סדרה 3 — לקראת הבגרות · חשבון דיפרנציאלי · כיתה י״א

שלוש שאלות בנוסח שאלון 35471, מחולקות לסעיפים: פונקציה עם פרמטר שמוגדרת לכל $x$ (א–ד), פונקציה עם אסימפטוטה אנכית ובלי חיתוך עם ציר ה- $x$ (א–ג), ובעיית קיצון על מלבן שנשען על האסימפטוטות (א–ג). כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותו פתיח.

כתבו כמו בבחינה: תחום ואסימפטוטות קודם, נגזרת, טבלת סימנים, ורק אחר כך $|f|$ , $f+c$ או שטח. תשובה של סעיף קודם כמעט תמיד חוסכת עבודה בסעיף הבא.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{ax}{x^2+4}$ , ו- $a>0$ פרמטר. הערך הגדול ביותר של $f$ הוא $2$ , והוא מתקבל ב- $x=2$ . א. מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}f(2) &= \frac{2a}{8} \\ &= \frac{a}{4}\end{aligned}

מציבים $x=2$

\begin{aligned}\frac{a}{4} &= 2 \ \Rightarrow \ a \\ &= 8\end{aligned}

הערך הגדול ביותר נתון

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{8(4-x^2)}{(x^2+4)^2} \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= 0 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

הנתון «הערך $2$ » הוא על $f$ , לא על $f'$ . את $f'(2)=0$ אפשר להשאיר לבדיקה: הוא נכון לכל $a$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{ax}{x^2+4}$ , ו- $a>0$ פרמטר. הערך הגדול ביותר של $f$ הוא $2$ , והוא מתקבל ב- $x=2$ . ב. מצאו את האסימפטוטה האופקית של $f$ ואת נקודת המינימום שלה.

אסימפטוטה: $y=$ ____ ; מינימום: $x=$ ____ , $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אסימפטוטה: $y=$ 0 ; מינימום: $x=$ -2 , $y=$ -2

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= \frac{8x}{x^2+4} \ \\ \quad y &= 0\end{aligned}

דרגת המכנה גדולה מדרגת המונה

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{8(x^2+4)-8x \cdot 2x}{(x^2+4)^2} \\ &= \frac{8(4-x^2)}{(x^2+4)^2}\end{aligned}

כלל המנה

\begin{aligned}x &= -2: \ - \to + \qquad f(-2) \\ &= \frac{-16}{8} \\ &= -2\end{aligned}

מינימום

$f(-x)=-f(x)$ : הגרף סימטרי סביב הראשית, ולכן המינימום הוא המקסימום בסימן הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{ax}{x^2+4}$ , ו- $a>0$ פרמטר. הערך הגדול ביותר של $f$ הוא $2$ , והוא מתקבל ב- $x=2$ . ג. נגדיר $g(x)=|f(x)|$ . כמה פתרונות יש למשוואה $g(x)=1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= 1: \ x^2-8x+4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \pm 2\sqrt{3}\end{aligned}

שני פתרונות חיוביים

\begin{aligned}f(x) &= -1: \ x^2+8x+4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -4 \pm 2\sqrt{3}\end{aligned}

שני פתרונות שליליים

4

ארבעה פתרונות שונים

בלי החישוב: $0<1<2$ , ולכן הישר $y=1$ חותך כל אחד משני «הגבעות» של $|f|$ פעמיים. מי שענה $2$ שכח את החלק השלילי שהתהפך למעלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{ax}{x^2+4}$ , ו- $a>0$ פרמטר. הערך הגדול ביותר של $f$ הוא $2$ , והוא מתקבל ב- $x=2$ . ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הנגזרת $f'$ , ציר ה- $x$ והישרים $x=0$ ו- $x=2$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

0 \leq x \leq 2: \ f'(x) \geq 0

הנגזרת מעל הציר: $f$ עולה עד המקסימום

\begin{aligned}S &= \int_0^2 f'(x)\,dx \\ &= f(2)-f(0)\end{aligned}

הפונקציה הקדומה של $f'$ היא $f$

=2-0=2

$f(0)=0$

לא צריך לגזור ולא לחפש פונקציה קדומה: השטח מתחת ל- $f'$ הוא השינוי בגובה של $f$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-6x+10}{x-3}$ . א. מצאו את האסימפטוטה האנכית ואת ערכי ה- $y$ של נקודות הקיצון.

אסימפטוטה: $x=$ ____ ; מקסימום: $y=$ ____ ; מינימום: $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אסימפטוטה: $x=$ 3 ; מקסימום: $y=$ -2 ; מינימום: $y=$ 2

הפתרון:

\begin{aligned}x-3 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

המונה שם $1 \neq 0$

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(2x-6)(x-3)-(x^2-6x+10)}{(x-3)^2} \\ &= \frac{x^2-6x+8}{(x-3)^2}\end{aligned}

כלל המנה

\begin{aligned}x &= 2: \ f(2) \\ &= \frac{2}{-1} \\ &= -2 \qquad x \\ &= 4: \ f(4) \\ &= \frac{2}{1} \\ &= 2\end{aligned}

$(x-2)(x-4)=0$

\begin{aligned}x &= 2: \ + \to - \qquad x \\ &= 4: \ - \to +\end{aligned}

מקסימום ב-2, מינימום ב-4

שוב המקסימום נמוך מהמינימום: הענף השמאלי כולו מתחת ל- $-2$ והענף הימני כולו מעל $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-6x+10}{x-3}$ . ב. הגרף של $f$ אינו חותך את ציר ה- $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x^2-6x+10=0

חיתוך עם ציר ה- $x$ : המונה מתאפס

\begin{aligned}\Delta &= 36-40 \\ &= -4<0\end{aligned}

אין פתרון

אפשר לראות את זה גם מסעיף א: הענף הימני מעל $2$ והענף השמאלי מתחת ל- $-2$ , ולכן אף ענף לא מגיע ל- $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-6x+10}{x-3}$ . ג. נגדיר $g(x)=|f(x)|$ . מצאו את הערך של $k$ שעבורו למשוואה $g(x)=k$ יש בדיוק שני פתרונות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x<3: \ f \leq -2 \ \Rightarrow \ g=-f \geq 2

הענף השמאלי מתהפך: המקסימום $(2,\,-2)$ נעשה מינימום $(2,\,2)$

x>3: \ g=f \geq 2

הענף הימני לא משתנה, המינימום $(4,\,2)$

\begin{aligned}k &= 2: \ x \\ &= 2 \\ \ x &= 4\end{aligned}

הישר $y=2$ נוגע בשני המינימומים

0<k<2: \ 0 \qquad k>2: \ 4

ובשאר הערכים

ל- $g$ שני ענפים מעל $y=2$ . כל ישר $y=k$ עם $k>2$ חותך כל ענף פעמיים, ולכן רק $k=2$ נותן שני פתרונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הנקודה P והאסימפטוטות

הגרף של

f

, שתי האסימפטוטות (מקווקו) והמלבן שקודקודו

P

. המלבן משתנה כש-

P

זזה על הענף הימני.

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2x+2}{x-1}$ . הנקודה $P$ נמצאת על הגרף של $f$ , ו- $x>1$ . דרך $P$ מעבירים אנך לכל אחת משתי האסימפטוטות של $f$ , ונוצר מלבן שצלעותיו על האסימפטוטות. א. הראו שהשטח של המלבן אינו תלוי במיקום של $P$ , ומצאו אותו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= \frac{2(x-1)+4}{x-1} \\ &= 2+\frac{4}{x-1}\end{aligned}

מפרקים את המנה

\begin{aligned}x &= 1 \\ \quad y &= 2\end{aligned}

האסימפטוטות

\begin{aligned}(x-1) \cdot \big(f(x)-2\big) &= (x-1) \cdot \frac{4}{x-1} \\ &= 4\end{aligned}

רוחב כפול גובה

הצלעות נמדדות מהאסימפטוטות, לא מהצירים: הרוחב $x-1$ והגובה $f(x)-2$ . מי שחישב $x \cdot f(x)$ קיבל ביטוי שתלוי ב- $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הנקודה P והאסימפטוטות

הגרף של

f

, שתי האסימפטוטות (מקווקו) והמלבן שקודקודו

P

. המלבן משתנה כש-

P

זזה על הענף הימני.

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2x+2}{x-1}$ . הנקודה $P$ נמצאת על הגרף של $f$ , ו- $x>1$ . דרך $P$ מעבירים אנך לכל אחת משתי האסימפטוטות של $f$ , ונוצר מלבן שצלעותיו על האסימפטוטות. ב. מהו ההיקף הקטן ביותר של המלבן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}t &= x-1>0 \ \\ \quad p(t) &= 2\left(t+\tfrac{4}{t}\right)\end{aligned}

רוחב $t$ , גובה $\frac{4}{t}$

\begin{aligned}p'(t) &= 2\left(1-\tfrac{4}{t^2}\right) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 2\end{aligned}

$t=-2$ נפסל

\begin{aligned}p(2) &= 2(2+2) \\ &= 8\end{aligned}

$p'$ עוברת מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

P(3,\,4)

הנקודה עצמה

ההיקף הקטן ביותר מתקבל כשהמלבן הוא ריבוע, $2 \times 2$ . מי שענה $3$ כתב את שיעור ה- $x$ של $P$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הנקודה P והאסימפטוטות

הגרף של

f

, שתי האסימפטוטות (מקווקו) והמלבן שקודקודו

P

. המלבן משתנה כש-

P

זזה על הענף הימני.

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2x+2}{x-1}$ . הנקודה $P$ נמצאת על הגרף של $f$ , ו- $x>1$ . דרך $P$ מעבירים אנך לכל אחת משתי האסימפטוטות של $f$ , ונוצר מלבן שצלעותיו על האסימפטוטות. ג. ייתכן שהיקף המלבן יהיה $7$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

p_{\min}=8

מסעיף ב

7<8

ההיקף תמיד לפחות $8$

שאלת «האם ייתכן» נענית מהערך הקטן ביותר: כל ערך שמתחתיו בלתי אפשרי. $7$ קרוב ל- $8$ , ובכל זאת לא ניתן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev