סדרה 1 — קל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: נגזרת של מנה, אסימפטוטה אנכית ואופקית, נקודת קיצון, עלייה וירידה, הזזות ושיקופים, ובעיית קיצון על גרף. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה שאלו: מבקשים ערך (ff), שיפוע (f′f') או אסימפטוטה? אסימפטוטה אנכית באה מהמכנה, ואסימפטוטה אופקית מהחזקות הגבוהות.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=x+4x−2f(x)=\frac{x+4}{x-2}. חשבו את f′(3)f'(3).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -6

הפתרון:

f′(x)=1⋅(x−2)−(x+4)⋅1(x−2)2=−6(x−2)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1 \cdot (x-2)-(x+4) \cdot 1}{(x-2)^2} \\ &= \frac{-6}{(x-2)^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′(3)=−61=−6\begin{aligned}f'(3) &= \frac{-6}{1} \\ &= -6\end{aligned}

מציבים

הסדר במונה: נגזרת העליון כפול התחתון פחות העליון כפול נגזרת התחתון. בסדר ההפוך יוצא +6+6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהי האסימפטוטה האופקית של f(x)=3x−1x+2f(x)=\frac{3x-1}{x+2}?

  1. y=−12y=-\frac{1}{2}
  2. y=3y=3
  3. x=−2x=-2
  4. y=0y=0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב y=3y=3

הפתרון:

3x−1x+2≈3xx=3\frac{3x-1}{x+2} \approx \frac{3x}{x}=3

כש-xx גדול, רק החזקות הגבוהות קובעות

y=3y=3

אסימפטוטה אופקית

x=−2x=-2 היא האסימפטוטה האנכית. −12-\frac{1}{2} הוא f(0)f(0), נקודת החיתוך עם ציר ה-yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהי האסימפטוטה האנכית של f(x)=x2+12x−6f(x)=\frac{x^2+1}{2x-6}? כתבו את ערך ה-xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

2x−6=0 ⇒ x=3\begin{aligned}2x-6 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

המכנה מתאפס

32+1=10≠03^2+1=10 \neq 0

המונה לא מתאפס שם

בודקים גם את המונה: אם גם הוא מתאפס באותה נקודה, זו אינה אסימפטוטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לגרף של f(x)=5x2+1f(x)=\frac{5}{x^2+1} אין אסימפטוטה אנכית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x2+1≥1>0x^2+1 \geq 1 > 0

המכנה לעולם אינו מתאפס

D=RD=\mathbb{R}

הפונקציה מוגדרת לכל xx

יש לה אסימפטוטה אופקית y=0y=0. «אין אסימפטוטה אנכית» אינו אומר «אין אסימפטוטות».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=x2+9xf(x)=\frac{x^2+9}{x}. מהו ערך ה-yy של נקודת המינימום המקומי שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

f′(x)=2x⋅x−(x2+9)x2=x2−9x2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x \cdot x-(x^2+9)}{x^2} \\ &= \frac{x^2-9}{x^2}\end{aligned}

כלל המנה

x=3 x=−3\begin{aligned}x &= 3 \\ \ x &= -3\end{aligned}

הנקודות החשודות

f(3)=183=6\begin{aligned}f(3) &= \frac{18}{3} \\ &= 6\end{aligned}

ב-x=3x=3 הנגזרת עוברת מ-−- ל-++

ב-x=−3x=-3 יש מקסימום, עם f(−3)=−6f(-3)=-6. מי שענה 33 כתב את שיעור ה-xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה f(x)=2x+1x+3f(x)=\frac{2x+1}{x+3}. מה נכון?

  1. ff יורדת בכל אחד משני הענפים
  2. ff עולה ב-x<−3x<-3 ויורדת ב-x>−3x>-3
  3. ל-ff מקסימום ב-x=−3x=-3
  4. ff עולה בכל אחד משני הענפים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד ff עולה בכל אחד משני הענפים

הפתרון:

f′(x)=2(x+3)−(2x+1)(x+3)2=5(x+3)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+3)-(2x+1)}{(x+3)^2} \\ &= \frac{5}{(x+3)^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′(x)>0 , x≠−3f'(x)>0 \ ,\ x \neq -3

מונה חיובי, מכנה חיובי

x=−3x=-3 מחוץ לתחום, ולכן אינו יכול להיות קיצון. והנגזרת חיובית משני צדי האסימפטוטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה f(x)=x2x+1f(x)=\frac{x^2}{x+1}. מהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x=1? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

f′(x)=2x(x+1)−x2(x+1)2=x2+2x(x+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x+1)-x^2}{(x+1)^2} \\ &= \frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′(1)=34=0.75\begin{aligned}f'(1) &= \frac{3}{4} \\ &= 0.75\end{aligned}

מציבים

השיפוע הוא f′(1)f'(1). f(1)=12f(1)=\frac{1}{2} הוא הגובה של נקודת ההשקה, לא השיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה f(x)=6x22x2+1f(x)=\frac{6x^2}{2x^2+1}. לגרף יש אסימפטוטה אופקית y=cy=c. מצאו את cc.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

6x22x2+1≈6x22x2=3\frac{6x^2}{2x^2+1} \approx \frac{6x^2}{2x^2}=3

אותה חזקה למעלה ולמטה: מנת המקדמים

y=3y=3

אסימפטוטה אופקית

כשהדרגות שוות, האסימפטוטה היא מנת המקדמים המובילים, 62\frac{6}{2}. לא 66 ולא 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הגרף של ff נתון. התאימו לכל פונקציה את מה שקורה לגרף של ff.

  • y=−f(x)y=-f(x)
  • y=f(x)+2y=f(x)+2
  • y=f(x+2)y=f(x+2)
  • y=∣f(x)∣y=|f(x)|
  • הזזה של 2 למעלה
  • הזזה של 2 שמאלה
  • כל הגרף משתקף בציר ה-xx
  • רק מה שמתחת לציר ה-xx עולה מעליו
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=−f(x)y=-f(x) — כל הגרף משתקף בציר ה-xx · y=f(x)+2y=f(x)+2 — הזזה של 2 למעלה · y=f(x+2)y=f(x+2) — הזזה של 2 שמאלה · y=∣f(x)∣y=|f(x)| — רק מה שמתחת לציר ה-xx עולה מעליו

הפתרון:

f(x+2)f(x+2)

מה שקרה ב-x=0x=0 קורה עכשיו ב-x=−2x=-2: שמאלה

f(x)+2f(x)+2

כל גובה גדל ב-2: למעלה

המלכודת: f(x+2)f(x+2) זזה שמאלה, אף שיש בה פלוס. תוספת בתוך הסוגריים פועלת הפוך מהצפוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הנקודה P(x, y)P(x,\,y) נמצאת על הישר y=8−2xy=8-2x ברביע הראשון. מ-PP מורידים אנכים לשני הצירים, ונוצר מרובע שקודקודיו OO, PP ושתי נקודות על הצירים. מהו השטח הגדול ביותר של המרובע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

S(x)=x(8−2x)=8x−2x2 0<x<4\begin{aligned}S(x) &= x(8-2x) \\ &= 8x-2x^2 \ \\ \quad 0<x<4\end{aligned}

רוחב xx, גובה yy

S′(x)=8−4x=0 ⇒ x=2\begin{aligned}S'(x) &= 8-4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

נקודה חשודה; S′S' עוברת מ-++ ל-−-

S(2)=2⋅4=8\begin{aligned}S(2) &= 2 \cdot 4 \\ &= 8\end{aligned}

השטח המקסימלי

מי שענה 22 כתב את שיעור ה-xx. השאלה מבקשת את השטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת