סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות של שניים-שלושה צעדים: חקירה של פונקציה רציונלית, פרמטר מתוך נגזרת, משוואת משיק, אי-שוויון רציונלי, הפונקציות −f+c-f+c ו-∣f∣|f|, בעיית קיצון, וקריאת הסימן של f′f'.

בכל חקירה בנו טבלת סימנים של המונה של f′f', וסמנו בה את האסימפטוטה בקו כפול. המכנה (… )2(\dots)^2 חיובי, ולכן הוא לא משנה סימן.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=x2+x+4x+1f(x)=\frac{x^2+x+4}{x+1}. מצאו את ערכי ה-yy של נקודות הקיצון.

מקסימום: y=y= ____ ; מינימום: y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקסימום: y=y= -5 ; מינימום: y=y= 3

הפתרון:

f′(x)=(2x+1)(x+1)−(x2+x+4)(x+1)2=x2+2x−3(x+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+4)}{(x+1)^2} \\ &= \frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}\end{aligned}

כלל המנה

(x+3)(x−1)=0 ⇒ x=−3 x=1\begin{aligned}(x+3)(x-1) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -3 \\ \ x &= 1\end{aligned}

הנקודות החשודות

f(−3)=10−2=−5f(1)=62=3\begin{aligned}f(-3) &= \frac{10}{-2} \\ &= -5 \qquad f(1) \\ &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

הגבהים

x=−3: +→−x=1: −→+\begin{aligned}x &= -3: \ + \to - \qquad x \\ &= 1: \ - \to +\end{aligned}

הסוג לפי הסימן

המקסימום −5-5 קטן מהמינימום 33. הסוג נקבע לפי הסימן של f′f', לא לפי הגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותה פונקציה f(x)=x2+x+4x+1f(x)=\frac{x^2+x+4}{x+1}: באילו תחומים ff עולה?

  1. x<−1x<-1
  2. x<−3x<-3 או x>1x>1
  3. x>−1x>-1
  4. −3<x<1-3<x<1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x<−3x<-3 או x>1x>1

הפתרון:

f′(x)=(x+3)(x−1)(x+1)2f'(x)=\frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}

הנגזרת

x<−3: +−3<x<−1: −−1<x<1: −x>1: +x<-3: \ + \quad -3<x<-1: \ - \quad -1<x<1: \ - \quad x>1: \ +

טבלת סימנים עם x=−1x=-1

בין −3-3 ל-11 הפונקציה יורדת, בשני קטעים, משני צדי האסימפטוטה x=−1x=-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=x2+ax−2f(x)=\frac{x^2+a}{x-2}, ו-aa פרמטר. המשיק לגרף בנקודה שבה x=3x=3 מקביל לציר ה-xx. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

f′(x)=2x(x−2)−(x2+a)(x−2)2=x2−4x−a(x−2)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x-2)-(x^2+a)}{(x-2)^2} \\ &= \frac{x^2-4x-a}{(x-2)^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′(3)=9−12−a=0 ⇒ a=−3\begin{aligned}f'(3) &= 9-12-a \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -3\end{aligned}

משיק מקביל לציר ה-xx: שיפוע 0

22−3=1≠02^2-3=1 \neq 0

בדיקה: x=2x=2 עדיין אסימפטוטה

«מקביל לציר ה-xx» פירושו f′=0f'=0, לא f=0f=0. מי שהציב ב-ff פתר שאלה אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה f(x)=2xx−1f(x)=\frac{2x}{x-1}. באיזו נקודה חותך את ציר ה-yy המשיק לגרף בנקודה שבה x=2x=2? כתבו את ערך ה-yy.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

f(2)=41=4\begin{aligned}f(2) &= \frac{4}{1} \\ &= 4\end{aligned}

נקודת ההשקה (2, 4)(2,\,4)

f′(x)=2(x−1)−2x(x−1)2=−2(x−1)2 ⇒ f′(2)=−2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x-1)-2x}{(x-1)^2} \\ &= \frac{-2}{(x-1)^2} \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= -2\end{aligned}

השיפוע

y−4=−2(x−2) ⇒ y=−2x+8\begin{aligned}y-4 &= -2(x-2) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x+8\end{aligned}

משוואת המשיק

המשיק חותך את ציר ה-yy ב-88. f(0)=0f(0)=0 הוא החיתוך של הגרף, לא של המשיק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הגרף של f(x)=x2x2+4f(x)=\frac{x^2}{x^2+4} חותך את האסימפטוטה האופקית שלו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

y=1y=1

האסימפטוטה: מנת המקדמים המובילים

x2x2+4=1 ⇒ x2=x2+4 ⇒ 0=4\begin{aligned}\frac{x^2}{x^2+4} &= 1 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= x^2+4 \ \Rightarrow \ 0 \\ &= 4\end{aligned}

אין פתרון

גרף יכול לחתוך אסימפטוטה אופקית, אבל כאן x2<x2+4x^2<x^2+4 תמיד, ולכן f(x)<1f(x)<1 לכל xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

כמה מספרים שלמים מקיימים את אי-השוויון x−3x+2<0\frac{x-3}{x+2}<0?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x=3 x=−2\begin{aligned}x &= 3 \\ \ x &= -2\end{aligned}

האפס של המונה והאפס של המכנה

−2<x<3-2<x<3

שם המונה שלילי והמכנה חיובי

x=−1 0 1 2\begin{aligned}x &= -1 \\ \ 0 \\ \ 1 \\ \ 2\end{aligned}

המספרים השלמים בקטע הפתוח

x=−2x=-2 אסור (חלוקה באפס) ו-x=3x=3 נותן 00, שאינו קטן מ-00. מי שכפל את שני האגפים ב-x+2x+2 בלי לבדוק סימן עלול לקבל תחום אחר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

לפונקציה f(x)=x2+9xf(x)=\frac{x^2+9}{x} מינימום (3, 6)(3,\,6) ומקסימום (−3, −6)(-3,\,-6). נגדיר g(x)=−f(x)+2g(x)=-f(x)+2. מה נכון לגבי gg ב-x=3x=3?

  1. ל-gg מינימום (3, −4)(3,\,-4)
  2. ל-gg מקסימום (3, 8)(3,\,8)
  3. ל-gg מקסימום (3, −4)(3,\,-4)
  4. ל-gg מינימום (3, 8)(3,\,8)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג ל-gg מקסימום (3, −4)(3,\,-4)

הפתרון:

−f-f

שיקוף בציר ה-xx: מינימום הופך למקסימום

g(3)=−6+2=−4\begin{aligned}g(3) &= -6+2 \\ &= -4\end{aligned}

ואחר כך הזזה של 2 למעלה

g(−3)=6+2=8\begin{aligned}g(-3) &= 6+2 \\ &= 8\end{aligned}

וב-x=−3x=-3: מינימום (−3, 8)(-3,\,8)

השיקוף הופך את סוג הקיצון ואת הסימן של הגובה, וההזזה מוסיפה 2. (3, 8)(3,\,8) שייך ל-x=−3x=-3, לא ל-x=3x=3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה f(x)=x+1x−2f(x)=\frac{x+1}{x-2} ו-g(x)=∣f(x)∣g(x)=|f(x)|. כמה פתרונות יש למשוואה g(x)=1g(x)=1?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f(x)=1: x+1=x−2 ⇒ 1=−2\begin{aligned}f(x) &= 1: \ x+1 \\ &= x-2 \ \Rightarrow \ 1 \\ &= -2\end{aligned}

אין פתרון: y=1y=1 היא האסימפטוטה האופקית

f(x)=−1: x+1=−x+2 ⇒ x=12\begin{aligned}f(x) &= -1: \ x+1 \\ &= -x+2 \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

פתרון אחד

∣f∣=1|f|=1 פירושו f=1f=1 או f=−1f=-1. כאן f=1f=1 בלתי אפשרי, ולכן יש פתרון אחד ולא שניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הנקודה PP נמצאת על הגרף של y=4xy=\frac{4}{x}, כאשר x>0x>0. מ-PP מורידים אנכים לשני הצירים, ונוצר מרובע שקודקודיו OO, PP ושתי נקודות על הצירים. מהו ההיקף הקטן ביותר של המרובע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

p(x)=2(x+4x) x>0\begin{aligned}p(x) &= 2\left(x+\tfrac{4}{x}\right) \ \\ \quad x>0\end{aligned}

רוחב xx, גובה 4x\frac{4}{x}

p′(x)=2(1−4x2)=0 ⇒ x=2\begin{aligned}p'(x) &= 2\left(1-\tfrac{4}{x^2}\right) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

x=−2x=-2 מחוץ לתחום

p(2)=2(2+2)=8\begin{aligned}p(2) &= 2(2+2) \\ &= 8\end{aligned}

p′p' עוברת מ-−- ל-++: מינימום

השטח של המרובע הוא תמיד x⋅4x=4x \cdot \frac{4}{x}=4, אבל ההיקף משתנה. הקטן ביותר כשהרוחב שווה לגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

על פונקציה ff ידוע: ff אינה מוגדרת ב-x=0x=0, ו-f′>0f'>0 ב-x<−2x<-2, f′<0f'<0 ב-−2<x<0-2<x<0, f′<0f'<0 ב-0<x<20<x<2, f′>0f'>0 ב-x>2x>2. מה נכון?

  1. מקסימום ב-x=−2x=-2, מינימום ב-x=0x=0, מינימום ב-x=2x=2
  2. מקסימום ב-x=0x=0
  3. מקסימום ב-x=−2x=-2, מינימום ב-x=2x=2
  4. מינימום ב-x=−2x=-2, מקסימום ב-x=2x=2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג מקסימום ב-x=−2x=-2, מינימום ב-x=2x=2

הפתרון:

x=−2: +→−x=-2: \ + \to -

עלייה ואחר כך ירידה: מקסימום

x=0∉Dx=0 \notin D

אין קיצון בנקודה שאינה בתחום

x=2: −→+x=2: \ - \to +

ירידה ואחר כך עלייה: מינימום

ב-x=0x=0 הנגזרת לא מחליפה סימן, וגם ff לא מוגדרת שם. זו התמונה של f(x)=x+4xf(x)=x+\frac{4}{x}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת