פותרים יחד · סטיית תקן · כיתה י״א

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: סטיית תקן מדיאגרמה, רשימה קצרה ונתון שנוסף, השוואה בין שתי קבוצות, ושינוי של כל הנתונים. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. בבחינה כתבו כל שלב: את הנוסחה, את ההצבה ואת התוצאה. מחשבון מותר, אבל הוא לא כותב את הדרך.

1 — סטיית תקן מדיאגרמה, ונתון שנוסף

ההזמנות באתר של קולנוע ביום אחד: כמה כרטיסים נקנו בכל הזמנה.

פעילות אינטראקטיבית

הדיאגרמה מתארת את מספר הכרטיסים בכל הזמנה באתר של קולנוע ביום אחד. א. כמה הזמנות היו? ב. מצאו את מספר הכרטיסים הממוצע בהזמנה. ג. מצאו את סטיית התקן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה. ד. בערב הגיעה עוד הזמנה של $5$ כרטיסים. האם סטיית התקן תגדל, תקטן או לא תשתנה? נמקו.

\begin{aligned}n &= ? \quad \bar{x} \\ &= ? \quad S \\ &= ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». קודם מעבירים את הדיאגרמה לטבלה: ערך ושכיחות.

א.

\begin{aligned}n &= 2+7+6+3+2 \\ &= 20\end{aligned}

סכום גובהי העמודות: $20$ הזמנות.

ב.

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{1 \cdot 2+2 \cdot 7+3 \cdot 6+4 \cdot 3+5 \cdot 2}{20} \\ &= \frac{56}{20} \\ &= 2.8\end{aligned}

ממוצע משוקלל: $2.8$ כרטיסים בהזמנה.

ג. סטיות

-1.8,\ -0.8,\ 0.2,\ 1.2,\ 2.2

הסטייה של כל ערך מ- $2.8$ .

ג. סכום

2 \cdot 3.24+7 \cdot 0.64+6 \cdot 0.04+3 \cdot 1.44+2 \cdot 4.84 = 25.2

שכיחות כפול ריבוע הסטייה.

ג.

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{25.2}{20}} \\ &= \sqrt{1.26} \approx 1.12\end{aligned}

מחלקים ב- $20$ , מספר ההזמנות.

ד.

5 - 2.8 = 2.2 > 1.12

הנתון החדש רחוק מהממוצע הרבה יותר מהמרחק הטיפוסי $S$ , ולכן סטיית התקן תגדל. בדיקה: עם $21$ הזמנות $S \approx 1.19$ .

שני מקומות שבהם הפרק «תופס»: חלוקה ב- $20$ ולא ב- $5$ בסעיף ג, והנימוק בסעיף ד, שצריך להשוות את המרחק מהממוצע.

לעשות את הפעילות ב-elev

ואם ההזמנה הנוספת הייתה של $3$ כרטיסים? מה היה קורה לסטיית התקן?

להציג את התשובה והפתרון

הסטייה של $3$ היא רק $0.2$ , קטנה בהרבה מ- $1.12$ . סכום הריבועים כמעט לא גדל, ו- $n$ גדל ל- $21$ . לכן סטיית התקן הייתה קטנה.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — ארבעה שכרים, ואז חמישה

פעילות אינטראקטיבית

השכר השעתי של ארבעה עובדים בבית קפה הוא $40,\ 45,\ 50,\ 65$ ש״ח. א. מצאו את הממוצע ואת החציון. ב. מצאו את סטיית התקן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה. ג. עובד חמישי, שהשכר שלו $50$ ש״ח, הצטרף. מה קרה לממוצע, לחציון ולסטיית התקן?

40,\ 45,\ 50,\ 65

לחצו «להתחיל». בארבעה נתונים החציון הוא ממוצע של שני האמצעיים.

א. ממוצע

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{40+45+50+65}{4} \\ &= \frac{200}{4} \\ &= 50\end{aligned}

הממוצע: $50$ ש״ח.

א. חציון

\begin{aligned}Me &= \frac{45+50}{2} \\ &= 47.5\end{aligned}

הנתונים כבר מסודרים.

ב.

(-10)^2+(-5)^2+0^2+15^2 = 350

סכום ריבועי הסטיות.

ב.

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{350}{4}} \\ &= \sqrt{87.5} \approx 9.35\end{aligned}

סטיית התקן: בערך $9.35$ ש״ח.

ג. ממוצע

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{200+50}{5} \\ &= 50\end{aligned}

הנתון החדש שווה לממוצע: הממוצע לא משתנה.

ג. חציון

\begin{aligned}40 \\ \ 45 \\ \ 50 \\ \ 50 \\ \ 65 \ \Rightarrow \ Me &= 50\end{aligned}

חמישה נתונים: החציון הוא השלישי. החציון עלה.

ג. סטיית תקן

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{350+0}{5}} \\ &= \sqrt{70} \approx 8.37\end{aligned}

אותו סכום ריבועים, חלקי $5$ : סטיית התקן קטנה.

נתון שווה לממוצע משאיר את הממוצע, מקטין את סטיית התקן, ויכול להזיז את החציון.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם ייתכן שמוסיפים נתון, והממוצע וגם סטיית התקן לא משתנים?

להציג את התשובה והפתרון

רק אם $S=0$ מלכתחילה. כדי שהממוצע לא ישתנה, הנתון החדש חייב להיות שווה לממוצע. ואז סכום הריבועים נשאר, $n$ גדל, וסטיית התקן קטנה. אם כל הנתונים שווים, $S$ נשארת $0$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — שתי רצות, רצה אחת לתחרות

זמני ריצה של 100 מטר (שניות) בחמישה אימונים

אימון	1	2	3	4	5
מאיה	12.1	12.3	12.2	12.4	12
שירה	11.8	12.6	11.9	12.5	12.2

פעילות אינטראקטיבית

את מי לשלוח?

המאמנת צריכה לשלוח לתחרות רצה אחת, שהזמן שלה צפוי ככל האפשר. א. מצאו את הממוצע של כל רצה. ב. מצאו את סטיית התקן של כל רצה. ג. את מי כדאי לשלוח? נמקו.

את מאיה: אותו ממוצע, סטיית תקן קטנה יותר

את שירה: אותו ממוצע, סטיית תקן גדולה יותר

את שירה: היא רצה פעם אחת ב- $11.8$ שניות

לא משנה: הממוצעים שווים

מה הממוצעים?

לשתיהן $12.2$ שניות

להציג את התשובה והפתרון

סכום כל שורה $61$ , חלקי $5$ .

למאיה $12.2$ , לשירה $12.0$

להציג את התשובה והפתרון

חברו שוב: $11.8+12.6+11.9+12.5+12.2=61$ .

\begin{aligned}\bar{x}_1 &= \bar{x}_2 \\ &= \frac{61}{5} \\ &= 12.2\end{aligned}

הממוצע לא מכריע.

מה סכום ריבועי הסטיות של מאיה?

$0.1$

להציג את התשובה והפתרון

$0.01+0.01+0+0.04+0.04$ .

$0$

להציג את התשובה והפתרון

זה סכום הסטיות עצמן, לפני הריבוע.

\begin{aligned}S_1 &= \sqrt{\frac{0.1}{5}} \\ &= \sqrt{0.02} \approx 0.14\end{aligned}

מאיה

ומה סכום ריבועי הסטיות של שירה?

$0.5$

להציג את התשובה והפתרון

$0.16+0.16+0.09+0.09+0$ .

$1.4$

להציג את התשובה והפתרון

זה סכום הסטיות בערך מוחלט, בלי ריבוע.

\begin{aligned}S_2 &= \sqrt{\frac{0.5}{5}} \\ &= \sqrt{0.1} \approx 0.32\end{aligned}

שירה

מה המסקנה?

לשלוח את מאיה

להציג את התשובה והפתרון

אותו ממוצע, והזמנים שלה הומוגניים יותר: קל יותר לצפות אותם.

לשלוח את שירה

להציג את התשובה והפתרון

שירה מהירה לפעמים, אבל גם איטית לפעמים. המאמנת ביקשה זמן צפוי.

0.14 < 0.32

סטיית התקן של מאיה קטנה יותר

להציג את התשובה והפתרון

את מאיה. הממוצעים שווים, $12.2$ שניות, וסטיית התקן של מאיה קטנה יותר ( $0.14<0.32$ ): הזמנים שלה הומוגניים יותר. מסקנה בבגרות נכתבת תמיד עם שני המספרים ועם המילה שהם מסבירים.

לעשות את הפעילות ב-elev

אילו המאמנת הייתה צריכה רצה שיש לה סיכוי לשבור שיא, $11.8$ שניות, את מי הייתה שולחת?

להציג את התשובה והפתרון

את שירה. פיזור גדול פירושו גם תוצאות טובות מאוד וגם תוצאות חלשות. השאלה קובעת איזה מדד חשוב: כאן «צפוי» ביקש פיזור קטן.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — הנחה בשקלים, העלאה באחוזים

פעילות אינטראקטיבית

מחירים בחנות ספרים

בחנות ספרים, המחיר הממוצע של ספר הוא $40$ ש״ח, החציון $36$ ש״ח, וסטיית התקן $8$ ש״ח. א. בשבוע הספר הורידו $10$ ש״ח מהמחיר של כל ספר. מהם הממוצע, החציון וסטיית התקן? ב. אחרי שבוע הספר חזרו למחירים המקוריים, ואז העלו כל מחיר ב- $20\%$ . מהם הממוצע, החציון וסטיית התקן?

