תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: נגזרת של מנה, חקירת פונקציה רציונלית (אסימפטוטה וקיצון), ובעיות קיצון. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

נתונה f(x)=3x+2x+1f(x) = \frac{3x+2}{x+1}. מהי f′(1)f'(1)? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

f′(x)=3(x+1)−(3x+2)⋅1(x+1)2f'(x) = \frac{3(x+1) - (3x+2) \cdot 1}{(x+1)^2}

גזור-כפול פחות כפול-גזור

=1(x+1)2= \frac{1}{(x+1)^2}
f′(1)=14=0.25\begin{aligned}f'(1) &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

המכנה בריבוע — לא לשכוח אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=x2+1x+3f(x) = \frac{x^2+1}{x+3}. מהי האסימפטוטה האנכית שלה? (ערך xx)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

x+3=0⇒x=−3\begin{aligned}x + 3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -3\end{aligned}

המכנה מתאפס

(−3)2+1=10≠0(-3)^2 + 1 = 10 \ne 0

המונה לא מתאפס שם

האסימפטוטה האנכית היא x=−3x = -3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=xx−2f(x) = \frac{x}{x-2}. מהי f′(x)f'(x)?

  1. −2x−2\frac{-2}{x-2}
  2. −2(x−2)2\frac{-2}{(x-2)^2}
  3. 2(x−2)2\frac{2}{(x-2)^2}
  4. 11
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב −2(x−2)2\frac{-2}{(x-2)^2}

הפתרון:

f′(x)=1⋅(x−2)−x⋅1(x−2)2f'(x) = \frac{1 \cdot (x-2) - x \cdot 1}{(x-2)^2}
=−2(x−2)2= \frac{-2}{(x-2)^2}

החלפת הסדר במונה נותנת +2+2, ושכחת הריבוע נותנת −2x−2\frac{-2}{x-2}. 11 מתקבל מגזירת המונה והמכנה בנפרד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

נתונה f(x)=x2+16xf(x) = \frac{x^2+16}{x}. מהו ערך ה-yy של נקודת המינימום המקומי שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

f′(x)=2x⋅x−(x2+16)x2=x2−16x2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x \cdot x - (x^2+16)}{x^2} \\ &= \frac{x^2 - 16}{x^2}\end{aligned}
x2−16=0⇒x=±4\begin{aligned}x^2 - 16 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 4\end{aligned}
f(4)=324=8\begin{aligned}f(4) &= \frac{32}{4} \\ &= 8\end{aligned}

מהסימן: יורדת לפני 4 ועולה אחריו

ב-x=−4x = -4 יש מקסימום מקומי, f(−4)=−8f(-4) = -8 — נמוך מהמינימום, כי הם בשני ענפים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=x−1x+1f(x) = \frac{x-1}{x+1}. מהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה x=3x = 3? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.125

הפתרון:

f′(x)=(x+1)−(x−1)(x+1)2=2(x+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x+1) - (x-1)}{(x+1)^2} \\ &= \frac{2}{(x+1)^2}\end{aligned}
f′(3)=216=0.125\begin{aligned}f'(3) &= \frac{2}{16} \\ &= 0.125\end{aligned}

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הפונקציה f(x)=x+2x−3f(x) = \frac{x+2}{x-3} יורדת בכל אחד משני הענפים שלה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f′(x)=(x−3)−(x+2)(x−3)2=−5(x−3)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x-3) - (x+2)}{(x-3)^2} \\ &= \frac{-5}{(x-3)^2}\end{aligned}
−5<0 , (x−3)2>0-5 < 0 \ , \ (x-3)^2 > 0

המונה שלילי, המכנה חיובי

הנגזרת שלילית בכל תחום ההגדרה — אין נקודות קיצון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חקלאי בעמק יזרעאל מגדר חלקה מלבנית בשטח 800 מ״ר, צמודה לנחל. לאורך הנחל לא מגדרים. מהו אורך הגדר הקטן ביותר (במטרים)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 80

הפתרון:

xy=800⇒y=800x\begin{aligned}xy &= 800 \Rightarrow y \\ &= \frac{800}{x}\end{aligned}

xx — הצלע הניצבת לנחל

L(x)=2x+800xL(x) = 2x + \frac{800}{x}

שתי צלעות ניצבות וצלע אחת מקבילה

L′(x)=2−800x2=0⇒x=20\begin{aligned}L'(x) &= 2 - \frac{800}{x^2} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 20\end{aligned}
L(20)=40+40=80\begin{aligned}L(20) &= 40 + 40 \\ &= 80\end{aligned}

L′L' שלילית לפני 20 וחיובית אחריו — מינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

שני מספרים חיוביים xx ו-yy מקיימים x+y=12x + y = 12. מהו הערך הגדול ביותר של המכפלה x2yx^2 y?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 256

הפתרון:

f(x)=x2(12−x)=12x2−x3\begin{aligned}f(x) &= x^2(12 - x) \\ &= 12x^2 - x^3\end{aligned}

האילוץ מחסל משתנה

f′(x)=24x−3x2=3x(8−x)=0\begin{aligned}f'(x) &= 24x - 3x^2 \\ &= 3x(8 - x) \\ &= 0\end{aligned}
x=8⇒f(8)=64⋅4=256\begin{aligned}x &= 8 \Rightarrow f(8) \\ &= 64 \cdot 4 \\ &= 256\end{aligned}

f′f' חיובית לפני 8 ושלילית אחריו

המספרים הם 88 ו-44. הפעם הסימטריה לא מנצחת: 62⋅66^2 \cdot 6 היה נותן 216216 בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה f(x)=x2−2x+4x−2f(x) = \frac{x^2 - 2x + 4}{x - 2}. מהו ערך ה-yy של נקודת המקסימום המקומי שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

f′(x)=(2x−2)(x−2)−(x2−2x+4)(x−2)2f'(x) = \frac{(2x-2)(x-2) - (x^2-2x+4)}{(x-2)^2}

כלל המנה

=x2−4x(x−2)2= \frac{x^2 - 4x}{(x-2)^2}
x(x−4)=0⇒x=0  x=4\begin{aligned}x(x-4) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \ \\ \ x &= 4\end{aligned}
f(0)=4−2=−2\begin{aligned}f(0) &= \frac{4}{-2} \\ &= -2\end{aligned}

עולה לפני 0 ויורדת אחריו

ב-x=4x = 4 יש מינימום, f(4)=6f(4) = 6. האסימפטוטה x=2x = 2 מפרידה בין שני הענפים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בונים קופסה פתוחה (בלי מכסה) שאורך בסיסה שווה לרוחב בסיסה, ונפחה 32 סמ״ק. מהו שטח הפנים הקטן ביותר של הקופסה (בסמ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 48

הפתרון:

x2h=32⇒h=32x2\begin{aligned}x^2 h &= 32 \Rightarrow h \\ &= \frac{32}{x^2}\end{aligned}

xx — צלע הבסיס, hh — הגובה

S(x)=x2+4xh=x2+128x\begin{aligned}S(x) &= x^2 + 4xh \\ &= x^2 + \frac{128}{x}\end{aligned}

בסיס אחד וארבע דפנות

S′(x)=2x−128x2=0⇒x3=64\begin{aligned}S'(x) &= 2x - \frac{128}{x^2} \\ &= 0 \Rightarrow x^3 \\ &= 64\end{aligned}
x=4⇒S(4)=16+32=48\begin{aligned}x &= 4 \Rightarrow S(4) \\ &= 16 + 32 \\ &= 48\end{aligned}

S′S' שלילית לפני 4 וחיובית אחריו — מינימום. הגובה יוצא 22 ס״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת