פותרים יחד · חשבון דיפרנציאלי · כיתה י״א

ארבע שאלות בנוסח השאלה על פונקציה רציונלית בשאלון 35471: חקירה מלאה עם פרמטר, מספר הפתרונות של $f(x)=k$ , גרף הנגזרת והשטח שמתחתיו, ופונקציה $g$ שהנגזרת שלה נתונה. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. ובכל חקירה: תחום קודם. נקודה שמחוץ לתחום לא יכולה להיות קיצון, וגם לא נקודת חיתוך.

1 — חקירה מלאה עם פרמטר

פעילות אינטראקטיבית

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2+a}{x-1}$ , ו- $a$ פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה $x=3$ . א. מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטה האנכית. ב. מצאו את $a$ . ג. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן. ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה. ה. מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.

\begin{aligned}f(x) &= \frac{x^2+a}{x-1} \\ \quad f'(3) &= 0\end{aligned}

לחצו «להתחיל». את $a$ מוצאים מהנגזרת: בנקודת קיצון פנימית $f'=0$ .

א. תחום

x-1 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 1

המכנה מתאפס ב- $x=1$ , ולכן $x=1$ אסימפטוטה אנכית (נבדוק בסוף שהמונה לא מתאפס שם).

ב. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x-1)-(x^2+a)}{(x-1)^2} \\ &= \frac{x^2-2x-a}{(x-1)^2}\end{aligned}

גזור-כפול פחות כפול-גזור, חלקי המכנה בריבוע.

ב. הפרמטר

\begin{aligned}f'(3) &= 0 \ \Rightarrow \ 9-6-a \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

מספיק שהמונה יתאפס. בדיקה: $1^2+3=4 \neq 0$ , ולכן $x=1$ באמת אסימפטוטה.

ג. חשודות

\begin{aligned}x^2-2x-3 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ x &= -1\end{aligned}

$f(3)=\frac{12}{2}=6$ ו- $f(-1)=\frac{4}{-2}=-2$ .

ד. סימנים

f'(x)=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}

המכנה חיובי. המונה חיובי ב- $x<-1$ וב- $x>3$ , ושלילי ב- $-1<x<3$ (חוץ מ- $x=1$ ).

ג. ו-ד.

\max(-1,\,-2) \qquad \min(3,\,6)

עולה ב- $x<-1$ וב- $x>3$ . יורדת ב- $-1<x<1$ וב- $1<x<3$ .

ה. חיתוך

\begin{aligned}f(0) &= \frac{3}{-1} \\ &= -3 \qquad x^2+3>0\end{aligned}

הגרף חותך את ציר ה- $y$ ב- $(0,\,-3)$ , ואינו חותך את ציר ה- $x$ .

המקסימום $-2$ נמוך מהמינימום $6$ . אין כאן סתירה: הם בשני ענפים שונים, משני צדי האסימפטוטה $x=1$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

נגדיר $g(x)=f(x+2)$ . מהי האסימפטוטה האנכית של $g$ , ומהי נקודת המינימום שלה?

להציג את התשובה והפתרון

$g$ היא הזזה של $f$ ב-2 שמאלה. האסימפטוטה עוברת ל- $x=-1$ , והמינימום ל- $(1,\,6)$ . הגובה לא משתנה, רק שיעור ה- $x$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — כמה פתרונות יש ל- $f(x)=k$ ?

פעילות אינטראקטיבית

פתרון יחיד

נתונה $f(x)=\frac{6x}{x^2+9}$ . מצאו את כל ערכי $k$ שעבורם למשוואה $f(x)=k$ יש פתרון אחד בדיוק.

$k=-1 ,\ k=1$

$k=-1 ,\ k=0 ,\ k=1$

$k=0$

$-1<k<1$

מה תחום ההגדרה, ומהי האסימפטוטה האופקית?

$x \neq \pm 3$ , והאסימפטוטה $y=6$

להציג את התשובה והפתרון

$x^2+9$ לעולם אינו מתאפס. ובחזקה הגבוהה, המכנה מנצח את המונה.

כל $x$ , והאסימפטוטה $y=0$

להציג את התשובה והפתרון

המכנה חיובי תמיד, ודרגת המכנה גדולה מדרגת המונה.

\begin{aligned}x^2+9>0 \ \Rightarrow \ x \in \mathbb{R} \\ \qquad y &= 0\end{aligned}

אין אסימפטוטה אנכית.

מהן נקודות הקיצון?

$\max(3,\,1)$ ו- $\min(-3,\,-1)$

להציג את התשובה והפתרון

המונה של הנגזרת חיובי בין $-3$ ל- $3$ ושלילי מחוץ לקטע.

$\min(3,\,1)$ ו- $\max(-3,\,-1)$

להציג את התשובה והפתרון

בדקו את הסימן: $f'(0)=\frac{54}{81}>0$ , ולכן $f$ עולה בין $-3$ ל- $3$ .

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{6(x^2+9)-6x \cdot 2x}{(x^2+9)^2} \\ &= \frac{6(9-x^2)}{(x^2+9)^2}\end{aligned}

$f(3)=\frac{18}{18}=1$ ו- $f(-3)=-1$ .

האם הגרף נוגע באסימפטוטה $y=0$ ?

לא. גרף לעולם לא חוצה אסימפטוטה

להציג את התשובה והפתרון

זה נכון לאסימפטוטה אנכית בלבד. אסימפטוטה אופקית מתארת מה קורה רחוק.

כן, בנקודה $(0,\,0)$

להציג את התשובה והפתרון

$f(0)=0$ : הגרף עובר דרך הראשית.

\begin{aligned}f(x) &= 0 \ \Rightarrow \ 6x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

ל- $f(x)=0$ פתרון אחד בדיוק.

ומה קורה עבור $0<k<1$ ?

שני פתרונות, שניהם ב- $x>0$

להציג את התשובה והפתרון

הגרף עולה מ- $0$ ל- $1$ ואחר כך יורד חזרה לכיוון $0$ : הישר $y=k$ חותך אותו פעמיים.

פתרון אחד

להציג את התשובה והפתרון

הגרף עולה עד $x=3$ ואחר כך יורד. הישר $y=k$ חותך את שני החלקים.

\begin{aligned}0<|k|<1: \ 2 \qquad |k| &= 1: \ 1 \qquad k \\ &= 0: \ 1 \qquad |k|>1: \ 0\end{aligned}

מספר הפתרונות לפי $k$ . אותו דבר קורה בצד השלילי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $k=-1 ,\ k=0 ,\ k=1$ . מי שענה $k=\pm 1$ שכח את $k=0$ : הגרף חוצה את האסימפטוטה האופקית בראשית. $-1<k<1$ נותן שני פתרונות, חוץ מ- $k=0$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

ועבור אילו ערכי $k$ למשוואה $f(x)=k$ אין פתרון?

להציג את התשובה והפתרון

$k>1$ או $k<-1$ . הערך הגדול ביותר של $f$ הוא $1$ והקטן ביותר $-1$ , ולכן הגרף כולו נמצא בין שני הישרים $y=-1$ ו- $y=1$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — גרף הנגזרת והשטח שמתחתיו

גרף הנגזרת

הגרף של

f'(x)=\frac{-8}{(x+1)^3}

. הקו המקווקו הוא

x=-1

: שם גם

f

וגם

f'

אינן מוגדרות.

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=\frac{a}{(x+1)^2}$ , ו- $a$ פרמטר. ידוע ש- $f'(1)=-1$ . א. מצאו את $a$ . ב. מצאו את האסימפטוטות ואת תחומי העלייה והירידה של $f$ . ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הנגזרת $f'$ , ציר ה- $x$ והישרים $x=1$ ו- $x=3$ .

\begin{aligned}f(x) &= \frac{a}{(x+1)^2} \\ \quad f'(1) &= -1\end{aligned}

לחצו «להתחיל». את השטח שמתחת ל- $f'$ לא צריך לחשב בפונקציה קדומה חדשה: הפונקציה הקדומה של $f'$ היא $f$ .

א. נגזרת

\begin{aligned}f(x) &= a(x+1)^{-2} \ \Rightarrow \ f'(x) \\ &= \frac{-2a}{(x+1)^3}\end{aligned}

גזירת חזקה עם פונקציה פנימית. אפשר גם בכלל המנה.

א.

\begin{aligned}f'(1) &= \frac{-2a}{8} \\ &= -1 \ \Rightarrow \ a \\ &= 4\end{aligned}

$f(x)=\frac{4}{(x+1)^2}$ ו- $f'(x)=\frac{-8}{(x+1)^3}$ .

ב. אסימפטוטות

\begin{aligned}x &= -1 \qquad y \\ &= 0\end{aligned}

המכנה מתאפס ב- $x=-1$ , ודרגת המונה קטנה מדרגת המכנה.

ב. סימנים

x<-1: \ f'>0 \qquad x>-1: \ f'<0

$(x+1)^3$ שלילי משמאל ל- $-1$ וחיובי מימין. $f$ עולה ב- $x<-1$ ויורדת ב- $x>-1$ . אין קיצון.

ג. סימן

1 \leq x \leq 3: \ f'(x)<0

גרף הנגזרת מתחת לציר ה- $x$ בקטע, ולכן האינטגרל שלילי.

ג. שטח

\begin{aligned}S &= -\int_1^3 f'(x)\,dx \\ &= -\big(f(3)-f(1)\big) \\ &= f(1)-f(3) \\ &= 1-\tfrac{1}{4} \\ &= \tfrac{3}{4}\end{aligned}

$f(1)=\frac{4}{4}=1$ ו- $f(3)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$ .

השטח מתחת ל- $f'$ הוא השינוי בגובה של $f$ . $f$ יורדת מ- $1$ ל- $\frac{1}{4}$ , ולכן השטח הוא $\frac{3}{4}$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

מדוע השטח הוא $f(1)-f(3)$ ולא $f(3)-f(1)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כי $f'$ שלילית בקטע: $f(3)-f(1)=-\frac{3}{4}$ הוא האינטגרל, והוא שלילי. שטח הוא תמיד חיובי, ולכן לוקחים את הערך הנגדי.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — פונקציה שהנגזרת שלה נתונה

פעילות אינטראקטיבית

הקיצון של $g$

נתונה $f(x)=\frac{x-2}{x^2+5}$ . הפונקציה $g$ מוגדרת לכל $x$ , ו- $g'(x)=f(x)$ . מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת הקיצון של $g$ וקבעו את סוגה.

מקסימום ב- $x=2$

מקסימום ב- $x=-1$ ומינימום ב- $x=5$

מינימום ב- $x=2$

ל- $g$ אין קיצון

איזו פונקציה קובעת איפה $g$ עולה ואיפה היא יורדת?

$f'$ , כי תמיד גוזרים

להציג את התשובה והפתרון

$f'$ קובעת איפה $f$ עולה. אבל השאלה על $g$ .

$f$ , כי $f$ היא הנגזרת של $g$

להציג את התשובה והפתרון

$g'=f$ : הסימן של $f$ הוא הסימן של השיפוע של $g$ .

\begin{aligned}g'(x) &= f(x) \\ &= \frac{x-2}{x^2+5}\end{aligned}

לא צריך לגזור את $f$ בכלל.

איפה $g'$ מתאפסת?

ב- $x=2$

להציג את התשובה והפתרון

המונה $x-2$ מתאפס, והמכנה חיובי תמיד.

ב- $x=-1$ וב- $x=5$

להציג את התשובה והפתרון

אלה האפסים של $f'$ , כלומר נקודות הקיצון של $f$ , לא של $g$ .

\begin{aligned}x-2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

נקודה חשודה אחת של $g$ .

מה הסימן של $g'$ משני צדי $x=2$ ?

מ- $+$ ל- $-$

להציג את התשובה והפתרון

$f(0)=-\frac{2}{5}<0$ : משמאל ל-2 הסימן שלילי.

מ- $-$ ל- $+$

להציג את התשובה והפתרון

$f(0)<0$ ו- $f(3)=\frac{1}{14}>0$ .

x<2: \ g'<0 \qquad x>2: \ g'>0

$g$ יורדת ואחר כך עולה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מינימום ב- $x=2$ . התשובה עם $x=-1$ ו- $x=5$ חקרה את $f$ במקום את $g$ : שם $f$ היא הגדולה או הקטנה ביותר, כלומר שם השיפוע של $g$ הגדול או הקטן ביותר.

לעשות את הפעילות ב-elev

לפי אותם נתונים, באיזו נקודה הגרף של $g$ הכי תלול בעלייה?

להציג את התשובה והפתרון

ב- $x=5$ . השיפוע של $g$ הוא $f$ , ו- $f$ מקבלת את הערך הגדול ביותר שלה ב- $x=5$ : $f(5)=\frac{3}{30}=0.1$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. שאלה 5 מחזירה את ההזזה $f(x+c)$ מהשאלה הראשונה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה $f(x)=\frac{x^2+a}{x+2}$ , ו- $a$ פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה $x=1$ . מצאו את $a$ ואת נקודות הקיצון.

$a=$ ____ ; מינימום: $x=$ ____ , $y=$ ____ ; מקסימום: $x=$ ____ , $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a=$ 5 ; מינימום: $x=$ 1 , $y=$ 2 ; מקסימום: $x=$ -5 , $y=$ -10

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x+2)-(x^2+a)}{(x+2)^2} \\ &= \frac{x^2+4x-a}{(x+2)^2}\end{aligned}

כלל המנה

\begin{aligned}1+4-a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 5\end{aligned}

$f'(1)=0$

\begin{aligned}x^2+4x-5 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= -5\end{aligned}

הנקודות החשודות

\begin{aligned}f(1) &= \frac{6}{3} \\ &= 2 \qquad f(-5) \\ &= \frac{30}{-3} \\ &= -10\end{aligned}

הגבהים

x<-5: \ + \quad -5<x<1: \ - \quad x>1: \ +

סימן המונה $(x+5)(x-1)$

המקסימום $-10$ נמוך מהמינימום $2$ : הם בשני ענפים, משני צדי $x=-2$ . מי שקבע את הסוג לפי הגובה טעה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $f(x)=\frac{4x}{x^2+1}$ . עבור אילו ערכי $k$ למשוואה $f(x)=k$ יש פתרון אחד בדיוק?

$k=-2 ,\ k=2$
$k=-2 ,\ k=0 ,\ k=2$
$-2<k<2$
$k=0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $k=-2 ,\ k=0 ,\ k=2$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{4(x^2+1)-8x^2}{(x^2+1)^2} \\ &= \frac{4(1-x^2)}{(x^2+1)^2}\end{aligned}

הנגזרת

\max(1,\,2) \qquad \min(-1,\,-2)

הקיצון

\begin{aligned}f(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

הגרף חוצה את האסימפטוטה $y=0$ בראשית

0<|k|<2: \ 2 \text{ פתרונות}

עלייה וירידה באותו צד

$k=0$ הוא ערך האסימפטוטה האופקית, ובכל זאת הגרף מגיע אליו פעם אחת, ב- $x=0$ . מי שבחר $k=\pm 2$ שכח אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x)=\frac{a}{(x-2)^2}$ , ו- $a$ פרמטר. ידוע ש- $f'(3)=-6$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הנגזרת $f'$ , ציר ה- $x$ והישרים $x=3$ ו- $x=5$ . (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.67

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-2a}{(x-2)^3} \ \Rightarrow \ f'(3) \\ &= -2a \\ &= -6 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

הפרמטר

3 \leq x \leq 5: \ f'(x)<0

הנגזרת מתחת לציר

\begin{aligned}S &= f(3)-f(5) \\ &= 3-\tfrac{1}{3} \\ &= \tfrac{8}{3} \approx 2.67\end{aligned}

$f(3)=\frac{3}{1}$ ו- $f(5)=\frac{3}{9}$

$f(5)-f(3)=-\frac{8}{3}$ הוא האינטגרל, והוא שלילי. השטח הוא הערך החיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה $f(x)=\frac{x+3}{x^2+1}$ . הפונקציה $g$ מוגדרת לכל $x$ , ו- $g'(x)=f(x)$ . מה נכון לגבי נקודת הקיצון של $g$ ?

קיצון ב- $x=-3+\sqrt{10}$ וב- $x=-3-\sqrt{10}$
מינימום ב- $x=-3$
ל- $g$ אין קיצון
מקסימום ב- $x=-3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מינימום ב- $x=-3$

הפתרון:

\begin{aligned}g'(x) &= \frac{x+3}{x^2+1} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -3\end{aligned}

המכנה חיובי תמיד

\begin{aligned}f(-4) &= \frac{-1}{17}<0 \qquad f(0) \\ &= 3>0\end{aligned}

הסימן של $g'$ משני הצדדים

x<-3: \ g \searrow \qquad x>-3: \ g \nearrow

יורדת ואחר כך עולה

$-3 \pm \sqrt{10}$ הם האפסים של $f'$ , כלומר הקיצון של $f$ . השאלה על $g$ , ולכן בודקים את הסימן של $f$ עצמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה $f(x)=\frac{x^2+5}{x+2}$ , שנקודת המינימום שלה $(1,\,2)$ . נגדיר $g(x)=f(x-3)$ . מצאו את האסימפטוטה האנכית של $g$ ואת נקודת המינימום שלה.

אסימפטוטה: $x=$ ____ ; מינימום: $x=$ ____ , $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אסימפטוטה: $x=$ 1 ; מינימום: $x=$ 4 , $y=$ 2

הפתרון:

g(x)=f(x-3)

הזזה של 3 ימינה

\begin{aligned}x &= -2 \ \to \ x \\ &= -2+3 \\ &= 1\end{aligned}

האסימפטוטה

(1,\,2) \ \to \ (4,\,2)

המינימום זז ימינה, הגובה נשאר

$f(x-3)$ מזיזה ימינה, לא שמאלה: $g(4)=f(1)$ . מי שהזיז שמאלה קיבל $x=-2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — חקירה מלאה עם פרמטר

2 — כמה פתרונות יש ל-f(x)=kf(x)=kf(x)=k?

3 — גרף הנגזרת והשטח שמתחתיו

4 — פונקציה שהנגזרת שלה נתונה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

2 — כמה פתרונות יש ל- $f(x)=k$ ?