א: $30$ , $26$ , $8$ ; ב: $48$ , $43.2$ , $9.6$

א: $30$ , $26$ , $-2$ ; ב: $48$ , $43.2$ , $8$

א: $30$ , $26$ , $8$ ; ב: $60$ , $56$ , $28$

א: $30$ , $36$ , $8$ ; ב: $48$ , $36$ , $9.6$

הורדה של $10$ ש״ח מכל ספר: מה קורה לממוצע ולחציון?

שניהם יורדים ב- $10$

להציג את התשובה והפתרון

כל הנתונים זזים יחד, וגם כל מדד מרכז.

רק הממוצע יורד, החציון נשאר

להציג את התשובה והפתרון

הספר האמצעי נשאר אמצעי, אבל גם המחיר שלו ירד ב- $10$ .

\begin{aligned}\bar{x} &= 30 \\ \quad Me &= 26\end{aligned}

מדדי המרכז

ומה קורה לסטיית התקן?

לא משתנה

להציג את התשובה והפתרון

המרחקים בין המחירים לא השתנו.

יורדת ב- $10$

להציג את התשובה והפתרון

הייתה יוצאת $-2$ , וסטיית תקן אינה שלילית.

S = 8

סעיף א

העלאה של $20\%$ : באיזה מספר מכפילים כל מחיר?

$1.2$

להציג את התשובה והפתרון

$100\%+20\%=120\%$ .

$0.2$

להציג את התשובה והפתרון

כך מקבלים רק את התוספת, לא את המחיר החדש.

x \to 1.2 \cdot x

כפל בכל הנתונים

מה קורה לשלושת המדדים?

כולם מוכפלים ב- $1.2$

להציג את התשובה והפתרון

בכפל גם המרחקים גדלים פי $1.2$ .

הממוצע והחציון מוכפלים, סטיית התקן לא משתנה

להציג את התשובה והפתרון

זה נכון לתוספת קבועה, לא לכפל.

\begin{aligned}\bar{x} &= 48 \\ \quad Me &= 43.2 \\ \quad S &= 9.6\end{aligned}

סעיף ב

להציג את התשובה והפתרון

א: ממוצע $30$ , חציון $26$ , סטיית תקן $8$ . ב: ממוצע $48$ , חציון $43.2$ , סטיית תקן $9.6$ . תוספת או הורדה בשקלים לא נוגעת בפיזור; שינוי באחוזים כן.

לעשות את הפעילות ב-elev

למה העלאה של $20\%$ מגדילה את הפיזור, והורדה של $10$ ש״ח לא?

להציג את התשובה והפתרון

בהורדה של $10$ ש״ח כל ספר זז באותו סכום. בהעלאה של $20\%$ ספר ב- $60$ ש״ח עולה ב- $12$ וספר ב- $30$ ש״ח עולה רק ב- $6$ : הפער ביניהם גדל מ- $30$ ל- $36$ , כלומר פי $1.2$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. ושאלה 5 מתרגלת שכיחות חסרה, שמופיעה בבגרות לפני חישוב סטיית התקן.

תרגילים

תרגיל 1

בדיאגרמה: מספר כוסות הקפה ששתו עובדי משרד ביום אחד. השלימו. עגלו את סטיית התקן לשתי ספרות אחרי הנקודה. בסעיף האחרון כתבו $1$ אם סטיית התקן גדלה, $0$ אם לא השתנתה, $-1$ אם קטנה.

מספר העובדים: ____ ; הממוצע: ____ ; סטיית התקן: ____ ; עובד נוסף שתה $4$ כוסות. סטיית התקן: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מספר העובדים: 20 ; הממוצע: 1.9 ; סטיית התקן: 1.14 ; עובד נוסף שתה $4$ כוסות. סטיית התקן: 1

הפתרון:

\begin{aligned}n &= 2+6+6+4+2 \\ &= 20\end{aligned}

סכום השכיחויות

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{0+6+12+12+8}{20} \\ &= \frac{38}{20} \\ &= 1.9\end{aligned}

ממוצע משוקלל

2 \cdot 3.61+6 \cdot 0.81+6 \cdot 0.01+4 \cdot 1.21+2 \cdot 4.41 = 25.8

שכיחות כפול ריבוע הסטייה

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{25.8}{20}} \\ &= \sqrt{1.29} \approx 1.14\end{aligned}

סטיית התקן

4 - 1.9 = 2.1 > 1.14

הנתון החדש רחוק מהממוצע: סטיית התקן גדלה

נתון שרחוק מהממוצע הרבה יותר מ- $S$ מגדיל את סטיית התקן. מי שחילק ב- $5$ חילק במספר העמודות ולא במספר העובדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המחירים של ארבעה מוצרים בחנות, בש״ח: $30,\ 36,\ 40,\ 54$ . השלימו. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

הממוצע: ____ ; החציון: ____ ; סטיית התקן: ____ ; נוסף מוצר במחיר $40$ ש״ח. סטיית התקן החדשה: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הממוצע: 40 ; החציון: 38 ; סטיית התקן: 8.83 ; נוסף מוצר במחיר $40$ ש״ח. סטיית התקן החדשה: 7.9

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{160}{4} \\ &= 40 \\ \quad Me &= \frac{36+40}{2} \\ &= 38\end{aligned}

ממוצע וחציון

100+16+0+196 = 312

סכום ריבועי הסטיות

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{312}{4}} \\ &= \sqrt{78} \approx 8.83\end{aligned}

סטיית התקן

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{312}{5}} \\ &= \sqrt{62.4} \approx 7.90\end{aligned}

המוצר החדש שווה לממוצע

המוצר החדש שווה לממוצע, ולכן הממוצע נשאר $40$ וסטיית התקן קטנה. מי שחישב שוב את כל הסטיות קיבל אותו דבר, בדרך ארוכה יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

שתי מכונות ממלאות בקבוקי מים. במכונה א: כמות ממוצעת $500$ מ״ל, סטיית תקן $2$ מ״ל. במכונה ב: כמות ממוצעת $503$ מ״ל, סטיית תקן $6$ מ״ל. המפעל רוצה שכל הבקבוקים יכילו כמות קרובה ככל האפשר לאותה כמות. איזו מכונה מתאימה יותר, ולמה?

מכונה ב: הממוצע שלה גדול יותר
אי אפשר לדעת, כי הממוצעים שונים
מכונה א: סטיית התקן שלה קטנה יותר, ולכן הכמויות בה הומוגניות יותר
מכונה ב: סטיית התקן שלה גדולה יותר

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג מכונה א: סטיית התקן שלה קטנה יותר, ולכן הכמויות בה הומוגניות יותר

הפתרון:

2 < 6

מדד הפיזור הוא שעונה על השאלה

500 < 503

הממוצע לא מה שנשאל

הנכונה: מכונה א. השאלה שואלת על אחידות, ואחידות נמדדת בסטיית התקן. ממוצע גבוה יותר עונה על שאלה אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בחנות בגדים, המחיר הממוצע של חולצה הוא $60$ ש״ח וסטיית התקן $12$ ש״ח. השלימו (בש״ח).

בהנחה של $25\%$ על כל חולצה: ממוצע ____ , סטיית תקן ____ ; בתוספת של $15$ ש״ח לכל חולצה (במקום ההנחה): ממוצע ____ , סטיית תקן ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בהנחה של $25\%$ על כל חולצה: ממוצע 45 , סטיית תקן 9 ; בתוספת של $15$ ש״ח לכל חולצה (במקום ההנחה): ממוצע 75 , סטיית תקן 12

הפתרון:

x \to 0.75 \cdot x

הנחה של $25\%$ : משלמים $75\%$

\begin{aligned}\bar{x} &= 45 \\ \quad S &= 0.75 \cdot 12 \\ &= 9\end{aligned}

שני המדדים מוכפלים

\begin{aligned}x \to x + 15 \ \Rightarrow \ \bar{x} &= 75 \\ \quad S &= 12\end{aligned}

תוספת קבועה: רק הממוצע זז

הנחה באחוזים מקטינה את סטיית התקן. תוספת בשקלים לא משנה אותה. מי שכתב $S=27$ הוסיף $15$ גם לסטיית התקן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ציונים בבוחן

ציון	6	7	8	9	10
מספר תלמידים	2	5	$x$	4	1

בטבלה: הציונים (מתוך 10) בבוחן. אחת השכיחויות חסרה, והממוצע הוא $7.8$ . מצאו את השכיחות החסרה $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\frac{6 \cdot 2+7 \cdot 5+8x+9 \cdot 4+10 \cdot 1}{2+5+x+4+1} = \frac{93+8x}{12+x}

הממוצע, עם $x$ במונה ובמכנה

\begin{aligned}\frac{93+8x}{12+x} &= 7.8 \ \Rightarrow \ 93+8x \\ &= 93.6+7.8x\end{aligned}

כופלים במכנה

\begin{aligned}0.2x &= 0.6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

פותרים

בדיקה: $\frac{93+24}{15}=\frac{117}{15}=7.8$ ✓. מי שכתב במכנה $12$ שכח שגם מספר התלמידים תלוי ב- $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — סטיית תקן מדיאגרמה, ונתון שנוסף

2 — ארבעה שכרים, ואז חמישה

3 — שתי רצות, רצה אחת לתחרות

4 — הנחה בשקלים, העלאה באחוזים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev