סטיית התקן של רשימת נתונים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בשיעור הקודם ראינו שסכום הסטיות מהממוצע הוא תמיד 00. הסתכלו על ארבע עמודות, ועל הקו של הממוצע שלהן, כדי לראות למה.

מהן הסטיות של 4, 9, 6, 54,\ 9,\ 6,\ 5 מהממוצע 66? ומה הסכום של הריבועים שלהן?

להציג את התשובה והפתרון

הסטיות: −2, 3, 0, −1-2,\ 3,\ 0,\ -1, והסכום שלהן 00. הריבועים: 4, 9, 0, 14,\ 9,\ 0,\ 1, והסכום 1414. אחרי ההעלאה בריבוע אין מספרים שליליים, ולכן אין ביטול.

הנוסחה של סטיית התקן

S=(x1−xˉ)2+(x2−xˉ)2+⋯+(xn−xˉ)2nS = \sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}}

זו הנוסחה שבנוסחאון. SS היא סטיית התקן, xˉ\bar{x} הממוצע ו-nn מספר הנתונים.

במילים: מעלים כל סטייה בריבוע, מחשבים את הממוצע של הריבועים, ומוציאים שורש. השורש מחזיר אותנו ליחידות של הנתונים: אם הנתונים במעלות, גם SS במעלות. סטיית התקן היא בערך המרחק הטיפוסי של נתון מהממוצע.

11

מחשבים את הממוצע xˉ\bar{x}

22

מחשבים לכל נתון את הסטייה x−xˉx-\bar{x}

33

מעלים כל סטייה בריבוע ומחברים

44

מחלקים ב-nn ומוציאים שורש

חמישה ימים של חורף בירושלים

הטמפרטורות המקסימליות (במעלות) היו 12, 15, 14, 17, 1212,\ 15,\ 14,\ 17,\ 12. מצאו את סטיית התקן.

xˉ=12+15+14+17+125=705=14\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{12+15+14+17+12}{5} \\ &= \frac{70}{5} \\ &= 14\end{aligned}

שלב 1: הממוצע

−2, 1, 0, 3, −2-2,\ 1,\ 0,\ 3,\ -2

שלב 2: הסטיות. בדיקה: הסכום 00

4+1+0+9+4=184 + 1 + 0 + 9 + 4 = 18

שלב 3: סכום הריבועים

S=185=3.6≈1.90\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{18}{5}} \\ &= \sqrt{3.6} \approx 1.90\end{aligned}

שלב 4: חלוקה ב-55 ושורש. בערך 1.91.9 מעלות

מהי סטיית התקן של 20, 20, 20, 2020,\ 20,\ 20,\ 20? ומה אפשר לומר על קבוצה שסטיית התקן שלה 00?

להציג את התשובה והפתרון

S=0S=0: כל הסטיות הן 00. ולהפך: אם S=0S=0, כל ריבוע הוא 00, ולכן כל הנתונים שווים לממוצע. סטיית תקן אף פעם אינה שלילית.

בבחינה מותר מחשבון, אבל כתבו את השלבים: ממוצע, סטיות, סכום ריבועים, חלוקה ושורש. כשמקלידים סטייה שלילית בריבוע, שימו סוגריים: (−2)2=4(-2)^2=4. בלי סוגריים המחשבון מחשב −22=−4-2^2=-4.

שלוש הטעויות בחישוב.

S=185=3.6\begin{aligned}S &= \frac{18}{5} \\ &= 3.6\end{aligned}
S=3.6≈1.90S = \sqrt{3.6} \approx 1.90

שכחו את השורש. 3.63.6 הוא הממוצע של הריבועים, והוא ביחידות «מעלות בריבוע».

(−2+1+0+3−2)2=0(-2+1+0+3-2)^2 = 0
(−2)2+12+02+32+(−2)2=18(-2)^2+1^2+0^2+3^2+(-2)^2 = 18

מעלים בריבוע כל סטייה לבד, ורק אחר כך מחברים.

−22=−4-2^2 = -4
(−2)2=4(-2)^2 = 4

ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי. במחשבון: סוגריים.

תרגילים

תרגיל 1

שמונה חברים רשמו כמה שעות בשבוע הם מתאמנים בחדר כושר: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 92,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9. הממוצע הוא 55. מצאו את סטיית התקן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

−3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4-3,\ -1,\ -1,\ -1,\ 0,\ 0,\ 2,\ 4

הסטיות מ-55

9+1+1+1+0+0+4+16=329+1+1+1+0+0+4+16 = 32

סכום הריבועים

S=328=4=2\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{32}{8}} \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

מחלקים ב-88 ומוציאים שורש

סטיית התקן 22 שעות. מחלקים ב-88, מספר החברים, ולא ב-55, מספר הערכים השונים. מי שענה 44 שכח את השורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מצאו את סטיית התקן של הנתונים 6, 10, 146,\ 10,\ 14. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.27

הפתרון:

xˉ=303=10\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{30}{3} \\ &= 10\end{aligned}

הממוצע

(−4)2+02+42=32(-4)^2 + 0^2 + 4^2 = 32

סכום הריבועים

S=323≈3.27S = \sqrt{\frac{32}{3}} \approx 3.27

חלוקה ב-33 ושורש

S≈3.27S \approx 3.27. מי שכתב 32≈5.66\sqrt{32} \approx 5.66 שכח לחלק במספר הנתונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונים: 7, 9, 11, 13, 157,\ 9,\ 11,\ 13,\ 15. השלימו את שלבי החישוב. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

הממוצע: ____ , סכום ריבועי הסטיות: ____ , סטיית התקן: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הממוצע: 11 , סכום ריבועי הסטיות: 40 , סטיית התקן: 2.83

הפתרון:

xˉ=555=11\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{55}{5} \\ &= 11\end{aligned}

הממוצע

16+4+0+4+16=4016 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40

הסטיות −4, −2, 0, 2, 4-4,\ -2,\ 0,\ 2,\ 4 בריבוע

S=405=8≈2.83\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{40}{5}} \\ &= \sqrt{8} \approx 2.83\end{aligned}

חלוקה ושורש

הנתונים מרוחקים 22 זה מזה, וסטיית התקן יצאה קצת יותר מ-22. זו בדיקת היגיון טובה: SS צריכה להיות בערך המרחק הטיפוסי מהממוצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהי סטיית התקן של הנתונים 15, 15, 15, 15, 1515,\ 15,\ 15,\ 15,\ 15?

  1. 1515
  2. 11
  3. 00
  4. 33
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 00

הפתרון:

xˉ=15\bar{x} = 15

הממוצע

x−xˉ=0x - \bar{x} = 0

כל הסטיות אפס

S=0=0\begin{aligned}S &= \sqrt{0} \\ &= 0\end{aligned}

הנכונה: 00. כשכל הנתונים שווים אין פיזור בכלל. מי שענה 1515 בלבל בין הממוצע לבין סטיית התקן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נכון או לא נכון: סטיית תקן יכולה לצאת מספר שלילי כאשר רוב הנתונים מתחת לממוצע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

(x−xˉ)2≥0(x - \bar{x})^2 \geq 0

כל ריבוע אינו שלילי

S=…≥0S = \sqrt{\dots} \geq 0

שורש אינו שלילי

לא נכון. סטיית התקן היא שורש של ממוצע ריבועים, ולכן תמיד S≥0S \geq 0. אם יצא לכם מספר שלילי, יש טעות בחישוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

אלה הטמפרטורות (במעלות) שנמדדו בתל אביב בחמישה בקרים: 20, 22, 25, 21, 2220,\ 22,\ 25,\ 21,\ 22. מצאו את סטיית התקן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.67

הפתרון:

xˉ=1105=22\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{110}{5} \\ &= 22\end{aligned}

הממוצע

−2, 0, 3, −1, 0-2,\ 0,\ 3,\ -1,\ 0

הסטיות

4+0+9+1+0=144 + 0 + 9 + 1 + 0 = 14

סכום הריבועים

S=145=2.8≈1.67\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{14}{5}} \\ &= \sqrt{2.8} \approx 1.67\end{aligned}

חלוקה ושורש

S≈1.67S \approx 1.67 מעלות. מי שענה 2.82.8 עצר לפני השורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

רון חישב את סטיית התקן של 4, 6, 84,\ 6,\ 8. שורה אחת שגויה: מצאו אותה.

xˉ=4+6+83=6\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{4+6+8}{3} \\ &= 6\end{aligned}
(4−6)2+(6−6)2+(8−6)2=8(4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 = 8
S=83≈2.67S = \frac{8}{3} \approx 2.67
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: S=83≈2.67S = \frac{8}{3} \approx 2.67 → S=83≈1.63S = \sqrt{\frac{8}{3}} \approx 1.63

הפתרון:

83≈2.67\frac{8}{3} \approx 2.67

זה ממוצע הריבועים

2.67≈1.63\sqrt{2.67} \approx 1.63

חסר השורש

השורה השלישית שגויה: רון שכח להוציא שורש. הממוצע וסכום הריבועים נכונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

סדרו את שלבי החישוב של סטיית התקן.

  • מוציאים שורש
  • מחלקים במספר הנתונים
  • מחשבים את הממוצע
  • מחשבים את הסטייה של כל נתון מהממוצע
  • מעלים כל סטייה בריבוע ומחברים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מחשבים את הממוצע · מחשבים את הסטייה של כל נתון מהממוצע · מעלים כל סטייה בריבוע ומחברים · מחלקים במספר הנתונים · מוציאים שורש

הפתרון:

xˉ→x−xˉ→(x−xˉ)2→∑n→ \bar{x} \to x-\bar{x} \to (x-\bar{x})^2 \to \frac{\sum}{n} \to \sqrt{\ }

חמשת השלבים

אי אפשר לחשב סטיות לפני שיש ממוצע, והשורש הוא תמיד השלב האחרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

לארבע הקבוצות אותו ממוצע, 5050. לאיזו מהן סטיית התקן הגדולה ביותר? ענו בלי לחשב.

  1. 50, 50, 5050,\ 50,\ 50
  2. 45, 50, 5545,\ 50,\ 55
  3. 40, 50, 6040,\ 50,\ 60
  4. 48, 50, 5248,\ 50,\ 52
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 40, 50, 6040,\ 50,\ 60

הפתרון:

±10 > ±5 > ±2 > 0\pm 10 \ > \ \pm 5 \ > \ \pm 2 \ > \ 0

הסטיות בכל קבוצה

הנכונה: 40, 50, 6040,\ 50,\ 60. הנתונים שלה הכי רחוקים מהממוצע. לא צריך מחשבון כדי להשוות פיזור כשהממוצע משותף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

המשכורות של חמישה עובדים בחנות, באלפי ש״ח: 7, 8, 8, 9, 137,\ 8,\ 8,\ 9,\ 13. מצאו את סטיית התקן, באלפי ש״ח. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.1

הפתרון:

xˉ=455=9\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{45}{5} \\ &= 9\end{aligned}

הממוצע

−2, −1, −1, 0, 4-2,\ -1,\ -1,\ 0,\ 4

הסטיות

4+1+1+0+16=224 + 1 + 1 + 0 + 16 = 22

סכום הריבועים

S=225=4.4≈2.10\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{22}{5}} \\ &= \sqrt{4.4} \approx 2.10\end{aligned}

חלוקה ושורש

S≈2.10S \approx 2.10 אלפי ש״ח. שימו לב: העובד שמרוויח 1313 תורם 1616 מתוך 2222. נתון רחוק מהממוצע מגדיל מאוד את סטיית התקן, כי הסטייה שלו מועלית בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת