מספר הערכים. $4$ הוא הממוצע של הריבועים, לפני השורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ביקורים בבריכה בשבוע

מספר ביקורים	1	2	3	4
מספר חברים	3	$x$	5	2

בטבלה: מספר הפעמים שחברי חוג הלכו לבריכה בשבוע. אחת השכיחויות חסרה, והממוצע הוא $2.5$ . מצאו את השכיחות החסרה ואת סטיית התקן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

השכיחות החסרה: ____ , סטיית התקן: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: השכיחות החסרה: 2 , סטיית התקן: 1.04

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{1 \cdot 3+2x+3 \cdot 5+4 \cdot 2}{3+x+5+2} &= \frac{26+2x}{10+x} \\ &= 2.5\end{aligned}

הממוצע, עם הנעלם במונה ובמכנה

\begin{aligned}26+2x &= 25+2.5x \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

כופלים במכנה

3 \cdot 2.25+2 \cdot 0.25+5 \cdot 0.25+2 \cdot 2.25 = 13

שכיחות כפול ריבוע הסטייה, $n=12$

S = \sqrt{\frac{13}{12}} \approx 1.04

חלוקה ושורש

הנעלם נמצא גם במכנה: מספר החברים תלוי בו. מי שכתב $\frac{26+2x}{10}$ קיבל תשובה שגויה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בדיאגרמה: מספר הקילומטרים שרצו 20 משתתפים במרוץ עממי. הממוצע הוא $6$ ק״מ. מצאו את סטיית התקן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x-\bar{x}:\ -4,\ -2,\ 0,\ 2,\ 4

הסטיות

1 \cdot 16+5 \cdot 4+9 \cdot 0+3 \cdot 4+2 \cdot 16 = 80

שכיחות כפול ריבוע הסטייה

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{80}{20}} \\ &= 2\end{aligned}

חלוקה ושורש

סטיית התקן $2$ ק״מ. קוראים מהדיאגרמה את השכיחויות: גובה כל עמודה. אלה בדיוק הערכים של השיעור, כפול $2$ , ולכן גם סטיית התקן כפולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נכון או לא נכון: בטבלת שכיחויות שבה רק לערך אחד יש שכיחות שאינה $0$ , סטיית התקן היא $0$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\bar{x} = x_1

כל הנתונים שווים לערך הזה

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{f_1 \cdot 0^2}{f_1}} \\ &= 0\end{aligned}

נכון. כל הנתונים שווים, ולכן כולם שווים לממוצע ואין פיזור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בנוסחה של סטיית התקן מטבלה: התאימו לכל סימן את משמעותו.

$f$
$n$
$x-\bar{x}$
$S$

הסטייה של ערך מהממוצע
כמה פעמים הופיע הערך
מספר כל הנתונים
סטיית התקן

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $f$ — כמה פעמים הופיע הערך · $n$ — מספר כל הנתונים · $x-\bar{x}$ — הסטייה של ערך מהממוצע · $S$ — סטיית התקן

הפתרון:

n = f_1 + f_2 + \dots + f_k

הקשר בין $n$ לשכיחויות

הבלבול הנפוץ הוא בין $n$ לבין מספר הערכים השונים. $n$ סופר נתונים, לא ערכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בטבלה: הציונים (מתוך 10) של 10 תלמידים בבוחן, $5,\ 6,\ 7,\ 8$ עם השכיחויות $2,\ 4,\ 3,\ 1$ . מיכל חישבה את סטיית התקן. שורה אחת שגויה: מצאו אותה.

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{5 \cdot 2+6 \cdot 4+7 \cdot 3+8 \cdot 1}{10} \\ &= 6.3\end{aligned}

2 \cdot 1.69+4 \cdot 0.09+3 \cdot 0.49+1 \cdot 2.89 = 8.1

S = \sqrt{\frac{8.1}{4}} \approx 1.42

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $S = \sqrt{\frac{8.1}{4}} \approx 1.42$ → $S = \sqrt{\frac{8.1}{10}} = 0.9$

הפתרון:

\begin{aligned}n &= 2+4+3+1 \\ &= 10\end{aligned}

מספר התלמידים

\sqrt{0.81} = 0.9

סטיית התקן הנכונה

השורה השלישית שגויה: מיכל חילקה ב- $4$ , מספר הציונים השונים, ולא ב- $10$ , מספר התלמידים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

הנוסחה עם שכיחויות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev